테일러 정리와 테일러 공식 (Taylor's Theorem and Taylor's Formula)

저번 포스팅에서 했던 멱급수와 테일러 급수에 관한 논쟁, 테일러 전개를 통해 급수를 얻을 조건에 관한 개념들을 이해했다면 실은 절반 정도는 성공했다고 보면 됩니다. 이는 테일러 정리와 공식을 통해 좀 더 견고한 이론을 세워 나갈 수 있는 준비 체계를 모두 갖췄다고 보면 됩니다. 오늘까지만 정복하면 하나 둘 씩 의문증에 대한 답을 할 수 있으리라 믿습니다.

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1. 테일러 정리

 

 

정리($CC$) 2.3) 테일러 정리(Taylor's Theorem)
함수 $f$ 에 대하여 $f,f',f'',\cdots , f^{(n)}$ 이 $x=a$ 를 포함하는 닫힌구간 $\left [ a,b \right ]$ 에서 연속이고 열린구간 $\left ( a,b \right )$ 에서 무한 번 미분가능할 때, 다음을 만족하는 수 $c$가 $a<c<b$ 에 존재한다.
$$f(b)=f(a)+f'(a)\left ( b-a \right )+\frac{f'(a)}{2!}\left ( b-a \right )^2+\cdots +\frac{f^{n}(a)}{n!}\left ( b-a \right )^2+\frac{f^{(n+1)}(c)}{\left ( n+1 \right )!}\left ( b-a \right )^{n+1}$$

 

테일러 정리는 매우 매우 중요합니다. 우선 이 정리의 의의를 생각해봅시다. 일반적인 테일러 급수와 비교하면, 이 정리는 무한 번 미분가능한 함수 $f$를 테일러 전개했을 때, $n$번째 항까지는 놔두고 $n+1$ 번째 항부터 무한개의 항을 나머지라는 하나의 항으로 바꿔 표현할 수 있음을 가리키고 있습니다. 여기서 조심할 것은, 테일러 정리의 마지막 항은 테일러 급수의 $n+1$번째 항과 전혀 다른 항이라는 것입니다! 잘 보시면 마지막 항은 $f^{(n+1)}(a)$ 가 아니라 $f^{(n+1)}(c)$ 입니다. 이걸 헷갈리면 큰일납니다.

 

 

[그림 1] 평균값의 정리 (https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem)

 

다른 관점으로는 테일러 정리를 '평균값의 정리(Mean Value Theorem)'의 일반판에 해당하는 녀석으로 볼 수가 있습니다. 위에서 $b$대신 $x$를 쓰면 더 깔끔하지 않느냐, 이렇게 생각할 수 있는데 결론적으로 보자면 그게 맞지만 $b$로 쓴 이유는 평균값의 정리를 떠올릴 수 있도록 꼴을 맞춰준 것입니다. 고등학교 때 배우는 평균값의 정리는

 

정리($CC$) 2.4) 평균값의 정리(高)
함수 $f$가 닫힌구간 $\left [ a,b \right ]$ 에서 연속이고 열린구간 $\left ( a,b\right )$ 에서 미분가능할 때, 다음을 만족하는 $c$가 $a<c<b$ 에 적어도 하나 존재한다.
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

 

이고, 이제 위의 테일러 정리와 비교해보시면 고등학교 때 평균값 정리가 $n=0$ 일 때의 테일러 정리에 해당하는 것임을 알아차릴 수 있을 겁니다. 추가로 테일러 정리의 증명은 평균값의 정리 증명과 유사함이 있는데, 일반판을 증명하는 일은 좀 더 복잡하며 여러 방법이 있습니다. 그래서 다음 포스팅에 따로 증명만 소개하고, 여기서는 성립한다는 사실을 바탕으로 활용에 주목할 것입니다.

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2. 테일러 공식

 

테일러 정리에 의하면 마지막 항은 무한개의 항을 대체한 하나의 항입니다. 그러면 아래와 같이 정의되는 테일러 다항식을 배운 뒤 테일러 급수식을 좀 더 간결하게 바꿀 수 있습니다. (테일러 다항식의 정의만 지금 하고, 이에 대한 중요한 근사 등의 개념은 또 다른 글에서 이어갈겁니다.)

