선형변환의 행렬표현 (4) 좌표와 관련된 공식

**이 포스팅은 선형변환의 행렬표현 (1), (2), (3)과 연결됩니다. 급하신 분들은 (1)만이라도 꼭 학습한 뒤 보는 것을 권합니다.

 

 

오늘은 선형변환 단원에서 에서 가장 중요한 공식을 하나 정리할 것입니다. 이것은 선형변환에서 가장 널리, 주요하게 쓰이는 것이자 변환이라는 특성을 제대로 보여주는 진수에 해당하는 식입니다. 그래서 앞으로 다룰 역변환, 좌표변환(기저변환)에서도 큰 영향력을 발휘하니 꼭 정복해 봅시다. 그러나 쉽지는 않습니다. 저의 경우 개인적으로 이 부분을 처음 공부할 때 강의를 못 들어서 독학으로 공부했었는데 제대로 단번에 이해를 못해서 며칠동안 끙끙 고민하느라 시간이 상당히 걸렸습니다.

 

 

3) 선형변환의 행렬표현과 좌표

 

정리($L.A$) 4.15

유한차원 벡터공간 $V,W$의 순서기저를 $\beta, \gamma$ 라 하고 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 를 고려하자. 임의의 벡터 $x\in V$에 대하여
$$\left [ T(x) \right ]_\gamma=\left | T \right |_\beta^\gamma \left [ x \right ]_\beta$$ 가 성립한다.

 

증명) $V$의 기저를 $\beta=\left \{ v_1,\cdots ,v_n \right \}$ 라 하고 임의의 벡터를
$$x=\sum_{j=1}^{n}x_jv_j=x_1v_1+\cdots x_nv_n\in V$$ 라 하자. 이에 대해 $T$의 상공간(image) $R(T)=\left \{ T(x)\mid x\in V \right \}$ 를 고려하면

$$T(x)=\sum_{j=1}^{n}x_jT(v_j)=\sum_{j=1}^{n}x_j
\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i=\sum_{i=1}^{m}\left ( \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j \right )w_i$$
그러면 마지막에서 괄호 안의 양은 좌표이고 $w_i$는 $W$의 기저 $\gamma$의 원소이므로, $\left ( \displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j \right )$ 는 $T(x)$의 $\gamma$에 대한 좌표벡터에 해당한다. 곧
$$\left [ T(x) \right ]_\gamma=\left ( \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j \right )$$
가 되어, 우변을 열벡터로 나타내면

$$\left [ T(x) \right ]_\gamma=\begin{pmatrix}
\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{1j}x_j\\ 
\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{2j}x_j\\
\displaystyle\vdots\\ 
\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{mj}x_j
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots &  &\vdots \\ 
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_1\\ 
x_2\\ 
\vdots\\ 
x_n
\end{pmatrix}=A\left [ x \right ]_\beta$$

따라서 $\left [ T(u) \right ]_\gamma=\left | T \right |_\beta^\gamma \left [ u \right ]_\beta$ 가 성립한다.

 

수식적으로는 위와 같이 증명할 수 있는데, 선형변환의 행렬표현 1탄에서 설명한 정의를 유도하는 과정을 같이 참고하면 좋습니다. 확실히 선형대수학은 수학이 어렵다기보다 철저한 논리의 이행을 붙잡아 파악하는게 까다롭습니다.

 

이 공식의 참 뜻을 말로 풀어 설명하자면 벡터의 선형변환의 행렬표현(=좌변), $T$의 행렬표현에 벡터의 좌표를 곱한 것(=우변)과 같다는 뜻입니다. 순서가 크게 중요하지 않다는 것으로, 역시 선형스러운 특징임을 직관적으로 깨닫을 수 있습니다.

 

그런데 이 정리에서 좌변과 우변 중 무엇이 더 구하기 간편할까요? 좌변을 만일 구하려면 $W$의 기저 $\gamma=\left \{w_1,\cdots ,w_n \right \}$ 가 주어졌을 때 $T(v)=c_1w_1+\cdots+c_mw_m$ 을 만족하는 $c_1,\,\cdots ,\,c_m$ 을 찾을 수 있어야 합니다. 그러나 이 계수를 찾는 것은 무척 까다롭습니다. 그러니 그 대신, 선형변환 $T$의 행렬표현을 찾고, $v$의 $\beta$에 대한 좌표만을 구해 곱하는 것이 훨씬 간편하다는 개념이 바로 위 정리의 의의입니다.

