멱급수, 거듭제곱급수와 수렴집합 (Power series and its Convergence Test)

가장 중요한 급수는 결국 멱급수이고, 멱급수는 수학의 타 분야에 이리저리 그물망을 펼쳐 넓게 연결되어 있습니다. 미적분학에서만 놓고 보더라도, 멱급수는 테일러급수와 테일러전개를 위한 도구로서의 의미가 짙습니다. 나아가 고급 수학으로 접어들게 되면 어렵고 복잡한 미분방정식을 풀 때 멱급수 기반 풀이인 프로베니우스의 방법을 사용할 때 급수가 주력 도구이기 때문에 미적분학을 공부할 때 급수 파트는 벡터장 파트와 더불어 반드시 머릿속에 장착해 두어야 합니다.

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1. 멱급수란 무엇인가?

 

변수 $x$에 대한 거듭제곱들의 합으로 구성된 무한급수를 멱급수 또는 거듭제곱급수(power series)라고 한다.
$$\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n=c_0+c_1x+\cdots +c_nx^n+\cdots$$
$$\sum_{n=0}^{\infty}c_n\left ( x-a \right )^n=c_0+c_1\left ( x-a \right )+\cdots +c_n\left ( x-a \right )^n+\cdots$$
이 때 $x=a$를 멱급수의 중심(center)이라고 부른다. 첫 식은 $a=0$인 특별한 경우이다.

 

'멱'은 거듭제곱을 뜻하는 우리말 뜻입니다. 영어로는 power라고 부릅니다. 수학에서 power는 십중팔구 지수와 관련된 이 거듭제곱을 말합니다.

 

멱급수의 형태는 미지수 $x$의 거듭제곱들이 더해질 꼴이며 각각에 계수들이 곱해진 꼴을 가지고 있습니다.

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2. 멱급수의 수렴판정법

 

우리가 원하는 것은 여태까지 해왔듯이 내게 주어진 급수가 수렴하는지에 관심을 갖는 것이고, 나아가 수렴한다면 어떤 방법을 이용해 수렴 여부를 판단할 수 있는지에 관한 것입니다. 멱급수의 경우 멱급수만의 수렴판정법이 따로 있는 것은 아니고 앞으로 이 두개만 기억하시면 됩니다.

 

멱급수의 수렴판정은 대개의 경우 다음의 방법으로 확인할 수 있다.

① 절대비판정법을 사용한다.
② 구간의 양 끝 점은 각각 별도로 조사한다.

 

우선 아주 간단한 예제를 풀어봅시다. 

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예제 1) 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 의 수렴집합을 구하여라.

 

멱급수의 수렴집합이란, 멱급수가 수렴하게 되는 $x$값의 집합을 뜻합니다. 자세한 것은 아래에서 보충설명할 예정이고, 우선 예제를 푸는데 집중해 봅시다. 이 급수는 지수함수의 테일러전개이기도 합니다. 위에서 언급한대로 절대비판정법을 적용하면

 

$$\rho=\lim_{n\rightarrow \infty}\left | \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,\div\,\frac{x^n}{n!} \right |=0$$

 

$\rho$값이 0이니 절대비판정법에 의해 주어진 급수는 모든 실수 $x$에 대하여 수렴합니다.

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예제 2) 멱급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{(n+4)!}$ 의 수렴집합을 구하여라.

 

절대비판정법을 사용하면

$$\rho=\lim_{n\rightarrow \infty}\left | \frac{\left ( x-1 \right )^{n+1}}{(n+5)^2}\,\div\,\frac{(x-1)^n}{(n+4)^2} \right |=\left | x-1 \right |$$

 

그러면 이 값이 1보다 큰 지, 작은지를 기준으로 삼으면 $\left | x-1 \right |<1\;\;\Rightarrow \;\;0<x<2$ 에서 수렴하고, $\left | x-1 \right |<1 \;\; \Rightarrow \;\; x>2\;,\;x<0$ 에서 발산함을 알 수 있습니다. 그런데 $x=0,x=2$는 어떻게 해야 할까요? 이것이 바로 위 박스의 ②에 해당하는 것으로 이 $x$값들은 그냥 넣어서 직접 확인해야 합니다.

 

1) $x=2$인 경우 $p=2$인 $p$급수와 비교합니다.

