벡터의 선형독립과 선형종속 그림으로 이해하기 (Linearly independent, Linearly dependent)

벡터에 대해서가 아니더라도 어떤 두 대상 사이에서 독립과 종속이라는 용어는 둘의 관계성이 없거나 약할 경우 독립, 있거나 강한 경우 종속이라는 말을 사용합니다. 벡터에서도 마찬가지로 적용되는데, 맨 처음 독립과 종속의 딱딱한 정의부터 마주하면 이해하기가 쉽지 않기 때문에 매우 쉬운 상황을 떠올려 분석해보도록 합시다.

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1. 벡터를 늘리거나 줄여보자!

 

그림과 같이 7개의 주어진 벡터가 있다고 해봅시다. 다음 중 빨간색 1번벡터(+y방향을 향함)를 스칼라 배(벡터에 임의의 실수를 곱하는 일)를 해서 만들 수 있는 벡터는 몇번일까요? 답은 1개가 아니라 여러개입니다.

 

 

정답은 2번, 3번입니다. 2번의 경우 적당한 1보다 큰 숫자를 곱해서 만들 수 있을 것이고, 3번은 2번과 똑같은 숫자를 곱하고 음수를 곱해주면 방향이 바뀝니다. 스칼라 배는 임의의 실수를 곱하는 일이니 양수와 음수를 곱하는 일 모두 가능합니다.

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자, 그러면 다음 질문은 1번벡터에 임의의 실수를 곱한 스칼라배를 했을 때 만들어지는 도형은 무엇일까요? 즉 1번벡터에 모든 실수를 다 곱했을 때 각각 만들어지는 벡터들이 그린 도형을 말하는 것입니다. 그것은 다음과 같은 직선입니다.

 

 

그림 자체는 선분으로 보이지만 무한히 확장되는 직선이고, 이 직선은 $y$축과 나란할 것입니다. 그런데, 여기서 첫번째 문제의 정답이었던 2번, 3번벡터 역시 스칼라배를 해서 만들어지는 도형은 이 붉은색 직선과 똑같을 수 밖에 없습니다. 이렇게, ​어떤 두 벡터가 있어서 한 벡터를 스칼라 배 했을 때 다른 벡터를 만들 수 있다면 두 벡터는 일차종속이라고 합니다.​ 확장하여 $n$개의 벡터가 있을 때, 어떤 벡터를 스칼라 배 해서 n개의 벡터를 모두 만들 수 있다면 그 $n$개의 벡터 집합은 일차종속이라고 말합니다. (자세한 정의는 후술)

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반면, 4,5,6,7번벡터는 1번벡터를 아무리 늘이거나 줄여도(=스칼라 배) 절대 1번벡터와 같아질 수 없습니다. 이러한 관계를 일차독립이라고 하는 것입니다. 역시 확장하여 $n$개의 벡터가 있을 때 각각의 모든 벡터가 서로를 스칼라 배 해서 만들 수 없다면, $n$개 벡터의 집합은 일차독립이라고 합니다. (자세한 정의는 후술)

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일단 독립과 종속에 관하여 벡터 그림과 함께 직관적으로 와닿는 설명을 마쳤습니다. 나아가 벡터가 만드는 도형에도 조금 더 주목해 보도록 합시다. 1번과 종속인 $n-1$개의 벡터를 가지고 있다고 해보면, 총 $n$개의 벡터를 가지고 있어도 이들을 선형결합해서 만들 수 있는 도형은 여전히 1차원 직선 밖에 되지 않습니다. 못 믿겠다면 몇번만 해보시면 됩니다.

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반면, $4~7$번 중 하나를 택해 1번과 선형결합을 한다고 해봅시다. 이제 두 벡터는 일차독립이기 때문에, 선형결합을 하면 더 이상 직선 뿐만이 아닌 2차원 평면을 만들 수 있습니다! 예로 빨간색 1번 벡터가 $(3,0)$이고 파란색 7번 벡터가 $(0,2)$라고 한다면 $a(3,0)+b(0,2)=(x,y)$ ($x,y,a,b$는 모든 실수) 로 실수 평면 전체의 점을 나타낼 수 있습니다. 1번과 4번을 선택해도 평면을 생성하는 것이 가능하며, 굳이 서로 수직인 벡터를 고르지 않더라도 상관 없습니다. 그렇다면 3차원 공간을 만들기 위해서는 서로 독립인 3개의 벡터가 필요하다는 것도 알 수 있겠지요.

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이를 종합하면 다음의 결과를 얻습니다.

 

한 벡터를 스칼라배(=선형결합에 해당)해서 다른 벡터를 만들 수 있을 때, 두 벡터는 일차종속이라고 한다. 일차종속 관계에 있는 벡터는 선형결합으로 오로지 직선밖에 만들지 못한다.

반면 선형결합으로 다른 벡터를 만들 수 없다면 두 벡터는 일차독립이라고 부르며, $n$개의 일차독립인 벡터를 선형결합하면 $n$차원 공간의 임의의 점을 나타낼 수 있다.

 

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2. 정의

 

이제 일차독립과 일차종속의 명확한 정의를 보도록 합시다. 참고로 일차독립과 일차종속은 선형독립, 선형종속이라고 부르기도 합니다. 어떤 용어를 사용하던지 큰 상관은 없습니다.

