멱급수의 연산 및 항별 미분과 적분에 관한 성질 (Operations on Power seires, Term-by-term Differentiation and Integration)

여태까지 다뤘던 멱급수 이론은 수렴판정법에 관한 것이였습니다. 그래서 이것만 배우면 마치 앞으로 멱급수에 대한 공부는 주어진 급수가 발산하는지, 수렴하는지를 따지기 위한 것이라고 착각할 수가 있는데, 멱급수는 사실 테일러 정리와 미분방정식의 해법에서 사용하기 위함이 주된 목적입니다. 테일러 급수와 테일러 정리를 위해서 멱급수 간의 연산 규칙이 성립함을 알아야 하므로 간단히 짚고 넘어가봅시다. 오늘 할 내용들은 지극히 당연한 계산들이며 어려울 것은 없습니다.

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1. 멱급수의 덧셈과 뺄셈

 

서로 다른 두 멱급수를 항별로 더하거나 뺀다고 생각해봅시다. 두 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\;,\;\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 에 대하여 이 두 급수가 수렴하는 경우, 둘을 더하거나 뺀 급수도 여전히 수렴합니다.

 

정리($CC$) 1.18

두 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\;,\;\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 이 각각의 수렴집합 안에서 수렴하고 공통 수렴 구간을 $-r<x<r$ 이라고 하자. 이 때 
 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n=\;,\;g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 라 하면, 두 급수의 덧셈과 뺄셈을 한 새로운 급수는 적어도 $-r<x<r$ 에서 각각 $f(x)+g(x)\;,\;f(x)-g(x)$ 로 수렴한다.

 

증명은 간단히 급수가 선형적 사실을 만족한다는 특징으로부터 성립합니다. 

 

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2. 멱급수의 곱셈과 나눗셈

정리($CC$) 1.19

각각의 수렴집합 안에서 수렴하는 두 멱급수$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\;,\;g(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n$ 가 존재할 때 이들의 공통 수렴 구간이 $-r<x<r$ 이라고 하자. 그러면 이 급수들의 곱 또한 $-r<x<r$ 에서 $f(x)g(x)$ 로 수렴하며, 다음의 관계식을 만족한다.

$$\left ( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \right )\cdot \left ( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n \right )
=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n $$
이 때 $c_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots a_{n-1}b_1+a_nb_0=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$ 이다.

 

증명) 다음 식을 전개하면 된다. (이항전개처럼 각각의 항들이 서로 곱해져서 $a_n,b_n$ 의 인덱스들의 합이 $n$이 된다.)

$$\left ( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \right )\cdot \left ( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n \right )
=\left ( a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots  \right )\cdot \left ( b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots  \right ) $$

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3. 멱급수의 항별 미분 및 적분

 

위에서 한 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈을 포함하여, 멱급수를 가지고 다항함수를 미분하거나 적분하듯이 미분, 적분을 수행해도 된다는 유용한 성질들이 성립한다는 사실이 이미 밝혀져 있습니다. 그런데 이것들을 엄밀히 증명하는 것은 미적분학의 범위를 뛰어넘습니다. 지금은 미적분학 시간이니 그것을 정확히 증명하고 넘어가지 않겠습니다. 그리고 직관적으로 생각해도 자연스레 성립하는 성질로 받아들이는데 큰 문제는 없을 것입니다.

그래도 간단히 이에 관한 내용을 언급하겠습니다. 멱급수의 항별 미분과 적분 등을 하였을 때 같은 수렴 반지름에서 수렴하는 새로운 멱급수가 탄생하는 등 연산에 기본적인 성질은 바로 그 멱급수가 균등수렴(Uniform Convergence)하는지에 달려 있습니다. 균등수렴에 관한 개념이 아주 어렵지는 않습니다만, 미적분학이라는 주제를 넘어서므로 여기서는 자세히 다루지 않는 것입니다. 더 궁금하신 분들은 해석학 책을 찾아보셔야 합니다.

 

정리($CC$) 1.20

[멱급수의 항별 미분 정리(The Term-by-Term Differentiation Theorem)]

급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n(x-a)^n$ 가 수렴반지름이 $R>0$ 일 때 열린구간 $a-R<x<a+R$ 에서 수렴하고, 그 값이 $f(x)$라 하자. 이 때 $f$의 모든 차수의 미분(도함수)는 이 구간 내부의 모든 점에서 멱급수를 항별 미분한 값으로 수렴한다. 즉,

$$f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n\;\;\;(a-R<x<a+R)\\\\ \Rightarrow\;\; f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}nc_n(x-a)^{n-1}
f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)c_n(x-a)^{n-2}$$ 가 성립한다.

