기저의 선형변환 표현이 유일함을 증명 (Proof the Uniqueness of expression of basis vector transformation)

오늘 볼 내용은 한 기저벡터를 선형변환 하였을 때 나온 값에 대하여 이러한 선형변환이 유일함을 보이는 것입니다. 다시말해 기저벡터의가 정의역의 한 원소 $x$이면 선형사상을 통해 치역의 한 원소 $y$로 대응될 때, $x$를 $y$로 만드는 선형변환이 유일하다는 뜻입니다. 

 

이 정리를 어떤 기저벡터를 선형변환한 값이 그 기저벡터만이랑 일대일로 대응되는 것이라 착각하면 안됩니다. 즉 여러개의 기저벡터가 한 선형변환을 타고 동일한 치역의 원소로 대응될 수도 있기는 합니다. 이 정리는 이런 상황을 만들 수 없다는 뜻이 아니라, 선형변환의 유일성과 존재성을 가리키고 있는 것입니다.

 

이 정리는 그 자체로는 굳이 증명하지 않아도 이해할 수 있겠으나 다른 정리를 증명하는데 쓸모가 많기에 살펴보려고 합니다.

 

 

정리($L.A$) 4.7

$F$-vector space $V,W$와 $V$의 기저 $\left \{ v_1.v_2.\cdots v_n \right \}$ 을 생각하자. 벡터 $w_1,w_2,\cdots w_n \in W$ 이고 $i=1,2,\cdots ,n$ 에 대하여
$$T(v_i)=w_i$$  가 되는 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 는 유일하게 존재한다. 여기서 $w_1,\cdots ,w_n$ 이 서로 꼭 다를 필요는 없다.

 

이 정리를 증명하기 위해서는 선형변환  $T$가 존재하고, 유일함을 각각 보이면 됩니다.

 

증명) $x\in V$ 에 대하여 다음 일차결합 표현은 유일하다.
$$x=\sum_{i=1}^{n}a_iv_i\;\;\;\;(a_i\in F)$$
선형변환 $T:V\rightarrow W$ 를 다음과 같이 정의하자.
$$T(x)=\sum_{i=1}^{n}a_iw_i$$
그러면 이 때 $T(v_1)=w_1,\cdots T(v_n)=w_n$ 이다.

i) $T$의 존재성

$T$가 선형임을 보이면 된다. $u,v\in V, \alpha \in F$ 에 대해 $u,v$를 다음과 같은 일차변환 표현으로 나타내자.
$$u=\sum_{i=1}^{n}b_iv_i\;\;,\;\;v=\sum_{i=1}^{n}c_iv_i\;\;\;\;(b_i,c_i \in F)$$
그러면 
\begin{align*} 
T(\alpha u+v)&=T\left ( \sum_{i=1}^{n}\left ( \alpha b_i+c_i \right )v_i \right )
=\sum_{i=1}^{n}\left ( \alpha b_i+c_i \right )w_i
\\&=\alpha \sum_{i=1}^{n}b_iw_i+\sum_{i=1}^{n}c_iw_i =\alpha T(u)+T(v)
\end{align*}
고로 $T$는 선형이며, $$T(x)=T\left ( \sum_{i=1}^{n}a_iv_i \right )=\sum_{i=1}^{n}a_iT(v_i)=\sum_{i=1}^{n}a_iw_i$$
즉 $i=1,2,\cdots n$ 에 대하여 $T(v_i)=w_i$  이다.

ii) 유일성

또 다른 선형변환 $U:V\rightarrow W$ 가 존재하여 $i=1,2,\cdots ,n$에 대해 $U(v_i)=w_i$ 를 만족한다고 하자. 그러면 $U(x)=U\left ( \displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_iv_i \right )=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_iU(v_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_iw_i=T(x)$ 가 성립하여 선형변환 $U=T$가 되고 따라서 $T$는 유일하다.

 

따름정리($L.A$) 4.7.1

두 벡터공간 $V,W$ 에 대하여 $V$가 유한집합인 기저 $\left\{ v_1,\cdots  ,v_n \right\}$ 을 포함한다고 가정하자. 두 선형변환 $U,T:V\rightarrow W$가 $i=1,2,\cdots ,n$ 일 때, $U(v_i)=T(v_i)$ 를 만족하면 $U=T$ 이다.

 

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON