비판정법, 절대 비판정법 (Ratio Test, Absolute Ration Test)

미적분학에 등장하는 무한급수 수렴 판정법에 여러가지 종류가 있지만, 저에게 그 중 가장 많이 쓰이고 으뜸인 것을 뽑으라고 하면 바로 이 비판정법을 선택할 것입니다.

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비판정법은 판정불능한 경우가 발생하지만, 멱급수(power series)의 수렴과 발산을 따지는데 애용되는 도구로서 중요도가 매우 높습니다. 미적분학 급수 파트를 떠나 해석학이나 고급 미적분을 할 때 급수가 빈번하게 등장하고, 그 때 잊을 뻔하면 이 비판정법을 사용해서 수렴 여부를 판단할 때가 많습니다.

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1. 비판정법 (Ratio Test)

 

정리($CC$) 1.9

급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 에 대하여 $\lim_{n\rightarrow \infty}\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$ 라 하자.

① $\rho <1$ 이면 급수 $\displaystyle\sum a_n$ 은 수렴한다.
② $\rho >1$ 이면 급수 $\displaystyle\sum a_n$ 은 발산한다.
③ $\rho =1$ 이면 판정불능(Indetermine)이다.

 

증명 )

i) $\rho <1$ 인 경우

$\rho <r<1$ 이 되는 수 $r$ 을 고려할 것이다. 이 $r$은 등비급수의 공비 역할을 하게 되고 그러니 $r<1$ 일 때 수렴한다는 사실을 활용하자. 어떤 수 $N$이 존재하여, $N$ 번째 항은 다음 부등식을 만족한다.

$$\begin{align*}
\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho<r\;\;\Rightarrow &\;\; a_{N+1}<ra_{N} \\& 
a_{N+2}<ra_{N+1}<r^2a_{N} \\&
a_{N+3}<ra_{N+2}<r^2a_{N}
\end{align*}$$

가장 왼쪽 변과 오른쪽 변을 각각 변변마다 더해주면, 급수 $a_n$ 은 공비가 $r$인 등비급수보다 작아 비교판정법을 적용할 수 있다.

$$a_{N+1}+a_{N+1}+\cdots <ra_{N}+r^2a_{N}+r^3a_{N}+\cdots =\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}r^na_N$$
여기서 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty}r^na_N$ 은  공비가 $r<1$ 이므로 수렴하며, $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{\infty}a_N$ 을 지배하므로 급수 $\displaystyle\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n$ 도 수렴한다.


ii) $\rho >1$ 일 때

어떤 수 $N$ 에 대하여 

$$\begin{align*}
\displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho>1\;\;\Rightarrow &\;\; a_{N+1}>a_{N} \\& 
a_{N+2}>a_{N+1}>a_{N} \\&
\end{align*}$$

으로 $a_n$ 은 $n$이 커짐에 따라 계속 증가한다. 즉 충분히 큰 $n=N$ 에 대하여 $a_N>0$ 이므로 일반항 판정법에 의하여 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\infty\neq 0 $ 이므로$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ 는 발산한다.


iii) $\rho=1$ 일 때는 여러 반례가 있다.

$a_n=\displaystyle\frac{1}{n^2}$ 이면 $p=2>1$ 인 $p$급수이므로 수렴하고, $b_n=\displaystyle\frac{1}{n}$ 이면 조화급수이므로 발산하는데,

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}=\frac{a_{n+1}}{a_n}=
\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}=\frac{b_{n+1}}{b_n}=1$$

 

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2. 절대비판정법(Absolute ratio test)

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절대비판정법은 비판정법에서 극한값을 조사할 때 분모, 분자에 수열의 일반항에 절댓값 기호를 씌워 넣었다는 차이점이 존재합니다. 왜 굳이 이런 판정법이 하나 더 필요한지 의문이 들 수 있는데, 이것은 멱급수에서의 중요성이 어마어마합니다. 멱급수는 음과 양이 번갈아 나타날 때가 빈번하기 때문에, 더해지고, 빼지고 하는 과정이 반복되지만 교대급수판정법을 사용하기 어려울 때 이 절대비판정법이 요긴하게 쓰입니다.

 

정리($CC$) 1.10

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n $이 0이 아닌 항들로 이루어진 급수일 때,  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left | a_{n+1} \right |}{\left | a_n \right |}=\rho$ 라 하자.

① $\rho <1$ 이면 급수 $\displaystyle\sum a_n$ 는 절대수렴한다.
② $\rho >1$ 이면 급수 $\displaystyle\sum a_n$ 은 발산한다.
③ $\rho=1$ 이면 판정불능(Indetermine)이다.

 

증명은 비판정법과 거의 동일하고, $\rho>1$ 일 때만 아래에서 정확히 증명할 것입니다. $\rho<1$ 일 때는 절댓값 급수가 절대수렴하므로 절대수렴판정법을 이용하면 결국 일반 급수도 수렴할 수 있으며, $\rho=1$ 인 경우는 여전히 판정불능임을 바로 캐치할 수 있기 때문입니다.

 

증명) $\rho>1$ 일 때, 급수 $\displaystyle\sum \left | a_n \right |$ 이 발산할 때 $\displaystyle\sum a_n$ 도 발산하는지를 보이면 된다. 만일 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\left | a_{n+1} \right |}{\left | a_n \right |}>1$ 이면 적당히 큰 $n=N$ 에 대하여

$$\left | a_{n+1} \right |>\left | a_{n} \right |>0 $$
이므로 수열 $\left \{ \left | a_{n} \right | \right \}$ 는 증가수열이다. 따라서 일반항 판정법에 의해 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\neq 0$ 이므로 $\displaystyle\sum a_n$ 은 발산한다.

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3. 비판정법은 언제 쓰는가?

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비판정법은 주어진 급수의 일반항이 지수에 n을 포함하고나 계승(factorial)항을 보유하고 있을 때, 곧

 

$$r^n \;,\; n^n \;,\;n!$$

 

등을 가지고 있을 때 유용하게 쓰입니다.

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그 까닭은 단순히 an+1과 an 의 비를 떠올려보면 됩니다. 지수가 n이거나 팩토리얼을 가지고 있는 수열은 하나 높은 항과 비율을 따졌을 때 n이나 r같은 값이 나오게 되고, 그것은 1보다 크거나 작거나 둘 중 하나의 결과가 나올 확률이 매우 높기에 판정이 손쉽게 이루어질 것이기 때문입니다.

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예제 3) 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3^{n-1}}{(n+2)!}$ 의 수렴 발산 여부를 판정하여라.

 

팩토리얼과 $n$을 power 로 갖는 식이 있으니 고민할 것 없이 비판정법을 때려봅니다.

 

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\displaystyle\frac{3^{n}}{(n+3)!}}{\displaystyle\frac{3^{n-1}}{(n+2)!}}>1=
\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{n+3}=0$$

 

0은 1보다 작으니, 비판정법에 의해 이 급수는 수렴합니다.