미분방정식을 시작하기 전에 관련된 기본용어를 짚어보고 넘어가 봅시다.
1. 미분방정식(Differential Equation)
미분을 포함하는 방정식을 '미분방정식'이라 하고, 이 방정식에 편미분이 있으면 '편미분 방정식(Partial Differential Equations, PDE)', 없으면 '상미분 방정식(Ordinary Differential Equations, ODE)' 라고 한다.
ex) 상미분 방정식의 예로는 RLC 감쇠진동을 나타내는 미분방정식이 있다.
$$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$
ex) 편미분 방정식의 예로는 '(시간 비의존)슈뢰딩거 방정식'이 있다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi +V\Psi=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi\;\;\;\;\;
\mathrm{\left ( Time-
independet\;Schr\ddot{o}dinger\;Equation \right )}$$
2. 미분방정식에서 차수와 계수(order and degree)
후술하겠지만, 번역 교과서들을 보면 보통 Order는 '계/차수', Degree는 '계수'라 번역합니다. 하지만 이에는 오해의 소지가 있습니다. 두 용어의 뜻을 기억하며 아래 내용으로 이동해 주시기 바랍니다.
1) 미분방정식에서 계(order)는 $y$ 의 미분항 중 가장 큰 미분횟수에 해당됩니다.
$y'+xy^2=4$ 는 가장 큰 미분횟수가 $y'$ 즉 1번이므로, 1계 미분방정식(First-order ODE)라고 부른다는 뜻이고,
$y''+3xy'+4y=1$ 은 가장 큰 미분횟수가 $y''$ 즉 2번이므로, 2계 미분방정식(Second-order ODE)라 부른다는 것입니다.
2) 미분방정식에서 degree는 계(order)를 결정하는 $y$ 의 미분항의 거듭제곱 횟수를 말합니다.
$3xy'+5y=0$ 에서 order항에 해당하는 $y'$의 거듭제곱 횟수는 1이므로,$\;\mathrm{degree}=1$
$y''+4y+4=0$ 에서 order 항에 해당하는 $y''$ 의 거듭제곱 횟수는 2이므로, $\;\mathrm{degree}=2$
$(y''')^5+y''-6y=7$ 에서 order 항에 해당하는 $y'''$의 거듭제곱 횟수는 5이므로, $\;\mathrm{degree}=5$
▶ 번역에 관한 문제
미분방정식에서 Order와 degree에 대한 번역은 상당히 문제가 많습니다. 보통 미분방정식이 아닌 경우, Order는 '차수'라고 번역합니다. 대표적으로 복소해석학에서 pole의 order를 번역하자면 pole의 차수라고 하지, pole의 계수라고 하진 않으니까 말이죠. 이 뿐만 아니라, 삼차함수, 사차함수 등 다항식의 차수도 영어로 Order 입니다.
그런데, 유독 미분방정식에서는 Order가 '-계'로 불립니다. 1계 미분방정식, 2계 미분방정식처럼 말이죠. 그러니 헷갈릴 수 밖에 없습니다. 미분방정식에서 가장 큰 미분횟수를 뜻하는 Order는 일반적으로 다항함수에서 최고차항의 차수를 말하는 Order 와는 그 뜻이 다르기 때문입니다. 이 역할을 미분방정식에서는 degree가 하고 있지요. 즉 degree는 최고 미분항의 지수에 해당하니, 다항함수에서 마치 삼차, 사차, n차 할 때 이 n과 비슷한 점이 많습니다.
더욱이, 원래 '계수'라는 말은 '최고차항의 계수'에서처럼 미지수 앞의 상수항인 '계수(coefficient)'를 뜻하는 말로도 쓰이지요. 헌데 미분방정식에서 degree를 계수라고 번역하면, coefficient와 혼동의 여지가 있습니다.
따라서, 미분방정식에서는 order와 degree를 번역하면 혼란스럽기 때문에, 앞으로 이 블로그의 포스팅에서는 이 둘을 번역하지 않으려고 합니다.
3. 선형 미분방정식
미분방정식이 선형이라는 것은 연립방정식이 선형이라는 뜻과 거의 유사합니다.
$y$ 가 $x$ 에 대한 함수일 때, $y$ 의 $n$차($n$ 은 음이 아닌 정수) 미분항들과 그 계수가 스칼라 $a_1,\,a_2,\, \cdots$ 들 또는 $x$에 관한 함수 $a_0(x),\,a_1(x),\,a_2(x),\,\cdots \, a_n(x)$ 로 선형결합된 형태의 꼴을 선형 미분방정식(Linear Differential Equation)이라 하며 이는
$$a_0y+a_1y'+a_2y''+a_3y'''+ \cdots a_ny^{(n)}=b$$
$$a_0(x)y+a_1(x)y'+a_2(x)y''+\cdots +a_n(x)y^{(n)}=b$$
의 형태로 나타내어진다.
다시말해 $y=f(x)$의 $n$차 미분식이 서로 다른 스칼라 $a_1,\,a_2,\, \cdots$ 들과 곱해져 선형결합(Linear combination)을 이루고 있는 꼴을 말합니다. 더불어, $y$ 와 $x$ 의 관계에서 종속변수가 $y$ 이니 $y$ 의 미분들 $y,y',y'' \cdots $ 앞에 독립변수 $x$ 에 관한 다항식들이 곱해져 있더라도, 여전히 선형입니다. 다만 $x$에 관한 삼각함수나 지수함수 등의 초월함수가 붙어 있으면 선형이 아닙니다.