 

$$\frac{1}{(n+4)^2}<\frac{1}{n^2}$$

 

$p$급수 판정법에 의하면 $p=2>1$이니 우변의 급수는 수렴합니다. 그러면 비교판정법에 의하여 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+4)^2}$ 또한 $x=2$에서 수렴합니다.

 

 

2) $x=0$ 일 때 주어진 급수는 교대급수입니다.

 

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+4)^2}$$

 

교대급수판정법을 이용하면 주어진 급수가 수렴함을 알 수 있습니다.

 

$$\frac{1}{(n+4)^2}>\frac{1}{(n+5)^2}\;\;\mathrm{and}\;\;\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{(n+4)^2}=0$$

 

따라서 문제에서 주어진 급수는 $x=2,x=0$에서도 수렴하기 때문에 수렴집합은 닫힌구간 $[0,2]$가 됩니다.

 

이처럼, 멱급수는 간단하게 절대비판정법 한번으로 끝날 때도 있지만, 양 끝 점을 반드시 조사해야 하는 상황에도 놓이게 되고 그 때는 알고 있는 모든 판정법을 동원해 수렴/발산 여부를 파악해야 합니다.

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3. 멱급수의 수렴집합

 

멱급수가 수렴하도록 하는 $x$값들의 집합을 멱급수의 수렴집합이라고 하는데, 이 수렴집합의 형태에 관한 정리가 있습니다. 이에 의하면 수렴집합은 다음의 세 가지 형태만 가능합니다.

 

정리($CC$) 1.16

멱급수의 수렴집합은 오로지 다음 세 가지 종류 중 한가지만이 가능하다.

① 멱급수의 중심 한 점 $x=a$
② 열린구간 $(a-R, a+R)$ 또는 양 끝 점 2개를 모두 포함하거나, 하나만 포함하는 경우
③ 실수(수직선) 전체

이 때 각각의 경우에서 멱급수의 수렴반경(radius of convergence)을 $0, R, \infty$ 라 한다.

 

학부 1학년 미적분학에서는 위 정리의 엄밀한 증명이 중요친 않습니다. 그래도 궁금해하시는 분들을 위해 간단히 $a=0$인 멱급수 꼴에 대해서 증명은 다음 포스팅에 올려두겠습니다. (또는 여기를 참고하세요.)

 

위 정리의 의의를 생각해 봅시다. 멱급수의 수렴집합은 대칭성을 가지고 있다는 특징을 볼 수 있습니다. 수렴집합이 한 점이나 실수 전체인 경우는 극과 극이기 때문에 대부분의 경우 구간 $(a-R,a+R)$ 의 형태로 주어지게 됩니다. 고로 멱급수는 반드시 멱급수의 중심 $x=a$ 에서는 수렴한다는 특징을 가지며, 정확히 대칭적으로 왼쪽으로 $R$ 만큼 오른쪽으로 $R$ 만큼의 범위 내에서 수렴한다는 것입니다. 이 때 물론 끝점, 즉 $x=R$ 과 $x=-R$ 이 수렴집합에 포함되는지는 반드시 대칭성을 가지지 않을 수도 있습니다.

 

이러한 대칭성이 존재하는 이유가 무엇일까요? 간단히 생각해보면, 멱급수는 거듭제곱을 포함하고 있어서 등비급수와 유사한 특징을 가지게 됩니다. 제곱을 할수록 커진다는 거듭제곱의 특성상, 순수 제곱, 세제곱, 네제곱... 이런식으로 커지면 항은 당연히 발산할 것입니다. 그래서 제곱을 당하는 숫자(멱급수에서는 $x, x-a$)가 등비급수에서는 $\left | r \right |<1$ 이었듯이 절댓값으로 주어지는 범위에서 어떤 숫자보다 작아야 한다는 식이 나와야 하기에, (즉 $\left | x \right |<k$ 꼴) 대칭성을 가지게 된 것입니다.

 

미적분학 수준에서 이보다 더 심도한 탐구를 할 필요는 없다고 생각합니다. 멱급수의 응용은 도입부에서 언급한 것처럼 해석학이나 고급 미적분, 미분방정식의 풀이방법으로 활용될 때 더욱 빛을 발하게 됩니다.