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벡터공간 $V$의 부분집합 $S=\left \{ v_1,v_2,\cdots \,v_n \right \}$ 의 스칼라 $a_i\in F$ 와의 선형결합이 $0$일 때, 즉
$$a_1v_1+\cdots a_nv_n=0$$
일 때 이것의 해가 자명해(trivial solution)
$$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$$
뿐이면 집합 $S$와 $S$의 각각의 원소$v_1,v_2,\cdots \,v_n$은 '선형독립(Linearly independent)' 이라고 한다. 그러나 자명해 이외의 해를 가지면 '선형종속(Linearly dependence)' 라고 한다.

 

선형독립과 일차독립, 선형종속과 일차종속은 같은 말입니다. 또한 '자명해(trivial solution)'이란, '뻔한 해'라고도 하는데, 행렬로 연립방정식을 표현한 식 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 에서 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 과 같이 그냥 $\mathbf{0}$을 대입하니까 $\mathbf{0}$이 나오는 그런 뻔한 상황을 만드는 해를 가리키는 용어입니다.

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이로부터 추가적으로 성립하는 중요한 성질들이 있습니다.

 

정리($L.A$) 1.3

① 영이 아닌 벡터 1개(로 이루어진 집합)는 일차독립이다.

② 어떤 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 영벡터를 주어진 집합에 대한 일차결합으로 표현하는 방법이 자명한 표현뿐인 것이다.

③ $S$의 임의의 진부분집합이 $S$가 만드는 공간 $\mathrm{span}(S)$ 를 생성하지 못한다면, (즉 $\mathrm{span}(S)$ 보다는 규모가 작은 공간을 만들면) $S$는 일차독립이다.

 

이러한 성질을 이해하기 위해선 왜 정의를 저렇게 하는 것이 엄밀한건지 이해할 줄 알아야 합니다. 쉽게 생각하는 좋은 방법은 항상 간단화해서 상황을 분석하는 것입니다. 벡터가 2개만 있다고 하고, 서로 방향이 달라 독립이라고 해봅시다. 그러면 두 벡터를 선형결합해서 0을 만들 방법은 계수가 모두 0이어야만 합니다. 두 계수가 모두 0이어야만 하는 이유는 서로 방향이 달라서 늘이거나 줄여도(적절한 스칼라 배를 해도) 절대 상대방 벡터를 만들어 낼 수가 없기 때문입니다.

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예제 1) $(1,0,5)$와 $(0,-2,0)$ 은 일차독립인가?

 

공간에 그림을 그려서 두 벡터를 서로 늘이거나 줄여서 만들 수 있을지를 떠올려 봐도 좋고, 정의대로 가도 좋습니다. 사실 벡터가 많아지거나 숫자가 복잡해질수록 더이상 직관적으로 늘이거나 줄여서 만들 수 있는지에 관한 판단을 하는 것이 어려워집니다. 요지는

$$a(1,0,5)+b(0,-2,0)=0$$

을 만드는 $a,b$가 $a=b=0$ 으로 유일한지에 관한 것입니다. $a$는 $x,z$ 성분에만 걸리고 $b$는 $y$성분에만 걸리니 $a=b=0$ 이 되지 않으면 절대로 등식을 만족할 수 없습니다. 그러니 두 벡터는 일차독립입니다.

 

그러니 일차독립/일차종속을 판단하는 가장 정석적인 방법은 앞에 붙는 스칼라를 미지수로 두고 연립방정식을 푸는 것입니다.

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예제 2) (3,-2,4)와 (1,1,2)는 일차독립인가?

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이제 두 벡터를 공간상에 그려 늘이거나 줄여보는 아이디어를 사용하기 까다로울 것입니다. 연립방정식을 풀어야 합니다.

$$a(3,-2,4)+b(1,1,2)=0\;\;\rightarrow\;\;3a+b=0\;,\;-2a+b=0\;,\;4a+2b=0\\
b=-3a\;,\;b=2a\;,\;b=-2a$$

$-3a=2a=-2a$ 가 나오므로 이를 만족하는 유일한 $a,b$ 값은 $a=b=0$ 입니다. 따라서 두 벡터는 일차독립입니다.

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예제 3) sinx와 cosx는 일차독립인가?

 

$$a\mathrm{sin}x+b\mathrm{cos}x=0$$

 

​이 등식은 당연히 만족할 것이라 생각할 수 있습니다. 그러나, 지금은 이 방정식을 풀어 $x$값을 구하는 것이 아닙니다. 모든 실수 $x$에 대해서 저 등식을 만족시키는 $a,b$값이 오로지 $a=b=0 $인지를 찾는 작업을 해야 하는 것이죠. 특정 $x$에 대해서는 $a,b$가 모두 $0$이 아니더라도 등식이 만족되겠지만, 모든 실수 $x$에 대해서는 $a=b=0$이 유일한 해입니다. 고로 $\mathrm{sin}x$와 $\mathrm{cos}x$ 는 일차독립입니다. 참고로 이것은 론스키안을 써서도 판단할 수 있습니다.