극한 비교 판정법 (Limit Comparison Test)

극한비교판정법은 두 수열 $\left \{ a_n \right \},\left \{ b_n \right \}$ 의 비의 극한값이 어떤 값을 갖는지에 따라 두 급수의 수렴/발산 여부를 결정할 수 있는 판정법입니다. 이 판정법은 주로 주어진 급수가 $n$의 상수승만을 포함하고 있을 때 전략적으로 사용할 수 있는 방법입니다.

 

정리($CC$) 1.8

$a_n\geq 0\;,\;b_n\geq 0$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ 이라 하자.

① $0<L<\infty $ 이면 $\displaystyle\sum a_n$ 과 $\displaystyle\sum b_n$ 은 수렴과 발산을 같이한다.
② $L=0$ 이고 $\displaystyle\sum b_n$ 이 수렴하면 $\displaystyle\sum a_n$ 도 수렴한다.
③ $L=\infty$ 이고 $\displaystyle\sum b_n$ 이 발산하면 $\displaystyle\sum a_n$ 도 발산한다.

 

증명) 수열의 극한 정의에 의해, 어떤 수 $N$ 이 존재하여 $n\geq N$ 일 때 $\varepsilon =\displaystyle\frac{L}{2}$ 로 선택하면 $\left | \displaystyle\frac{a_n}{b_n}-L \right |<\displaystyle\frac{L}{2}$에서

$$\displaystyle\frac{L}{2}<\displaystyle\frac{a_n}{b_n}<\displaystyle\frac{3L}{2}$$
이고 이 부등식을 풀면 $b_n<\displaystyle\frac{2}{L}a_n$ 과 $a_n<\displaystyle\frac{3L}{2}b_n$ 를 얻는다.

그러면 비교판정법에 의하여 급수 $\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty} a_n $ 는 $\displaystyle\frac{L}{2}\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty} b_n $ 을 지배하고, $\displaystyle\frac{3L}{2}\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty} b_n $ 는 $\displaystyle\sum_{n=N}^{\infty} a_n$ 을 지배하므로 두 급수  $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 과 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n $ 는 수렴과 발산을 같이한다.

 

$n=1$ 부터 시작하는 급수의 수렴 여부는 꼬리가 중요하기 때문에 $n=k$ 부터 시작하는 급수의 수렴을 보여도 상관이 없음을 설명했었지요. 본 증명에서도 그리하여 $n=N$ 에서부터 시작하는 급수를 데려와 지배관계를 논하여 비교판정법을 적용하여 증명했습니다.

 

극한비교판정법은 단순 비교판정법보단 쓸 일이 많습니다. 앞서 말한 것처럼 $n$의 상수 power 만 가지고 있는 급수에 대해서 (분수꼴도) 적용하면 효과적입니다. 그러나 여전히 비교해야 할 수열을 하나 찾아야 한다는 단점을 지니고 있습니다. 그 비교하는 수열은 $p$급수나 조화급수같이 수렴이나 발산 여부를 이미 알고 있는 수열을 떠올리는 것이 가장 좋습니다.

 

예제를 하나 풀어보며 차근차근 이해해 봅시다.

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예제 2) 급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{4n-1}{n^3-6n^2+5}$ 의 수렴, 발산을 판정하여라.

 

 

sol) 주어진 수열의 $n$의 power가 모두 상수 뿐이기 때문에 극한비교판정법을 사용하는 것이 유리합니다. 단 여기서 무엇과 주어진 수열을 비교할지가 핵심입니다.

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$p$급수는 $p>1$일 때 수렴한다는 사실을 이미 알고 있는데, 주어진 급수의 최고차항 부분만 보면

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{4n}{n^3}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{4}{n^2}$$

 

가 됩니다. 그래서 이것을 급수 $b_n$ 으로 선택하면 되며, 극한값을 계산하면

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\displaystyle\frac{4n-1}{n^3-6n^2+5}}{\displaystyle\frac{4}{n^2}}=1$$

 

가 되고 이것은 $p=2>1$ 인 $p$급수이니 급수 $b_n$ 은 수렴합니다. 고로 극한비교판정법에 의하여 두 급수는 수렴과 발산을 같이하며, 이 때 급수 $a_n$ 에 해당하는 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{4n-1}{n^3-6n^2+5}$ 도 수렴합니다.