비교판정법 (Comparison Test)

급수의 수렴 판정에 있어서 이제부터 쓸모있는 몇가지 판정법들을 소개할 것입니다. 이러한 판정법들은 실은 급수 자체의 수렴 여부를 알고 싶어서 사용하는 경우도 있겠지만, 궁극적으로는 멱급수의 판정을 위해서 학습하는 것이고 이는 다시 테일러 전개를 배우기 위한 밑바탕이 되는 양념들입니다. 그리하여 급수단원은 미적분학과 해석학을 자연스럽게 연결해주는 징검다리 역할을 하여, 앞으로 급수 자체에 대한 판정보다는 테일러 전개, 또 복소해석으로 넘어가서 해석함수에 대한 논의를 완벽하게 건설하기 위한 기초작업에 해당합니다. 계속하여 고급의 수학적 도구를 다루는 입장이라면 미적분학에서 급수 판정을 제대로 끝마치고 넘어가야 합니다. 나중에 다른 과목에서 배울 기회가 전무하기 때문입니다.

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1. 급수의 지배 (Dominate)

 

음이 아닌 항들로 구성된 무한급수인 양항급수에 대해 성립하는 관계가 하나 있습니다. 이를 확인하고 갑시다.

 

두 급수 $\displaystyle\sum a_n\;,\;\displaystyle\sum b_n$ 이 양항급수일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n\leq b_n$ 이면 급수 $\displaystyle\sum b_n$ 이 급수 $\displaystyle\sum a_n$ 을 '지배한다(Dominate)' 고 한다.

 

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2. 비교판정법

 

정리($CC$) 1.7

두 양항급수 $\displaystyle\sum a_n\;,\;\displaystyle\sum b_n$ 에 대하여 $\displaystyle\sum b_n$ 이 $\displaystyle\sum a_n$ 을 지배할 때,

① $\displaystyle\sum b_n$ 이 수렴하면 $\displaystyle\sum a_n$ 도 수렴한다.
② $\displaystyle\sum a_n$ 이 발산하면 $\displaystyle\sum b_n$ 도 발산한다.

 

비교판정법은 지배하는 더 큰 급수와 지배당하는 작은 급수로 나뉘어 있을 때, 큰 급수가 수렴하면 작은 급수도 수렴하고 이것의 대우명제인 작은 급수의 발산이 큰 급수의 발산으로 이어진다는 내용입니다. 극한과 수렴 및 발산에 관한 기초 지식을 고려해보면, 직관적으로 이 정리의 내용을 이해하는 것이 어렵지는 않습니다. 그래도 증명을 해 봅시다.

 

증명)
$\displaystyle\sum b_n$ 이 수렴한다고 가정하고, 다음과 같이
$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \;\;,\;\; T_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$ 이라 하자. 그러면 유계 판정법에 의하여 급수 $\displaystyle\sum b_n$ 이 수렴하므로 부분합의 수열  $\left\{ S_{n} \right\}$ 은 상계를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대해 $\displaystyle\sum b_{n}$ 이 $\displaystyle\sum a_n$ 을 지배하니 $\left\{ S_{n} \right\}\leq \left\{ T_{n} \right\}$ 에서 $\left\{ S_{n} \right\}$ 도 상계를 가지므로, $\displaystyle\sum a_n$ 도 수렴한다.

이 명제의 대우를 취하면 ②도 성립한다.

비교판정법의 단점이라면 어떤 급수가 수렴하는지 알기 위해 이 판정법을 사용하려면 이 급수를 지배하는 그보다 큰 급수 bn 을 떠올려서 찾아야 한다는 번거로움이 있다는 점입니다. 적당한 큰 급수를 따진다는 것이 여러번 고민하고 문제를 풀어봐야 요령이 생기기 마련입니다. 그리하여 비교판정법은 보통 여러가지 급수의 판정법 중에서 최우선적으로 쓰이는 판정법은 아닙니다.

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예제 1) $\displaystyle\sum \frac{4n}{3n^{2}-1}$ 은 수렴하는가?

 

분모의 차수가 분자보다 1 높으니 조화급수 꼴과 비교해보는 것이 유리하다는 전략을 짤 수 있습니다. 사실 조화급수가 발산한다는 내용을 알고 있어야 하는 것이니, 어쩌면 비교판정법은 어느 정도 수렴하거나 발산하는 급수에 대한 정보가 있어야 활용할 수 있는 방법입니다.

 

sol) $\displaystyle\frac{4n}{3n^{2}-1}>\displaystyle\frac{n}{3n^{2}-1}>\displaystyle\frac{1}{3n}>\displaystyle\frac{1}{n}$ 이고 $\displaystyle\frac{1}{n}$ 은 조화급수로 발산하니, 비교판정법에 의하여 주어진 급수는 발산한다.