일반항 판정법, n항 판정법 (nth term Test)

1. 무한급수의 수렴과 발산

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'무한급수(infinite series)'는 어떤 수열의 항들을 제 1항부터 2항, 3항, ... 이렇게 쭉쭉 무한히 실제로 더하는 행위가 아닙니다.

 

$$a_1+a_2+a_3+\cdots \not\equiv \sum_{n=1}^{\infty}a_n$$

 

그러면 무엇이냐? 무한급수의 정의는 n항까지의 합인 부분합에 대한 극한값을 가리키는 것입니다.

 

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n$$

 

좌변에 대한 시그마 전개를 하면, 마치 1항부터 n항, 그리고 그 이상으로 무한히 많은 항을 계속 더해 나가야 하는 것이라 착각할 수 있으나, 그렇지 않고 n항까지의 합인 Sn의 극한값이 무한급수의 정의입니다. 고로 수열 Sn 이 S로 수렴하는 경우 무한급수가 수렴한다고 하고, 수열 Sn이 발산하는 경우 이 급수가 발산한다고 합니다. 그리하여, 급수의 수렴 여부를 결정하는데 주된 역할을 하는 항들은 처음이 아니라 꼬리쪽입니다. 이로부터 다음의 정리가 성립합니다.

 

정리($CC$) 1.4

임의의 자연수 $k$에 대하여, 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 급수 $\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty}a_n$ 가 수렴하는 것이다.

 

앞으로 우리는 수많은 무한급수를 만나게 될 것이고 이들의 수렴/발산 여부를 판정하는 갖가지 방법들을 익히게 될 것입니다.

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2. 일반항 판정법, n항 판정법 (nth term test)

 

정리($CC$) 1.5

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 이 수렴하면 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0$ 이다.
대우) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n \neq 0$ 이면 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 는 발산한다.
이를 '일반항 판정법(nth term test)'이라고 한다.

 

고등학교 수학에서도 학습하는 급수의 수렴/발산 판정법입니다. 급수가 수렴하면 일반항의 극한값이 0이라는 뜻이며, 그 대우를 활용해 일반항의 극한값이 0이 아니라면 급수가 발산한다는 사실을 알 수 있습니다.

 

증명) $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}S_n=S$ 라 하자. 그러면
$$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}S_n-\lim_{n\rightarrow \infty}S_{n-1}=S-S=0$$

증명은 이와 같이 할 수가 있습니다. 급수가 수렴한다는 것은 Sn의 극한값이 수렴한다는 뜻이니, an 을 Sn-Sn-1 로 바꾸어 극한 처리를 하면 0의 결과를 얻습니다.