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예제 1) $R^3$의 두 기저 $\beta=\left \{ \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} \right \}\;,\;\gamma=\left \{ (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) \right \}$ 과 선형변환 $T:R^3\rightarrow R^3$$T(x,y,z)=(2y+z,x-4y,3x)$ 에 대하여 다음 세 질문에 답하라.

 

i) $\left [ T \right ]_\beta^\gamma$ 를 구하라.

ii) 직접계산으로 $v=(a,b,c)$ 일 때 $\gamma$에 대한 $T(v)$의 좌표를 구하라.

iii) 위 정리($L.A$) 4.15 를 이용하여 $\gamma$에 대한 $T(v)$의 좌표를 구하라.

 

sol) i) 행렬표현을 구하려면 $T$에 $\beta$의 기저들을 넣습니다.

 

$$T(1,0,0)=(0,1,3)=3(1,1,1)-2(1,1,0)-1(1,0,0)\\\\
T(0,1,0)=(2,-4,0)=0(1,1,1)-4(1,1,0)+6(1,0,0)\\\\
T(0,0,1)=(1,0,0)=0(1,1,1)+0(1,1,0)+1(1,0,0)\\\\$$

 

그러므로 $\left [ T \right ]_\beta^\gamma=\begin{pmatrix}
3 &0  &0 \\ 
-2 & -4 & 0\\ 
-1 & 6 & 1
\end{pmatrix}$ 

 

 

ii) 좌표를 $(x,y,z)$ 라 하면 $T(a,b,c)=(2b+c,a-4b,3a)=x(1,1,1)+y(1,1,0)+z(1,0,0)=(x+y+z,x+y,x)$ 의 관계가 성립합니다. 그러면 $a,b,c$와 $x,y,z$를 풀어 두 짝들의 관계성을 찾으면

 

$$x=3a\;,\;y=-2a-4b\;,\;z=-a+6b+c$$

 

따라서 $T(v)$의 $\gamma$에 관한 좌표는

 

$$(x,y,z)=(3a,-2a-4b,-a+6b+c)$$

 

 

iii) 공식을 활용해 봅시다. 우변을 먼저 고려하면 $\left [ T \right ]_\beta^\gamma$ 는 이미 구해놓았고 $v$의 $beta$에 관한 좌표는 표준순서기저니까 그대로 $\left [ v\right ]_\beta=(a,b,c)$입니다. 고로 위 정리에 의해

 

$$\left [ T(v) \right ]_\gamma=\left [ T \right ]_\beta^\gamma\left[ v \right]_\beta=\begin{pmatrix}
3 &0  &0 \\ 
-2 & -4 & 0\\ 
-1 & 6 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\ 
b\\ 
c
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
3a\\ 
-2a-4b\\ 
-a+6b+c
\end{pmatrix}$$

 

ii)와 동일한 결과를 얻습니다.

 

 

4) 특별한 경우

 

선형대수학 책들을 놓고 비교했을 때 누구를 대상으로(수학과, 공대) 쓴 책인지에 따라 서술의 깊이가 다릅니다. 물리학과나 공대에서는 학부 수준에서 기저를 변환해야 하는 경우가 별로 없기 때문에, 표준순서기저나 표준정규기저만을 사용한 행렬표현을 실용적으로 활용하게 되는데, 수학과에서는 기저들을 자유롭게 변경시키는 영역까지 일반적인 경우를 공부하고 싶어합니다. 일반적인 공식은 위에서 했으니, 좀 더 특별한 경우를 생각해봅시다.

 

정의역과 공역이 같은 경우 선형변환 $T$가 $T:V\rightarrow V$ 인 경우 정의역과 공역이 일치해 기저도 단 하나만 사용하면 됩니다. 이 때는 $$\left [ T \right ]_\beta^\beta=\left [ T \right ]_\beta$$

와 같이 씁니다. 헌데 만약 추가로 여기서, $V$의 표준순서기저를 선택하는 경우에는 $\beta$ 표시마져 제외하여

$$\left [ T \right ]$$ 로 나타냅니다. 예를 들어서 $V=R^2$이면 표준순서기저는 우리가 잘 알고 있는 $\mathbf{i},\mathbf{j}$ 이고 이 땐 그냥 기저를 첨자로 달지 않아도 된다는 것입니다.

 

비슷하게, 정의역과 공역은 다르지만 표준(순서)기저만을 선택해서 행렬표현을 하여 선형변환과 행렬을 연결할 때 이를 '좌측 곱 변환(Left hand multiplication)'이라고 합니다. 이는 중요도 측면에서 보스급인지라 다음 시간에 소개하겠습니다.

 

 

[참고문헌]

선형대수학, 청문각, 강경태 및 송석준 지음