 

정리($CC$) 1.21

[멱급수의 항별 적분 정리(The Term-by-Term Integration Theorem)]

급수 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$ 가 수렴반지름이 $R>0$ 일 때 열린구간 $a-R<x<a+R$ 에서 수렴한다고 하자. 그러면 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}$ 또한 이 구간에서 수렴하며, 이 구간 $a-R<x<a+R$ 에서
$$\int f(x)dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n\frac{(x-a)^{n+1}}{n+1}+C$$ 가 성립한다.

 

앞서 말했듯이 이 정리를 완벽히 증명하려면 해석학 내지는 고급 미적분학 서적을 참고해 보아야 합니다. 정리의 의의에 초점을 맞춰 보자면 어떤 급수에 대해서 이 급수가 수렴 반지름이 $R$인 열린구간에서 수렴할 때, 이 급수의 양변을 미분하거나 적분한다고 해도 그 값이 여전히 원래 급수의 수렴 구간 안에서 수렴함을 뜻하는 것입니다. 즉 미분과 적분을 수행해도 수렴 반지름은 변하지 않게 됩니다. 단, 그 구간의 양 끝 점에 대해서는 따로 조사를 해야 합니다.

 

미적분학에서는 이 성질을 이용해 수렴하는 등비급수를 시작으로 미적분을 해서 여러 초월함수를 다항함수로 표현하는 작업들을 하게 합니다. 몇가지 예를 살펴보겠습니다.

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예제 1) 등비급수 $\displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots ,\;\;\;(-1<x<1)$ 를 항별 적분하여 얻는 함수는 무엇인가?

 

$$\int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}dt=\int_{0}^{x}1dt\,+\int_{0}^{x}xdt\,+\int_{0}^{x}x^2dt\,+\cdots \, ,\;\;\;(-1<x<1)\\\\
-\ln (1-x)=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots \,, \;\;\;(-1<x<1)$$

 

여기서 양변에 -1을 곱한 뒤 $x$ 대신 $-x$를 넣어주면 로그함수의 급수표현을 얻습니다.

 

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\cdots \,, \;\;\;(-1<x<1) $$

 

[그림 1] 함수 $\frac{1}{1-x}$ 와 이의 급수표현 그래프를 비교한 그림. 급수의 더 많은 항들을 더할수록 근사의 오차가 줄어든다.

 

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예제 2) 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots $ 가 수렴하는지 조사하고, 수렴한다면 $S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 를 만족하는 함수 $S(x)$ 를 찾아보아라.

 

 

수렴판정을 먼저 해야 하기 때문에 절대비판정법을 사용합니다.

 

$$\rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\left | \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\div \frac{x^n}{n!} \right |=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left | x \right |}{n+1}=0$$

 

그러므로 이 급수는 모든 실수 $x$에 대해서 수렴합니다. 그렇다면 수렴하는 값이 $S(x)$이고, 이것을 찾아야겠지요. 항별 미분을 해봅시다.

 

$$S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \\\\
S'(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots $$
$$\therefore \;\;S(x)=S'(x)$$ 

놀랍게도 미분을 해도 여전히 우변이 같지요. 즉 도함수와 원함수가 똑같다는 뜻입니다. 세상에 이 규칙을 만족하는 함수는 오직 하나뿐이죠. 바로 $e^x$ 입니다.

 

다음 시간에 배울 테일러 급수에서 바로 이렇게 멱급수가 특정 조건 하에서 수렴하는 하나의 항으로 표현 가능한 함수로 바꾸어 쓸 수 있다는 것을 알게 될 것입니다.

 

 

※ 방금 위 문장에서 주의할 것이 있습니다. 후에 테일러 급수를 다룰 때 몇번이고 누차 강조해서 반복 설명하겠지만, 멱급수의 수렴집합을 찾아서 그 구간 내에서 멱급수가 어떤 값으로 수렴한다는 것을 발견했을 때, 이것만으로 무한급수를 1개의 항으로 이루어진 특정 함수(위 예제 2) 에서 $e^x$ 같은 함수)로 바꾸어 쓸 수 있음이 100% 보장되는 것은 아닙니다. 즉 멱급수가 수렴한다는 정보만 가지고는 테일러 급수를 완벽하게 작성할 수 있는 경우도, 없는 경우도 있습니다.

 

 

[참고문헌]
CALCULUS, EDWIN J. PURCELL , PEARSON
George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano - Thomas's Calculus Addison Wesley