1계 선형 미분방정식의 해에 대한 논의 (Discussion about the solution of Fisrt-order linear ODE)

1계 선형 비동차 미분방정식

 

$$y'+p(x)y=q(x)$$

 

를 적분인자 $\alpha(x)$를 도입하여 풀었을 때 최종적인 해는 항이 2개로 구성됩니다.

 

$$y=\frac{1}{\alpha(x)}\left ( \int_{x_0}^{x}\alpha(t)q(t)dt +C \right )=e^{-I}
\left ( \int_{x_0}^{x}e^Iq(t)dt+C \right )$$

 

놀라운 것은 이를 놓고 보면 우리는 비동차 방정식($q(x)\neq 0$) 을 푼 것인데 최종해는 두 항 중 괄호 안의 상수 $C$에 해당하는 항이 동차 방정식($q(x)=0$) 에 해당하는 해라는 것입니다. 이는 특정 상황에서만 성립하는 것이 아니라, 위 식이 일반적인 식의 형태이기 때문에 항상 성립한다는 놀라운 결과입니다.

 

정리($D.E$) 1.1

1계 선형 비동차 미분방정식의 해를 $$y=\displaystyle\frac{1}{\alpha(x)}\left ( \displaystyle\int_{x_0}^{x}\alpha(t)q(t)dt +C \right )=e^{-I}    
\left (\displaystyle\int_{x_0}^{x}e^Iq(t)dt+C \right )=y_1(x)+y_2(x)$$ 라 하자. 그러면

$y_1(x)=Ce^{-I}$ 는 동차(Homogeneous) 방정식 $y'+p(x)y=0$ 의 해이고,
$y_2(x)=e^{-I}\displaystyle\int e^Iq(x)dx$ 는 비동차(Inhomogeneous) 방정식에서만 나타나는 해이다.

비동차 방정식의 일반해는 둘의 선형결합으로 표현된다.

 

이러한 성질은 누차 강조했듯이 선형대수학에서 성립하는 기본 성질입니다. 본질적으로 방정식이라는 분야가 대수학의 원리를 내포하고 있기 때문에 그렇습니다. 해가 선형결합으로 표현된다는 것을 포함한 이러한 특징들은 1계 미분방정식을 넘어 2계 미분방정식에 가서도 비슷한 원리가 계속해서 적용됩니다.

 

그런데 $y=y_1(x)+y_2(x)$ 앞에는 숫자가 붙지 않은데 왜 선형결합이라고 했을까요? 우선 계수가 모두 1로 동일해도 선형결합이긴 하지만, $y_1$의 경우 상수 $C$가 있고 $y_2$는 적분을 했을 때 역시 상수가 나올 것입니다. 따라서 이 적분상수들이 선형결합의 스칼라 역할을 하는 것으로 보면 됩니다. 고로, 적분상수의 값이 어느 값이 되느냐에 따라 미분방정식의 해도 여러개가 됩니다. 그래서 보통 미분방정식의 해는 무수히 많습니다. 동차 미분방정식이든, 비동차 미분방정식이든 마찬가지이며 이를 표현하는 방법이 선형결합인 것입니다.

 

그러나 주의할 것이 있습니다. 1계 선형 미분방정식의 해를 $y=y_1(x)+y_2(x)$ 의 형태로 쓰기는 하지만 여기서 $y_1$과 $y_2$는 선형종속입니다. 즉, 1계 선형 미분방정식의 해는 단 한개의 선형독립 함수로 이루어져 있습니다. 보면 바로 알 수 있지만, 두 항에서 공통적으로 $e^{-I}$가 묶여 버리기 때문이죠.

 

정리 ($D.E$) 1.2

1계 선형 동차 미분방정식
$$y'+p(x)y=0$$
은 단 한 개의 선형독립 해를 가진다. 여러 해가 있을 수 있으나, 오로지 상수배 차이만 난다.

정리 ($D.E$) 1.3

$n$계 선형 미분방정식의 일반해는 $n$개의 선형독립 함수로 이루어져 있다.

 

물론, 1계 선형 미분방정식의 걸음마를 떼는 단계에서는 위 내용까지 처음에 완벽히 이해하긴 쉽지 않을 것입니다. 일단 미분방정식을 여러개 풀어보면서 올바르게 해를 작성하는 단련부터 합시다. 왜냐하면 이 내용은 선형대수의 지식을 접목시켰을 때 정확한 이해가 가능하기 때문입니다. 미분방정식의 해를 쓸 때 사용하는 선형결합과 해공간, 기저라는 말은 2계 선형미분방정식를 안 뒤에 서서히 개념을 잡을 수 있을 것이니 첫 술에 배부르면 안된다는 말을 명심합시다.