 

정리($CC$) 2.5) 테일러 다항식(Taylor's Polynomials)
함수 $f$에 대하여 $f',f'',\cdots ,f^{(n)}$ 이 $x=a$ 를 포함하는 열린구간에서 연속이라고 하자. 즉 $x=a$에서 함수 $f$는 무한 번 미분가능하다. 이 때 함수 $f$의 $a$에서의 $n$계 '테일러 다항식(Taylor's Polynomials)'은 다음과 같이 정의된다.
$$P_n(x)=f(a)+f'(a)\left ( x-a \right )+\frac{f''(a)}{2!}\left ( x-a \right )^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\left ( x-a \right )^n$$

 

테일러 다항식은 그냥 $n$번째까지의 테일러 전개식을 말하는 것이죠. 그러면 이제 함수 $f$의 테일러 급수는, 이 $n$계 테일러 다항식에 잉여항만 더해주면 됩니다. 이것을 설명하는 것이 테일러 공식입니다.

 

정리($CC$) 2.6) 테일러 공식(Taylor's Formula)
함수 $f$가 $x=a$를 포함하는 열린구간에서 무한 번 미분가능하면 테일러 급수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
$$\begin{align*}
f(x)&=f(a)+f'(a)\left ( x-a \right )+\frac{f''(a)}{2!}\left ( x-a \right )^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\left ( x-a \right )^n+R_n(x)
\\\\&=P_n(x)+R_n(x)
\end{align*}$$ 여기서 마지막 우변의 마지막 항은
$$R_n(x)=\displaystyle\frac{f^{n+1}(c)}{\left ( n+1 \right )!}\left ( b-a \right )^{n+1}$$ 으로 나타내며, '라그랑주의 나머지항(Remainder of order $n$)' 이라 부른다.

 

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3. 언제 주어진 함수의 테일러 급수가 쓸모 있는가?

 

1) 라그랑주의 나머지항

 

여기까지의 이해를 마쳤다면 초록명제에 대한 답과 무척 가까워졌습니다. 이전 포스팅에서 테일러 급수가 $f(x)$ 랑 같아지는 경우는 특별한 case 라 언급했었는데, 그에 대한 답을 아래 정리가 말해줍니다.

 

정리($CC$) 2.7
함수 $f$가 $x=a$를 포함하는 열린구간에서 무한 번 미분가능할 때, $f$ 의 테일러 급수가 정확히 $f$ 와 같아지기 위한 필요충분조건은 $n\rightarrow \infty$ 일 때 라그랑주의 나머지항이 0으로 수렴하는 것이다. 즉,
$$\lim_{n\rightarrow \infty}R_n(x)=0$$ 인 것이다.

 

증명) 테일러 공식에 의하여 $f(x)=P_n(x)+R_n(x)$ 이다. 양변에 $n\rightarrow \infty$ 의 극한을 취해주면,

$$f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\left [ P_n(x)+R_n(x) \right ]=\lim_{n\rightarrow \infty}P_n(x)=(\mathrm{Taylor\;Series})$$
따라서 함수 $f(x)$는 정확히 테일러 급수와 같아진다.

 

 

정리를 해봅시다.

 

어떤 함수 $f$ 가 있을 때, 이것이 $x=a$를 포함하는 어떤 구간에서 무한 번 미분가능하기만 하면 반드시 테일러 전개를 할 수 있어서 테일러 급수를 얻게 됩니다. 그런데, 이렇게 전개한 테일러 급수는 항상 $f$와 같아지지는 않습니다. 그러니까, 열심히 테일러 전개를 해도 $f$와 같아지지 않는 테일러 급수를 얻으면 우리는 전혀 쓸모없는 짓을 하게 된다는 것이죠.

 

그래서 열심히 조사를 해본 결과가 위 정리입니다. 테일러 전개를 해서 얻은 테일러 급수가 반드시, 또 정확히 $f$와 같아지는 경우(=멱급수와 같아지는 경우)는 바로 나머지항 $R_n(x)$의 $n\rightarrow \infty$ 일 때 극한값이 0이 되면 된다는 겁니다. 그러면 $P_n(x)$의 $n$이 무한대로 가니까 테일러 급수가 되지요.

 

그렇다면 이제 용어표현을 정확히 고쳐써 보도록 합시다. 이 전 포스팅에서 '멱급수 표현식과 테일러 급수가 같을 때' 또는 '같지 않을 때'라는 문장을 많이 사용했는데, 이해를 돕기 위해 제가 위조를 가한 것이었고, 수학적으로 정확한 표현은

 

$f(x)$는 $f(x)$의 테일러 급수와 같을 수도 있고, 같지 않을 수도 있다.
만약 같으면 $f(x)$의 테일러 급수는 유일한 $f$의 멱급수 표현이다.

 

이라고 할 수 있습니다.

 

 

2) 주의점

 

여기서 끝나면 참 좋기는 한데, 추가로 고려해야 할 사항이 있습니다. 아래 의문을 한 번 봅시다.

 

"테일러 급수도, 무한급수이자 멱급수의 일종이니, 멱급수의 수렴판정법을 써서 유한개의 항으로 만들면 되지 않나요?"

