2계 선형 동차 미분방정식의 해집합과 론스키안 (Solution set of Second-order Linear homogeneous Differential Equation with Wronskian determinant)

론스키안(Wronskian)을 이용하여 2계 선형 동차 미분방정식의 해의 존재와 관련된 몇가지 정리를 이해할 수 있습니다. 이 내용은 해의 존재성, 유일성과 관련된 정리에 가깝기 때문에 미분방정식을 푸는 것에 집중하는 공학도들에게는 별 중요한 내용이 아닐 가능성이 높기는 하지만, 언제나 그랬듯이 정확하고 심도있는 학습을 위해 선형대수학과 더불어 미분방정식의 해에 관한 명확한 이해를 기반으로 하는 글이라 보면 됩니다.

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1. 론스키안을 이용한 기본해 찾기

 

1) 기본 정리들

 

 

정리($D.E$) 1,7

2계 선형 동차 미분방정식

$$y''+p(t)y'+q(t)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$
의 두 해를 $y_1,y_2$라 하고 초기조건

$$y(t_0)=y_0\;\;,\;\;y'(t_0)=y'_0\;\;\;\cdots \;\;(2)$$
이 주어졌다고 하자. 그러면 두 해의 선형결합 $y=Ay_1(t)+By_2(t)$가 $(1),(2)$ 를 만족하도록 하는 두 상수 $A,B$를 항상 선택할 수 있을 필요충분조건은

$$W=y_1(t_0)y'_2(t_0)-y_2(t_0)y'_1(t_0)\neq 0$$
인 것이다.

 

이 말은 굳이 자세히 증명할 필요도 없이 선형독립, 선형종속, 선형결합만 알면 해결됩니다. 론스키안의 성질에 의하면 $W\neq 0$인 이상 두 해 $y_1(t),y_2(t)$는 이미 독립입니다. 독립인 두 벡터(함수)를 선형결합할 때 스칼라가 각각 2개 존재함은 자명합니다. 왜냐하면 두 벡터가 종속이여야만 선형결합을 해도 하나로 합쳐져 스칼라가 1개만 발생하기 때문입니다.

그래서 아래의 정리가 좀 더 중요하고 메인이 됩니다.

 

정리($D.E$) 1.8

$y_1,y_2$가 위의 미분방정식 $(1)$의 두 해라고 하자. 임의의 스칼라 $A,B$ 에 의한 선형결합

$$y=Ay_1(t)+By_2(t)$$
의 집합이 식 (2)의 모든 해를 포함하는 해집합이 될 필요충분조건은 $y_1,y_2$ 의 $W\neq 0$ 인 점이 존재한다는 것이다.

 

$W=\neq 0$ 이라는 건 $y_1,y_2$가 독립이라는 뜻이므로 위 정리는 2계 선형 미분방정식의 모든해를 찾기 위해서는 서로 독립인 두 함수만 찾으면 된다는 것입니다. 그 과정이 바로 주어진 미분방정식 $y''+p(t)y'+q(t)y=0$ 을 미분연산자 $D$를 써서 $(D-r_1)(D-r_2)y=0$, 곧 $ar^2+br+c=0$ 의 대수방정식으로 바꾸는 것입니다. 그러면 서로 독립인 두 기저역할의 해를 찾게 되고 선형결합을 계산하면 모든 해가 일반해임을 알 수 있습니다.

 

 

2) 확장된 정리

 

위의 두 정리에 비해 중요성은 떨어지지만 가끔 아래의 확장된 정리를 사용하는 것이 유용할 때도 있습니다. 초기값이 주어질 때 기본해 집합을 구하는 경우입니다.

 

정리($D.E$) 1.9

어떤 열린구간 $I$ 에서 연속인 함수 $p,t$ 를 계수로 갖는 아래의 미분방정식

$$y''+p(t)y'+q(t)y=0$$
의 두 해를 $y_1,y_2$ 라 하고, $I$에서 어떤 점 $t_0$가 있을 때 네가지 초기조건

$$y_1(t_0)=1\;,\;y_1'(t_0)=0\;,\;y_2(t_0)=0\;,\;y_2'(t_0)=1$$
를 만족한다고 하자. 그러면 $y_1,y_2$는 위 미분방정식의 해공간의 기저이다.

 

증명) $y_1,y_2$ 가 주어진 미분방정식의 해라고 하면 론스키안을 계산해서 이들이 기저임을 보이면 된다. $y_1=y_1(t_0)\;,\;y_2=y_2(t_0)$ 라 할 때,

$$y_1=y_1(t_0)\;,\;y_2=y_2(t_0)\\\\ W\left [ y_1,y_2 \right ](t_0)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' &y_2' \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 &0 \\ 0& 1 \end{vmatrix}=1\neq 0$$

그러므로 $y_1,y_2$ 는 주어진 미분방정식 해공간의 기저로 기본해 집합을 이룬다.

 

[참고문헌]

Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY