벡터공간의 정의 (Vector space)

군,환,체에 대한 개념을 잡고나면 바로 벡터공간에 대한 정의를 받아들일 수 있습니다. 그 다음 바로 할 일이 벡터공간을 정의하는 것으로, 이는 선형대수학에 입장표를 끊는 행위와 같습니다. 벡터공간을 정의하는 8가지 조건을 선형대수학의 8공리(Axiom) 이라고 부르기도 하면서, 앞으로 벡터공간이라는 집합의 원소를 벡터라고 부를 것입니다.

 

 

* 참고로, 물리학 특히 고전역학에서는 처음 벡터의 정의를 다른 언어로 기술합니다. 그에 대해서는 고전역학 파트에서 추가로 설명하겠습니다.

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1. 벡터공간

 

1) 정의

 

체 $F$에서 집합 $V$의 원소들이 다음과 같이 정의된 합(Sum)과 스칼라 곱(Sclar multiplication)에 대해 다음 8가지 공리를 만족할 때, $V$를 체 $F$에 대한 '벡터공간(Vector space)', 정확히는 '$F$-벡터공간(F-vector space)'이라 부른다.

$A1)$ 덧셈에 대한 교환법칙 : $\forall \,x,y\in V$ 에 대하여 $x+y=y+x$
$A2)$ 덧셈에 대한 결합법칙 : $\forall \,x,y,z\in V$ 에 대하여 $(x+y)+z=x+(y+z)$
$A3)$ 덧셈에 대한 항등원 : $\forall \, x\in V$ 에 대하여 $x+0=0+x$ 를 만족시키는 $0\in V$ 의 존재
$A4)$ 덧셈에 대한 역원 : $\forall \, x\in V$ 에 대하여 $x+y=0$ 을 만족시키는 $y\in V$ 의 존재
$A5)$ 곱에 대한 항등원 : $\forall \,x\in V$ 에 대하여 $1x=x$ 
$A6)$ $\forall\, a,b\in F$ 와 $\forall\, x\in V$ 에 대하여 $(ab)x=a(bx)$
$A7)$ 스칼라 분배법칙 : $\forall \,a,b\in F$ 와 $\forall \,x\in V$ 에 대하여 $a(x+y)=ax+ay$
$A8)$ 벡터 분배법칙 : $\forall \,a,b\in F$ 와 $\forall \,x\in V$ 에 대하여 $(a+b)x=ax+bx$

 

몇가지 주의점을 먼저 짚어보겠습니다.

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첫째로, 벡터에 대한 기존까지 알고 있었던 시각을 넓혀야 되므로 편견을 버려야 합니다. 여태껏 고등학교 수학이나 물리에서 알고 있는 벡터는 물론 위 벡터공간의 공리들을 만족합니다만, 이외에도 공리를 만족하는 수많은 벡터들이 존재합니다. 예를 들어 행렬, 다항식, 미분방정식의 해 등을 꼽을 수 있는데, 이처럼 직관과는 다르게 벡터가 될 수 있는 대상은 매우 많습니다. 두번째로 연산 '스칼라 곱(Scalar multiplication)' 을 정하고 들어가야 하는데 이것은 여러분이 흔히 아는 '내적(inner product)'이 아닙니다! 벡터공간에서 스칼라 곱이란 벡터에 스칼라를 곱한다는 뜻으로, 벡터끼리의 연산에 해당하는 내적과 관계가 없습니다. (번역 과정에서 동등한 단어를 사용할 뿐입니다)

 

 

체(field)의 원소를 스칼라, 벡터공간의 원소를 벡터라고 부릅니다. 벡터공간은 어떤 체에서 정의하는지에 따라 달라지기 때문에 정확히는 'F-벡터공간 V(F-vector space V)' 로 말하는 것이 정석이지만 혼동할 가능성이 없다면 편히 '벡터공간 V'라고 말합니다.

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물리학이나 여타 다른 수학 과목에서는 벡터표기를 할 때 굵게 볼드체를 사용하거나, 문자 윗부분에 화살표를 달아 스칼라와 명확히 구별하고는 합니다.

$$\mathbf{v}, \vec{v}$$

 

그런데 선형대수학에서는 벡터로 도배되는 경우가 많기 때문에, 일일이 굵기 조절 또는 화살표를 추가하지 않고 단순 문자로 쓰는 경우가 많습니다. 그럼에도 불구하고 벡터와 스칼라는 명확히 구별할 수 있는데 그 까닭은 어떤 발문이든 시작부분에 벡터공간의 원소인지, 체의 원소인지 정확히 설명을 해주기 때문입니다. 스칼라는 체 $F$의 원소이고, 벡터는 $F^n$ 의 원소입니다. 그러나 스칼라 영(zero)와 영벡터는 따로 표기를 안하면 구분이 불가능하기 때문에, 포스팅을 할 때 되도록이면 영벡터에 대해서는 볼드체나 화살표 표기를 사용해 혼동을 방지하도록 하겠습니다.

 

 

2) 성질

 

다음 정리는 벡터공간에서 항상 성립하는 기본 성질입니다.

 

정리($L.A$) 1.1 

모든 벡터공간 $V$에서 임의의 벡터 $x\in V$ 와 임의의 스칼라 $a\in F$ 에 대해 다음이 성립한다.

① $0x=\mathbf{0}$
② $a\mathbf{0}=\mathbf{0}$
③ $(-a)x=-(ax)=a(-x)$
④ $ax=\mathbf{0}\;\;\Leftrightarrow \;\;a=0\;\;\mathrm{or}\;\; x=\mathbf{0}$