 

일리 있는 말입니다. 애초에 테일러 급수를 생각하기 이전에 우리는 무한개의 항들을 다루는 무한급수 내에서 멱급수를 연구하고 있으니, 멱급수의 수렴판정법을 써서 테일러 급수를 유한개의 항으로 바꾸는 방법을 쓰면 되지 않느냐는 생각을 할 수 있지요. 다시 말하자면, $f$가 무한 번 미분가능한 경우

 

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\cdots \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots $$

 

로 테일러 전개를 해서 테일러 급수를 반드시 얻을 수 있습니다. 그러면 좌변은 유한개의 항이고, 우변은 무한개의 항이죠? 이 등식이 성립하려면, 멱급수가 수렴하면 됩니다. 왜냐하면 멱급수가 수렴할 때는 2개 이상의 서로 다른 값으로 수렴할 수 없고 오직 하나의 값으로만 수렴합니다. 그러니 우변을 하나의 멱급수로 상정하여, 절대 비 판정법과 구간 양 끝을 후려쳐 수렴 구간을 세우고 수렴값을 딱 구해주면 그것이 $f(x)$가 나오지 않을까, 하는 의문입니다.

 

 

안타깝게도, 그게 되는 경우도 있지만 안되는 예외가 있습니다. 저번 포스팅에서 설명한 예제 2) 의 함수입니다. (풀이는 해당 포스팅에서 다 했으니 여기서 자세히 적진 않겠습니다.)

 

$$f(x)=\left\{\begin{matrix} 
0\;\;\;(x=0)\\\\ 
e^{-\displaystyle\frac{1}{x^2}} \;\;\;(x\neq 0) 
\end{matrix}\right.$$

 

이 함수는 재밌게도 $x=0$ 에서 $f(x)$ 의 테일러 급수가 수렴을 합니다. 그러면 멱급수가 수렴하는 것이고, 수렴하는 값은 오로지 1개로 유일하니, 그게 $f(x)$인 것 아닌가? 할 수 있는데 정말 이상하게도 그렇지 않습니다. 즉, 테일러 급수는 (멱급수의 일종이니) 수렴할 수 있으나 $f(x)$로 수렴할 수도 있고, $f(x)$ 로 수렴하지 않을 수도 있습니다! 고로 테일러 급수가 수렴한다는 사실이 반드시 그것이 $f(x)$와 같아진다는 사실까지 내포하는 것은 아닙니다. 물론, $f(x)$로 수렴하지 않는 경우,

 

$$\lim_{n\rightarrow \infty}R_n(x)\neq 0$$

 

입니다. 그러니, 테일러 급수가 $f$를 나타내는지를 연구하려면 멱급수의 수렴판정법을 쓰는 것으로는 부족하며, 언제든지 라그랑주의 나머지항의 극한값을 조져주면 성공하게 됩니다.

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4. 멱급수의 표현은 유일하다.

 

이 전 포스팅에서 집합관계로 다음 그림을 제시했었습니다.

 

[그림 2]

 

이제 이 그림을 보완할 것입니다. 

 

[그림 3]

 

따라서 어떤 함수가 테일러 급수와 정확히 같으면, 그 함수의 멱급수 표현은 테일러 급수식과 완벽히 일치하고, 유일합니다.

 

처음부터 저렇게 제시하면 되지 않느냐, 할 수 있습니다. 그러나,

 

초등학생에게 음수에서 양수를 뺄 수 있다고 가르치지 않고, 중학생에게 근호 안에는 양수만이 들어가야 한다고 가르치는 것이 잘못된 가르침이 아닌 것과 같이, 테일러 정리와 테일러 공식, 나머지항에 대한 정보를 모두 알고 있어야 $f$와 테일러 급수가 같아지는지, 같지 않은지에 관한 문장 이해가 가능하다고 생각합니다.니다. 게다가 또 등비급수의 합 공식을 사용해 얻은 멱급수는 테일러 전개를 통해 얻은 급수와 획득 과정에서의 질적 차이가 분명 존재하므로 비교를 위해 그러한 표현을 했습니다.

 

그러니 테일러 급수에 관한 올린 2개의 글은 반드시 순서대로 읽으시고, 가지고 계신 전공서적을 통해 가지고 계신 분할되어 있는 지식들을 합쳐 보완하기를 권합니다. 순서대로 꼼꼼이 읽지 않는다면 블로그든 책이든 아무짝에 쓸모가 없습니다. 대~~충 살게 되는 겁니다.

 

 

 

[참고문헌]

George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano - Thomas's Calculus Addison Wesley

CALCULUS, EDWIN J. PURCELL , PEARSON