선형변환의 영공간과 상공간 (Nullspace and Range of the Linear tranformation)

함수가 무엇인지 배우고 나면 함수에서 등장하는 용어 및 기본함수들을 가장 먼저 배우게 됩니다. 선형함수에 대해서도 그러한 개념들이 있는데 하나씩 살펴봅시다. 또한 참고로, 선형변환과 행렬은 아주 깊은 관계를 가지고 있어서 같은 용어를 사용하는 경우가 많습니다. 결국에는 궁극적으로 같은 뜻임을 염두해 두면 좋습니다.

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1. 항등변환과 영변환

 

항등변환(identity transformation)이란 $I_V:V\rightarrow V$로 정의되는 모든 $x\in V$에 대해 $I_V(x)=x$ 를 만족하는 함수이다.

영변환(zero transformation)이란 $T_0:V\rightarrow W$ 로 정의되는 모든 $x\in V$ 에 대하여 $T_0(x)=\mathbf{0}$ 이라 정의되는 함수이다.

 

변환은 함수와 같은 말임을 기억합시다. 항등변환은 항등함수를 벡터공간의 언어로 바꿔 말한 것에 불과합니다. 영변환은 입력 벡터값이 무엇인지와 무관하게 출력 함숫값이 항상 0이 되는 함수에 해당합니다.

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2. 영공간과 상공간

1) 정의

 

벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$에 대하여

집합 $\left \{ x\in V \mid T(x)=\mathbf{0} \right \}$ 을 '영공간(Nullspace 또는 kernel)'이라 하고 $N(T)$ 또는 $\mathrm{ker}\;T$ 로 표기한다.

집합 $\left \{ T(x)\mid x\in V \right \}$ 는 '상공간(Range 또는 image)'이라 하고 $R(T)$ 또는 $\mathrm{Im}\;T$ 로 표기한다.

 

영공간은 함숫값이 0이 되게 만드는 정의역의 원소들을 모아둔 집합이고, 상공간은 정의역의 모든 원소들이 만드는 함숫값의 집합이니 함수에서 흔히 말하는 치역과 같습니다.

 

[그림 1] 영공간(좌측)과 상공간(우측)의 정의역과 치역 그림

 

이들을 그림으로 표현하면 위와 같습니다. 이해에 큰 도움이 될 것입니다. 이를 바탕으로 아래의 정리가 성립함을 직관적으로 파악할 수 있을 것입니다.  증명은 부분공간임을 보일 때 쓰는 정리를 사용하면 되어 어렵지 않으니 생략하겠습니다.

 

정리($L.A$) 4.2

벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 $N(T),R(T)$는 각각 $V,W$의 부분공간이다.

 

 

2) 기저의 선형결합과 상공간

기저와 상공간 사이의 관계를 보여주는 중요한 정리가 하나 있습니다.

 

정리($L.A$) 4.3

벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 의 기저 $\beta =\left \{ v_1,v_2,\cdots v_n \right \}$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$R(T)=\mathrm{span}(T(\beta))=\mathrm{span}\left ( \left \{ T(v_1),T(v_2),\cdots T(v_n) \right \} \right )$$

 

증명) 등식의 양쪽 식이 각각 서로 부분집합 관계임을 보이자.
$T(v_1),T(v_2),\cdots T(v_n)\in R(T)$ 이므로 어떤 원소 $w$에 대하여 $w\in R(T)$라 하면 $w=T(v)$ 인 $v\in V$ 가 존재한다. 이 때 $\beta$가 $V$의 기저이므로 $V=\mathrm{span}(\beta)=\mathrm{span}\left ( \left \{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right \} \right )$ 이므로 $$v=a_1v_1+\cdots + a_nv_n$$ 으로 쓸 수 있다. 여기서 $T$가 선형이기 때문에,
$$w=T(v)=T(a_1v_1+\cdots + a_nv_n)=a_1T(v_1)+\cdots +a_nT(v_n)$$ 이 성립하므로 $R(T)\subseteq \mathrm{span}(T(\beta))$ 가 성립한다.

반면 $R(T)$는 부분공간의 정의에 의해 $\mathrm{span}(T(\beta))\subseteq R(T)$ 임은 자명하므로 결국 $$R(T)=\mathrm{span}(T(\beta))=\mathrm{span}\left ( \left \{ T(v_1),T(v_2),\cdots T(v_n) \right \} \right )$$ 가 성립한다.

 

이 정리가 말해주는 것은 $R(T)$, 즉 모든 $T(x)$ 들이 $V$의 기저들의 선형변환 $T(v_i)$ 들의 일차결합으로 만든 생성공간과 같다는 것입니다. 즉 임의의 $T(x)$는 기저의 선형변환 $T(v_i)$ 들의 일차결합으로 만들 수 있다는 것이니, 기저의 선형변환의 생성공간은 선형변환한 값 $T(x)$ 자체의 집합임을 가리킵니다. 이 정리는 그 자체로의 의미보다도 다른 증명을 위해 종종 쓰이는 도구로서의 의미가 크다고 할 수 있습니다.

 

 

[참고문헌]
Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON