선형변환의 행렬표현 (2) 여러 성질들

저번 포스팅에선 선형변환의 행렬표현이 무엇인지 배웠습니다. 오늘은 그와 관련된 아주 중요한 정리 한 개를 정리하기 위해, 필요한 몇가지 성질들을 알아보려고 합니다.

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1. 항등변환과 영변환

 

항등변환과 영변환에 대응되는 행렬표현은 각각 항등행렬(단위행렬)과 영행렬입니다.

 

$V$와 $W$는 유한차원 벡터공간이고, 순서기저는 각각 $\beta =\left \{ v_1,\cdots ,v_n \right \}\;\;,\;\;\gamma =\left \{ w_1,\cdots ,w_m \right \}$ 이라 하자.

① 영변환 $T_0(v_j)=\mathbf{0}=0w_1+0w_2+\cdots +0w_m=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}0\cdot w_i$ 이므로

$$\left [ T \right ]_\beta^\gamma=O$$
② 항등변환 $I_v(v_j)=v_j=0v_1+0v_2+\cdots +0v_{j-1}+1\cdot v_j+0v_{j+1}+\cdots +0v_n$ 에 대해 $I_v$의 $j$열이 $\mathbf{e}_j$ 가 되어 $$\left [ I_v \right ]_\beta=\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0\\ 
0 & 1 & \cdots & 0\\ 
\vdots &\vdots  &  &\vdots \\ 
0 &0  &\cdots  &1 
\end{pmatrix}$$ 이다. 이는 크로네커 델타(Kronecker delta)를 이용해 나타내면
$$\left ( I_n \right )_{ij}=\delta_{ij}$$ 이다.

 

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2. 선형변환끼리의 연산

 

선형변환끼리의 연산도 선형성을 가집니다.

 

$F$ 벡터공간 $V,W$에서 정의된 임의의 함수 $T,U:V\rightarrow W$ 와 스칼라 $a\in F$ 에 대하여, 두 함수의 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의한다.

합 $T+U:V\rightarrow W$ 는 모든 $x\in V$ 에 대하여 $(T+U)(x)=T(x)+U(x)$
스칼라 곱 $aT:V\rightarrow W$ 는 모든 $x\in V$ 에 대하여 $(aT)(x)=aT(x)$

 

정리($L.A$) 4.9

$F$ 벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T,U:V\rightarrow W$ 에 대하여 임의의 $a\in F$ 에 대하여 $aT+U$ 는 선형이다.

 

정리($L.A$) 4.10

유한차원 벡터공간 $V,W$와 각각의 순서기저 $\beta, \gamma$ 및 선형변환 $T,U:V\rightarrow W$ 에 대하여 다음이 성립한다.

① $\left [ T+U \right ]_\beta^\gamma =\left [ T \right ]_\beta^\gamma +\left [ U \right ]_\beta^\gamma$

② $a\in F$ 에 대하여 $\left [ aT \right ]_\beta^\gamma = a\left [ T \right ]_\beta^\gamma$

 

증명)
1) $\beta=\left \{ v_1,\cdots v_n \right \}\;\;,\;\;\gamma =\left \{ w_1,\cdots ,w_m \right \}$ 에 대하여
$$T(v_j)=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i\;\;,\;\;U(v_j)=\sum_{i=1}^{m}b_{ij}w_i$$
을 만족하는 유일한 스칼라 $a_{ij},b_{ij}\;\;(1\leq i\leq m, 1\leq j \leq n)$ 가 존재한다. 따라서

$$(T+U)(v_j)=\sum_{i=1}^{m}\left ( a_{ij}+b_{ij} \right )w_i$$ 가 성립하여
$$\left ( \left [ T+U \right ]_\beta^\gamma \right )_{ij} =a_{ij}+b_{ij}= \left ( \left [ T \right ]_\beta^\gamma +\left [ U \right ]_\beta^\gamma \right )$$

2)
$$T(av_j)=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}aw_i=a\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i$$
따라서
$$\left ( \left [ aT \right ]_\beta^\gamma \right )_{ij} = a\left ( \left [ T \right ]_\beta^\gamma \right )_{ij}$$

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON