좌표, 좌표벡터의 뜻 (Coordinate vector)

선형변환의 꽃은 결국 선형변환이 행렬에 대응되는 관계를 보여 행렬과 선형변환이 동형(isomorphism)임을 보이는 것입니다. 선형변환은 함수이기 때문에, 선형성을 가지는 함수는 반드시 행렬로 표현될 수 있다는 말입니다. 행렬은 연립방정식을 잘 풀어보려는 노력에서 고안된 것인데, 이것이 함수랑 연관되어 있다는 것은 가히 충격이 아닐 수 없습니다. 아무튼 그리하여 주어진 선형변환에 해당하는 행렬을 구할 수도 있고, 어떤 행렬에 대해 대응되는 선형변환을 구할 수도 있습니다. 둘 다 가능합니다. 오늘은 전자에 해당하는 방법과 개념을 살펴보도록 하겠습니다. 선형변환 단원에서 가장 중요한 내용이 바로 오늘 할 것들입니다.

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1. 좌표벡터

 

먼저 기저를 이용해 좌표(coordinates)를 정확히 정의하는 작업이 필요합니다. 여기서 좌표는 여러분이 초등학교 수학에서부터 배워왔든 그 점의 좌표가 맞습니다.

 

유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저를 $\beta =\left \{ u_1.u_2,\cdots u_n \right \}$ 이라 하고, $x\in V$에 대하여 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 은 $x=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_iu_i$ 를 만족하는 유일한 스칼라라 하자. 이 때
$$\left [ x \right ]_\beta =\begin{pmatrix}
a_1\\ 
a_2\\ 
\cdots\\ 
a_n
\end{pmatrix}$$ 를 $\beta$ 에 대한 $x$의 '좌표벡터(Coordinate vector)' 또는 '좌표(Coordinate)'라 정의한다. 

 

이 좌표의 정의는 나중에 행렬과 선형변환의 대응 관계를 설명할 때 반드시 필요한 것으로 매우 중대한 역할을 합니다. 좌표는 여러분들이 이미 다 알겠지만 어떤 벡터를 기저들의 스칼라 배로 표현할 수 있을 때 그 기저들의 스칼라들이 좌표라는 선형대수학 다운 정확한 정의로 이루어져 있습니다.

 

예를 들어 2차원 평면에서 $(-3,5)$라는 점은 $-3(1,0)+5(0,1)=-3\mathbf{i}+5\mathbf{j}$ 와 같이 스칼라와 기저들의 선형결합으로 쓸 수 있죠. 이 때 내가 기저로 순서기저 $\mathbf{i},\mathbf{j}$ 를 선택한다면 벡터에 해당하는 기저는 무시하고 그 앞의 스칼라들만 뽑아서 바로 하나의 벡터 $(-3,5)$를 적을 수 있고, 이것이 좌표를 나타내는 벡터가 된 것이기에 좌표벡터라 부른다는 겁니다. 즉 여러분들이 여기서 꼭 이해하고 챙겨가야 하는 원리는 만약 벡터에서 기저들과 스칼라를 분리하였을 때 기저들이 순서기저(그러나 대부분 표준순서기저를 사용)인 경우에는, 더 이상 기저를 쓸 필요가 없고 그냥 스칼라끼리만 뽑아서 바로 벡터 표현을 하면 그게 좌표를 의미한다는 것입니다. 이 개념이 아주 아주 중요합니다. 절대로 이해하기 전까지 다음 개념으로 넘어가지 마시길 권합니다. 이를 무시하고 넘어가면 나중에 행렬과 선형변환의 동형관계를 절대로 깨닫지 못합니다. 

 

아예 그냥 박스에 한 번 정리하고 가봅시다.

 

 

정리($L.A$) 4.8

$\beta=\left \{ \mathbf{e}_1,\cdots ,\mathbf{e}_n \right \}$ 을 $F^n$의 표준순서기저라 하자. 그러면 기저 $\beta$에 대한 $\mathbf{v}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in F^n$ 의 좌표는
$$\left [ \mathbf{v} \right ]_\beta=\left ( a_1,a_2,\cdots ,a_n \right )=\mathbf{v}$$ 이다. 즉, 벡터 자체가 좌표(벡터)이다.

따름정리($L.A$) 4.8.1

$\beta=\left \{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right \}$ 가 벡터공간 $V$의 기저이면 임의의 벡터 $v\in V$는
$$v=a_1v_1+\cdots +a_nv_n$$ 으로 유일하게 표현되고, 이 때 좌표변환(좌표사상)
$$\phi_\beta:V\rightarrow F^n\;\;,\;\; \phi_\beta (v)=(a_1,\cdots ,a_n)$$ 은 '동형사상(isomorphism)'이다.

 

동형사상은 가역이라는 뜻입니다. 따름정리를 엄밀하게 증명하지 않을 것인데, 왜냐하면 어떤 벡터를 그 벡터공간에서 정해진 기저로 표현했을 때 그 표현이 유일하다는 사실을 이미 알고 있기 때문입니다. 그러니 스칼라만을 취해 만든 좌표 또한 하나의 벡터에 대해 유일할 수 밖에 없으니, 유일한 원소를 유일한 원소로 대응시키므로 일대일대응 곧 가역입니다.

 

제대로 이해하기 위해서 위 박스에 해당하지 않는 상황을 한 번 봅시다.

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예제 1) $R^2$ 에서 기저 $\gamma =\left \{ (1,1),(1,2) \right \}$ 를 택하여 점 $(1,2)$ 를 표현하고 그 때 좌표를 구하라.

 

선형결합해서 스칼라를 찾습니다.

 

$$(1,2)=0(1,1)+1(1,2)$$

 

좌표라는 건 기저 앞에 붙은 스칼라를 취하는 것이니 $\gamma$에 대한 $(1,2)$의 좌표는 $\left [ (1,2) \right ]_\gamma=(0,1)$ 가 됩니다. 비교가 되나요? 만약 $n$차원에서 $F^n$ 의 (실수 공간에서는 $R^2$으로 생각하면 됩니다) 표준순서기저를 택하지 않는다면, 절대로 벡터 자체가 좌표벡터와 같을 수 없습니다.

 

여태까지 고등학교 수학(기하와 벡터 등)에서는 평면이나 공간에서 점을 나타낼 때 무조건 표준순서기저만 선택했었습니다. 따라서 그 점을 나타내는 좌표는 곧 기저들의 선형결합으로 썼을 때 앞에 붙었던 스칼라들로 만든 좌표벡터와 반드시 같습니다. 그러나 선형대수학에서는 자유자재로 기저를 선택할 수 있기 때문에 내가 어떤 기저를 선택하느냐에 따라 좌표는 주어진 벡터와 같지 않을수도 있습니다. 하지만 표준순서기저를 사용하는게 가장 편하고, 일반적인 경우라 할 수 있겠죠? 이 때가 바로 선형변환과 행렬의 동형(isomorphism)을 설명하기 시의적절한 타이밍입니다. 물론 이번 포스팅의 목적은 좌표를 정확히 이해하는 것입니다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON

선형대수학, 청문각, 강경태 및 송석준 지음