선형변환의 행렬표현 (1) 정의 (The definition of Matrix Representation of the Linear Transformation)

선형변환에서 가장 중요한게 바로 선형변환의 행렬표현을 발굴하는 작업입니다. 이 행렬을 찾는 과정도 금방금방 할 수 있지 않을 뿐더러 정리를 증명하는 과정도 다사다난하니 단단히 마음을 먹고 출발해 봅시다.

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1. 선형변환의 행렬표현 (Matrix Representation of the Linear Transformation)

 

1) 정의

 

유한차원 벡터공간 $V,W$ 와 각각의 순서기저 $\beta =\left \{ v_1.v_2,\cdots v_n \right \}$ 와 $\gamma =\left \{ w_1,w_2,\cdots w_m \right \}$ 및 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 를 생각하자. $j=1,2,\cdots ,n$ 일 때 $j$ 마다 다음을 만족하는 유일한 스칼라 $a_{ij}\in F\;\;(i=1,2,\cdots ,m)$ 이 존재한다.

$$T(v_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i\;\;\;(j=1,2,\cdots ,n)$$
이 때 $T$로 유일하게 결정되는 성분이 $A_{ij}=a_{ij}$ 인 $m\times n$ 인 행렬 $A$를 순서기저 $\beta , \gamma$ 에 대한 선형변환 $T$의 '행렬표현(Matrix Representation)' 이라 하고

$$A=\left [ T \right ]_\beta ^\gamma$$
로 나타낸다. 만약 $V=W,\beta=\gamma$인 경우는 간단히 $A=\left [ T \right ]_\beta$ 로 쓴다.

여기서 $\left [ T \right ]_\beta ^\gamma$ 의 $(i,j)$ 성분은 $T(v_j)$ 를 $w_1, \cdots , w_m$ 으로 전개했을 때 $w_i$ 의 계수이다.

 

설명) $T:V\rightarrow W$ 와 $V,W$의 기저집합을 각각 $\beta=\left \{ v_1,\cdots ,v_n \right \}\;,\;\gamma=\left \{ w_1,\cdots ,w_m \right \}$ 을 고려혀자. $\beta$의 원소들에 대해 선형변환을 적용하면
$$\begin{align*} 

\begin{matrix}
T(v_1)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{i1}w_i=a_{11}w_1+a_{21}w_2+a_{31}w_3+\cdots +a_{m1}w_m \\\\ 
T(v_2)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{i2}w_i=a_{12}w_1+a_{22}w_2+a_{32}w_3+\cdots +a_{m2}w_m \\\\
T(v_3)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{i3}w_i=a_{13}w_1+a_{23}w_2+a_{33}w_3+\cdots +a_{m3}w_m \\\\ 
\vdots \\ 
T(v_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i=a_{1j}w_1+a_{2j}w_2+a_{3j}w_3+\cdots +a_{mj}w_m\\ 
\vdots\\ 
T(v_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}a_{in}w_i=a_{1n}w_1+a_{2n}w_2+a_{3n}w_3+\cdots +a_{mn}w_m
\end{matrix}

\end{align*}$$
여기서 $a_{ij}$ 들을 모아 $\left [ T \right ]_\beta^\gamma$ 라 정의한 뒤 행렬을 사용하여 표현하면 $\left [ T \right ]_\beta ^\gamma$ 의 $(i,j)$ 성분은 $T(v_j)$ 를 $w_1, \cdots , w_m$ 으로 전개했을 때 $w_i$ 의 계수이다.

 

예를 들어 봅시다. $A=\left [ T \right ]_\beta^\gamma$ 의 $(2,4)$ 성분은 무엇일까요? $i=2,j=4$ 이므로 $T(v_4)$의 성분 중 $w_2$의 계수 $a_{24}$ 에 해당합니다. 이게 별거 아니고 쉬운 것처럼 보이지만, 실제 기저를 나열하고 행렬표현을 작성하면 행과 열이 뒤바뀐 것으로 착각할 수 있습니다. 왜냐하면 행렬표현을 구할 때는 위의 설명 박스에서 했던 것처럼 $T(v_1),T(v_2),\cdots ,T(v_n)$ 을 $a_{ij}$와 $w_i$를 나열해서 작성을 하고, 그 계수들을 뽑아 행렬을 만드는 것입니다. 그런데 나열을 할 때 보면 행렬의 성분들이 행렬 순서대로 적혀 있지 않습니다. 이게 도대체 무슨 뜻인지 문제를 풀며 깨달아 봅시다.

 

 

예제 1) 선형변환 $T:R^2\rightarrow R^3$ 가 $T(a_1,a_2)=(a_1+3a_2,0,2a_1-4a_2)$ 일 때, $T$의 행렬표현을 찾아라.

 

$R^2$ 의 기저는 $\beta=\left \{ (1,0),(0,1) \right \}=\left \{ v_1,v_2 \right \}$ 이고 $R^3$ 의 기저는 $\gamma=\left \{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) \right \}=\left \{ \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} \right \}=\left \{ w_1,w_2,w_3 \right \}$ 이므로

$$\begin{align*} 
&T(v_1)=T(1,0)=(1,0,2)=1 \mathbf{i}+0\mathbf{j}+2\mathbf{i}=a_{11}\mathbf{i}+a_{21}\mathbf{j}+a_{31}\mathbf{k}\\\\
&T(v_2)=T(0,1)=(3,0,-4)=3 \mathbf{i}+0\mathbf{j}+(-4)\mathbf{i}=a_{12}\mathbf{i}+a_{22}\mathbf{j}+a_{32}\mathbf{k}
\end{align*}$$

 

그러면 여기서 $a_{ij}$ 들을 뽑아 행렬을 작성하면 되는데, 지금 위 상태에선 계수만 보면 첫째줄에 계수가 3개, 둘째줄에 계수가 3개 있으니 작성된 행렬이 2행 3열일 것이라 착각할 수 있고 그것이 잘못되었다는 겁니다. 잘 보면 첫째줄의 세 성분은 각각 1행 1열, 2행 1열, 3행 1열 성분들이기 때문에 '1열'이라는 공통으로 묶입니다. 따라서 만들어지는 행렬표현은 3행 2열 행렬입니다.

$$\left [ T \right ]_\beta^\gamma = \begin{pmatrix}
1 &3 \\ 
0 &0 \\ 
2 & -4
\end{pmatrix}$$

또한, 내가 만약 순서기저를 다른 것으로 바꾼다면 어떻게 될까요? $\gamma=\left \{\mathbf{k},\mathbf{j},\mathbf{i} \right \}$ 라는 순서기저를 사용하게 되면 앞의 계수가 바뀔 것입니다. 이 때는 계산해보면

 

$$\left [ T \right ]_\beta^\gamma = \begin{pmatrix}
2 &-4 \\ 
0 &0 \\ 
1 & 3
\end{pmatrix}$$

을 얻습니다.

 

고로 기저를 바꾸면 당연히 행렬표현이 바뀌며, 심지어 순서만 바꾸는, 즉 원소의 종류는 같지만 순서가 다른 순서기저를 선택하면 선형변환의 행렬표현이 바뀝니다.

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예제 2) 선형변환 $T:P_3(R)\rightarrow P_2(R)$ 이 $T(f(x))=f'(x)$ 를 만족한다고 하자. $P_3(R)$ 과 $P_2(R)$ 의 표준순서기저를 각각 $\beta, \gamma$ 라 할 때 $\left [ T \right ]_\beta^\gamma$ 를 찾아라.

 

$\beta=\left \{ 1,x,x^2,x^3 \right \}\;,\;\gamma=\left \{1,x,x^2 \right \}$ 에 대하여 

 

$$\begin{align*} 
&T(1)=0=0\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2 \\\\
&T(x)=1=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2 \\\\
&T(x^2)=2x=0\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2 \\\\
&T(x^3)=3x^2=0\cdot 1+0\cdot x+3\cdot x^2 \\\\
\end{align*} $$

따라서

$$\left [ T \right ]_\beta^\gamma = \begin{pmatrix}
0 &1  &0  &0 \\ 
0 & 0 &2  &0 \\ 
 0& 0 &0  &3 
\end{pmatrix}$$

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예제 3) 선형변환 $T:R^3\rightarrow R^2$ 이 $T(x,y,z)=(x+y-2z,3x-y+4z)$ 로 정의되고 각각의 기저가 $\beta=\left \{ (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) \right \}\;,\;\gamma=\left \{(1,1),(1,-1) \right \}$ 일 때 행렬표현을 구하라.

 

$$\begin{align*} 
&T(1,0,0)=(1,3)=2(1,1)-1(1,-1) \\\\
&T(1,1,0)=(2,2)= 2(1,1)+0(1,-1)\\\\
&T(1,1,1)=(0,6)=3(1,1)-3(1,-1)
\end{align*} $$

이므로

$$\left [ T \right ]_\beta^\gamma = \begin{pmatrix}
2 &2  &3 \\ 
-1 & 0 &-3 
\end{pmatrix}$$

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선형변환과 행렬표현의 정의를 정확히 숙지하고, 위 예제들을 참고하며 행렬을 정확히 구하는 연습을 반드시 반복하여 익히시길 바랍니다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON

선형대수학, 청문각, 강경태 및 송석준 지음