그러므로 아래와 같은 미분방정식들은 비선형(nonlinear)입니다. 삼각함수, 지수함수와 같은 초월함수 및 $y$ 를 포함한 $y,y',y'' \cdots $ 등의 $y$ 의 $n$차 미분식 앞에 종속변수 $y$ 에 관한 다항식이 곱해져 있거나, 이 미분식들이 거듭제곱 되어 있는 경우들을 말합니다.
$$y'=sinxy
\\y'y^3=\frac{4}{y}
\\y'^2=5x+3$$
미분방정식에서 선형을 이야기하는 가장 큰 이유는 단순히 선형 방정식이 비선형 방정식보다 풀기가 쉬울 뿐만 아니라 기초적인 내용이기 때문입니다. 그리고 선형 방정식에는 여러가지 특징이 있습니다. 이들은 선형대수학에서도 일부분 다루기 때문에 다 엄밀히 논의하기는 수는 없으나, 다음의 하나만 견고히 머리속에 집어넣고 출발합시다.
임의의 $n$ 차 선형 미분방정식의 해에는 $n$ 개의 독립적인 임의의 상수가 포함된다. 미분방정식의 모든 해는 이 상수들이 특별한 값을 가지도록 정해주면 얻을 수 있으며, 이 해들을 선형결합으로 연결한 해를 '일반해'라고 한다.
반면 미분방정식에서 경계조건을 주었을 때 만족하는 해는 '특별해'라고 한다.
Any linear differential equation of order $n$ has a solution containing $n$ independent arbitrary constants, from which all solutions of the differential equation can be obtained by letting the constants have particular values. The solution called general is the solution which these soultions connected with linear combination.
Whereas we usually want a particular solution, that is, one which satisfies the differential equation and some boundary contions as well.
이를 쉽게 풀어 말해 보자면, 앞으로 마주할 선형 미분방정식은 곧 알게 되겠지만 사실 해가 무수히 많다는 것이 핵심적인 내용입니다.
그러나 무수히 많은 해를 표현할 때, 단순히 '해가 무수히 많다'라는 식으로 쓰지 않습니다. 마치 일차함수를 나타내는 점의 개수가 무수히 많지만 식 $y=ax+b$로 쓰고, 그것을 쓸 때 $x$절편과 $y$절편 등의 '두 점'을 찾는 것처럼, 미분방정식의 무수히 많은 해를 쓸 때도 마치 일차함수의 '두 점'처럼 핵심적인 해를 몇개 구하기만 하면 신기하게도 나머지 무수히 많은 해를 자동으로 표현할 수 있습니다. 이 핵심적인 해의 개수는 선형 미분방정식의 Order와 같습니다.
예를들어 2계(2nd-order) 선형 미분방정식을 풀면 핵심적인 역할을 하는 해 2개를 구하게 됩니다. 이 때 미분방정식의 전체 해는 무수히 많고, 그것은 앞에서 구한 핵심해 2개를 선형결합으로 만들 수 있습니다. 이 선형결합한 해는 이제 무수히 많은 해를 나타낼 수 있는 꼴이라 '일반해(general solution)'이라 불립니다. 이것 역시 선형 미분방정식의 해가 됩니다.
이와 같이 선형결합을 한다면 그 앞에 상수 2개가 발생할 것입니다. 이 상수 2개는 어떻게 정하냐면, 경계조건(boundary condition)으로 특정할 수가 있게 됩니다. 경계조건을 적용하여 얻은 해는 '특수해(particular solution)'라 합니다. 여기서 또 주의해야 할 것은 2계 선형 미분방정식을 풀 때 주어진 미분방정식을 만족하는 간단한 해도 같은 용어 '특수해(particular solution)'이라고 하기 때문에, 이 때의 특수해와 위에서 설명한 특수해는 단어는 같지만 의미는 다릅니다.
모든 개념을 한번에 머리속에 집어 넣는 것은 인내와 노력을 필요로 합니다. 간단하고 쉬운 예제를 맛보며 천천히 익혀봅시다.
예제 1) 미분방정식 $y''-y=0$ 의 일반해를 구하여라. 그리고 $(0,0)$과 $(\ln 2,3/4)$를 지나는 특별해도 구해보아라.
이는 2계 선형 미분방정식의 정석적인 풀이법을 소개하는 것이 우선이지만, 일단 그것을 몰라도 $y$를 우변으로 넘기면 두 번 미분한 함수가 자기 자신과 같아지는 함수를 찾으면 됩니다. 예상가능하게도 미분을 두 번 해서 자신이 되는 식은 $e^x,\,e^{-x}$ 가 있습니다. 그러면 이 두 놈 모두 미분방정식의 해가 된다는 것이고, 최종적으로 일반해라는 것을 쓰려면 이 둘을 따로 쓰는 것이 아니라 선형결합
$$y=Ae^x+Be^{-x}\;\;(\mathrm{General\;solution})$$
으로 써야 합니다. 경계조건 둘을 각각 적용하면,
$\\$
$A+B=0,\,3/4=Ae^{\ln 2}+B^{-\ln 2}\;\;\rightarrow\;\;A=B=-1/2$
$$\therefore \;\;y=\frac{1}{2}\left ( e^x+e^{-x} \right )=sinhx\;\;(\mathrm{Particular\;solution})$$
[참고문헌]
Mathematical methods for physical sciences, Mary L Boas
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