미분방정식은 일반적으로 함수에서 사용했던 변수들 $x,y$가 동일하게 등장하여, 독립변수 $x$ 와 종속변수 $y$ 에 더하여 미분식 $\frac{dy}{dx}$ 이나 그보다 더 높은 고계도함수 $y''$ 등이 포함되어
있는 방정식입니다. 나아가 전체 변수의 개수가 3개 이상이 되어 다변수함수 또는 편미분이 섞여 있는 경우가 있습니다.
공학과 물리, 화학을 살펴보면 상당히 많은 미분방정식들이 존재합니다. 뉴턴의 제 2법칙인 $ \mathbf{F}=m\mathbf{a} $ 는 힘을 운동량에 대한 시간 변화율로 표현할 수 있다는 점에서 미분방정식이고, 단순히
가속도벡터 $a$ 를 변위 $x$ 의 시간에 대한 2차 미분으로 해석해도 역시 미분방정식이 됩니다. 이외에도 용수철이 늘어나는 운동을 기술하는 훅의 법칙이나, 단진동, RLC 진동 회로 역시 미분방정식으로 나타내게 됩니다.
즉, 자연의 여러가지 운동은 그 자체로 미분을 포함하고 있다는 원리이지요.
그런데 사실 미분방정식이 뭔지 정확하게 알기 위해서는 '미분'의 기능과 개념을 먼저 제대로 짚고 넘어가는 것이 좋습니다. 물론 이것은 고등학교때 배우는 내용이고, 이 글을 읽는 분들은 미분이 무엇인지는 아는 상태겠지만 단순히 미적분을 할 수 있다를 넘어서 그 효용성을 한 번 고려해 보자는 것입니다.
미분에는 분명 목적이 있습니다. 즉, 미분이라는 도구를 사용하는 이유가 무엇인지 제대로 고찰해야 합니다. 미분의 목적은,
1) 대상을 최적화(Optimization)하기 위해서,
2) 내가 관찰하고 싶은 함수를 몰라서
입니다. 물론 개인적인 생각이 섞여 있지만요...
최적화라는 것은 수학적인 표현을 쓰자면 극값을 말합니다. 어떤 지점에서 변화율이 꺾이는가를 관찰하겠다는 것인데, 이것을 현실에서 응용하여 최적화라는 표현을 쓴 것입니다. 예를 하나 들자면, 경제학개론에서도 배우는 기업의 이윤 극대화 조건은 한계비용(MC, Marginal cost)와 한계수입(MR, Marginal revenue)이 같을 때에 발생합니다.
$$MR=MC$$
한계비용(MC)과 한계수입(MR)은 각각 평균비용(AC)와 평균수입(AR)의 변화율이고, 이것들의 차이가 0이 될 때 즉 추가로 한 단위 돈을 투자해 얻을 수 있는 이익의 크기를 손해보지 않는 마지노선을 미분으로 찾을 수 있다는 것이죠. 이런 것을 보고 최적화라고 부르는 것입니다. 어쩌면, 최적화는, 수학적이라기보다 제가 든 예시처럼 실생활에서의 미분의 적용이라고 볼 수 있습니다.
반면, 수학을 공부하는 입장으로 되돌아가봅시다. 우리는 수학 공부를 할 때 무언가 최적화를 시켜서 이윤을 내거나 하는 것이 목적이 아니니, 미분을 하는 '행위'에 초점을 맞추어 목적성을 고찰해보면, 미분은 우리가 고등학교 때 처음 함수를 그리기 위해서 배우게 됩니다. 즉, 미분은, 이차함수나 일차함수, 지수함수나 로그함수처럼 그냥 식만 보고 딱 그릴 수 있는 함수가 아니라 어떻게 개형이 그려지고, 최대나 최소, 극대나 극소, 치역, 점근선의 유무 등에 관한 총체적인 특징을 파악하기 위해서 사용하는 도구에 해당합니다.
그러니 미분은 함수가 어떻게 생겨먹었는지 몰라서 하는 것입니다.
여기에다 더불어 우리는 적분이라는 도구와 이것이 미분의 역연산이라는 사실을 알고 있으므로, 미분된 식을 얻으면 적분만 해서 원래 함수 $y$를 찾을 수 있게 됩니다.
여기서 미분방정식의 목표가 나옵니다. 미분방정식은 $y$도 존재하지만 주인공은 $\frac{dy}{dx}$ 입니다. 따라서 $\frac{dy}{dx}=\mathrm{something}$ 꼴로 미분식이 어떻게 표현되는지를 찾은 뒤, 적분을 해서 최종적으로
$y=\mathrm{something}$ 이 되도록 식을 만들어야 하는 것입니다.
나름 미분과 미분방정식의 성질에 대한 고찰을 해보았으니, 다시 공부해야 할 것이 무엇인지 살펴봅시다.
미분방정식은 해법이 정해져 있는 상미분방정식을 공부하고, 계수가 상수일 때를 먼저 생각한 뒤 계수가 미지수인 경우로 확장해 나갈 것입니다. 이 과정에서 여러가지 멱급수와 관련된 방법이나 특수함수들이 튀어나오게 됩니다. 이들에 대한 학습까지 마치면, 편미분 방정식으로 입장할 수 있게 됩니다.
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