선형변환에서 단사, 전사, 전단사

함수는 정의역, 공역, 치역의 관계에 따라 단사, 전사, 전단사 등으로 분류됩니다. 선형변환 역시 선형인 함수이기 때문에 이러한 성질을 가질 수 있는데, 이런 성질이 없는 것보다 가지고 있을 때 특별히 더 중요합니다. 일반적인 함수 중에서도 역함수가 존재하는 일대일 대응인 함수를 더 많이 다루는 것과 유사한 이치입니다.

 

 

정리($L.A$) 4.5

벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 $T$가 단사함수(injective, one-to-one)인 것은 $N(T)=\left \{ \mathbf{0} \right \}$ 인 것과 필요충분조건이다.

 

증명은 아주 쉽습니다.

 

증명)

i) $T$가 단사함수라 하자. $x\in N(T)$ 이면 $T(x)=\mathbf{0}$ 이고 정리 ($L.A$) 4.1 에 의하여 $T(x)=\mathbf{0}=T(\mathbf{0})$ 이다. 따라서 $T$가 단사이므로 $x=\mathbf{0}$ 이고 $N(T)=\left \{ \mathbf{0} \right \}$ 이다.

ii) $N(T)=\left \{ \mathbf{0} \right \}$ 이고 $T(x)=T(y)$가 성립하는 $x,y$가 존재한다고 가정하자. $T$가 선형이므로 정리 ($L.A$) 4.1 에 의하여 $\mathbf{0}=T(x)-T(y)=T(x-y)=T(\mathbf{0})$ 이 성립한다. 즉 $x-y=\mathbf{0}\;\;\rightarrow\;\;x=y$ 이므로 $T$는 단사이다.

 

이것은 $\mathrm{nullity}(T)=0$ 이라는 뜻인데, 선형변환 $T$에 대응되는 행렬 $A$가 있다고 가정하면 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 이 자명해만을 가져서 $A$의 역행렬이 존재하고 $n$차 정사각행렬 $A$에 대해 $\mathrm{rank}(A)=n$ 인 것과 모두 동치입니다. 즉 함수값, 결과가 0으로 나왔다면 입력 변수가 반드시 0인 경우만을 허용하는 함수이자 변환이라는 뜻입니다.

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정리($L.A$) 4.6

차원이 같은 두 유한차원 벡터공간 $V,W$에 대하여 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 이 정의되었을 때, 다음 세 명제는 모두 동치이다.

① $T$는 단사(injective, one-to-one)
② $T$는 전사(surjective, onto)
③ $\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(V)$

 

셋 모두가 동치라고 했으니, ①+②를 그냥 $T$가 전단사인 것으로 생각해도 무방합니다. ③의 내용은 계수-퇴화차수 정리를 떠올리면 정리 ($L.A$) 4.5 와 같은 말입니다.

 

조심해야 할 것은 이 정리가 차원이 같은 유한차원 $V,W$에 대해서 성립한다는 것입니다. 무한차원은 거의 다루지 않으니 유한차원이라는 말보다 '차원이 같은'에 주목해야 합니다. 선형변환은 일반적으로 $F^n\rightarrow F^m$ 으로 표기하기에 $n$차원에서 $m$차원으로의 변환을 뜻합니다. 여기서 $n=m$이 되어야 한다는 것이니 변환이 같은 차원 안에서 일어남을 뜻합니다. 행렬의 언어를 빌려 말하자면 동일한 크기의 정사각행렬로의 변환을 말하는 것입니다.

 

증명을 해봅시다. 역시 어렵지 않습니다.

 

증명) rank-nullity 정리와 정리 ($L.A$) 4.5 에 주목하자.

$$\begin{align*} T\;\mathrm{is\;onto}\;\;&\Leftrightarrow\;\;N(T)=\left \{ \mathbf{0} \right \}\\&\Leftrightarrow\;\; \mathrm{nullity}N(T)=0 \\&\Leftrightarrow\;\; \mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(V) \\&\Leftrightarrow\;\;\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(W) \\&\Leftrightarrow\;\;\mathrm{R(T)}=\mathrm{dim}(W) \end{align*}$$
정리 ($L.A$) 4.5 에 의하면 $R(T)$는 $W$의 부분공간인데 위에서 둘의 차원이 같으므로 $R(T)=W$ 이다. 그러므로 함수의 치역과 공역이 같은 것이기 때문에 $T$는 전사이다. 가정과 합치면 $T$는 전단사이다. 고로 $\mathrm{nullity}(T)=0$ 이고 $\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(V)$ 이 성립한다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON