선형변환의 행렬표현 (3) 합성과 행렬의 곱 (Composition and the multiplication of matrix)

합과 스칼라 곱을 행렬과 선형변환에 대응하는 방식으로 둘을 연결할 수 있는데, 선형변환의 합성은 행렬 측면에서 곱에 대응됩니다. 즉 어떤 변환을 할 때 행렬을 두 번 곱하는 것이 두 함수의 합성에 대응된다는 것입니다. 이러한 결과 덕분에 두 선형변환의 합성은 기호로 나타낼 때 (실제 함수에서는 도트 표시를 해야 하지만) $U\cdot T=UT$ 로 표현합니다.

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1. 선형변환의 모임

먼저 표기법 하나를 배우고 갑시다.

 

$F$-벡터공간 $V,W$에 대하여 $V$에서 $W$로 가는 모든 선형변환의 모임으로 이루어진 벡터공간을 $\mathfrak{L}(V,W)$ 라 표기한다. 만일 $V=W$ 이면 $\mathfrak{L}(V,V)$ 는 간단히 $\mathfrak{L}(V)$ 로 표기한다.

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2. 합성변환

 

1) 정의

 

 

정리($L.A$) 4.11

같은 체 $F$에서 정의된 벡터공간 $V,W,Z$ 에 대해서 $T:V\rightarrow W\,,\, U:W\rightarrow Z$ 가 선형이라 한다. 그러면 두 선형변환의 합성 $UT:V\rightarrow Z$ 또한 선형이다.

 

증명) $x,y\in V$, $a\in F$ 라 하자. 그러면 
$$\begin{align*}
UT(ax+y)&=U\left \{ T(ax+b) \right \}\\&=U\left \{ aT(x)+T(y) \right \}
\\&=aU\left \{ T(x) \right \}+U\left \{ T(y) \right \}=
a\left ( UT \right )(x)+\left( UT \right)(y)
\end{align*}$$

 

2) 성질

 

선형변환의 합성도 선형이기 때문에, 다음과 같은 여러가지 선형 성질이 성립합니다. 합성을 하나의 연산으로 생각해서 합성 연산이 선형이라 보면 좋습니다.

 

정리($L.A$) 4.12

벡터공간 $V$에 대해 $T,U_1,U_2 \in \mathfrak{L}(V)$ 라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

① $T(U_1+U_2)=TU_1+TU_2$
② $T(U_1U_2)=T(U_1)U_2$
③ $TI=IT=T$
④ $a\in F$ 에 대해 $a(U_1U_2)=(aU_1)U_2=U_1(aU_2)$

 

 

3) 합성변환의 반복

 

같은 선형변환 $T$를 여러번 반복하는 상황을 생각합니다. 자기자신 함수로 합성을 여러번 한다고 생각하면 됩니다.

 

정리($L.A$) 4.13

선형변환 $T\in \mathfrak{L}$ 을 $k$번 합성한 선형변환은 $T^k$ 로 표기하고
$$T^k=T^{k-1}T\;\;,\;\;T^0=I_V$$ 이다.

 

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3. 행렬의 곱

 

행렬의 곱은 앞서 이곳에서 설명한 적이 있습니다. 슬슬 선형변환과 행렬의 접점이 생기고 있는 것을 목도하셨을텐데, 행렬 곱을 거기서 정의했던 것과 달리 선형변환의 행렬표현을 이용해 선형변환만으로 정의하는 것도 가능합니다. 행렬의 곱은 앞 행렬의 열 갯수와 뒤 행렬의 행의 개수가 일치해야 함을 언급했었는데 그것이 선형변환의 관점에서는 벡터공간과 기저의 일치라는 관점에서 바라볼 수 있게 됩니다.

 

유한차원 벡터공간 $V,W,Z$와 선형변환 $T:V\rightarrow W, \;U:W\rightarrow Z$ 가 있을 때,
$V$ 의 순서기저 $\alpha=\left \{v_1,\cdots ,v_n  \right \}$,
$W$의 순서기저 $\beta=\left \{w_1,\cdots ,w_n  \right \}$,
$Z$ 의 순서기저 $\gamma=\left \{z_1,\cdots ,z_n  \right \}$
가 존재하여 $A=\left [ U \right ]_\beta^\gamma\,,\,B=\left [ T \right ]_\alpha^\beta$ 라 하자. 행렬의 곱은 $AB=\left [ UT \right ]_\alpha^\gamma$ 가 되도록 하는 선형변환의 행렬표현과 같으며, 이 때 다음의 관계식이 성립한다.

$$\begin{align*} 

(UT)(v_j)&=U(T(v_j))=U\left ( \sum_{k=1}^{m}B_{kj}w_k \right )=\sum_{k=1}^{m}B_{kj}U(w_k)
\\\\&=\sum_{k=1}^{m}B_{kj}\left ( \sum_{k=1}^{m}A_{ik}z_i \right )=\sum_{i=1}^{p}\left ( \sum_{k=1}^{m}A_{ik}B_{kj} \right )z_i
=\sum_{i=1}^{p}C_{ij}z_i\;\;\;\left ( C_{ij}=\sum_{k=1}^{m}A_{ik}B_{ik} \right )
\end{align*}$$

 

위 박스의 마지막 부분은

 

$$(UT)(v_j)=\sum_{i=1}^{p}C_{ij}z_i\;\;\;\left ( C_{ij}=\sum_{k=1}^{m}A_{ik}B_{ik} \right )$$

 

을 뜻합니다. 이것을 선형변환의 행렬표현

 

$$T(v_j)=\sum_{k=1}^{m}a_{ij}w_i$$

 

와 비교하게 되면 얻는 결론은 다음과 같습니다.

 

정리 ($L.A$) 4.14

두 선형변환 $T:V\rightarrow W, U:W\rightarrow Z$ 에 대하여 각각의 행렬표현이 $A=\left [ U \right ]_\beta^\gamma\,,\,B=\left [ T \right ]_\alpha^\beta$ 일 때, 합성 $UT$의 행렬표현은
$$\left [ UT \right ]_\alpha^\gamma=\left [ U \right ]_\beta^\gamma\left [ T \right ]_\alpha^\beta$$이다.

 

이것을 보면 행렬의 곱셈을 $C=AB$로 정의했을 때 $C$가 합성변환에 대응되는 행렬표현이고, $C$의 정의를 위해 $A$의 열의 개수와 $B$의 행의 개수가 같아야 하는 이유를 알 수 있습니다. 열과 행의 개수의 본질적인 의미가 선형변환에서는 바로 벡터공간을 구성하는 기저의 차원이었던 것입니다.

 

 

[참고문헌]
Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON