계수-퇴화차수 정리 (Rank-nullity Theorem)

1. 영공간과 상공간의 차원

 

차원에 대해서는 설명을 한 적이 있습니다. 두 공간의 차원을 다음과 같이 정의합니다.

 

벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 $N(T)$ 와 $R(T)$ 가 유한차원이라 가정하자.

$N(T)$ 의 차원을 $\mathrm{nullity}$ 라 하고, $\mathrm{nullity}(T)$ 라 표기한다.
$R(T)$ 의 차원을 $\mathrm{rank}$(랭크)라 하고, $\mathrm{rank}(T)$ 라 표기한다.

 

연립방정식에서는 비동차 방정식을 풀어 해를 쓸 때 동차방정식의 해가 포함된다는 굉장한 특징을 가집니다. 그러므로 연립방정식을 행렬을 이용해 표현하게 되더라도 이러한 성질이 행렬의 세상에서 적용되는데, 그것이 바로 행렬의 랭크와 퇴화차수(退化次數, nullity)의 관계입니다. 게다가 행렬은 다시 선형변환과 동형(isomorphism)이기 때문에 선형변환에서도 이 둘의 관계가 유용하고 적합하게 적용됩니다. 이 정리는 굉장히 쓸모가 많기 때문에 꼭 기억해야 한다는 것을 잊으면 안됩니다. 또한 개인적으로 퇴화차수라는 말은 번역이 어렵다고 생각하기 때문에 그냥 nullity 라고 하거나 영공간의 차원이라 부르겠습니다.

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2. 계수-퇴화차수 정리(Rank-nullity Theorem)

 

이 정리 역시 표기는 표준을 따랐지만, 앞으로는 랭크-nullity 정리라고 부를 일이 많을 것입니다.

 

정리($L.A$) 4.4

유한차원 벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\mathrm{nullity}(T)+\mathrm{rank}(T)=\mathrm{dim}(V)$$

 

증명은 후술할 것이고, 언제나 그랬듯 이해하는게 더 중요합니다. 영공간과 상공간의 차원을 더하면 벡터공간 $V$의 차원이 나온다는 것이 무슨 뜻일까요?

 

[그림 1] 영공간(좌측)과 상공간(우측)의 정의역과 치역 그림

 

서두에 설명했듯이, 모든 선형변환은 사실 그에 대응되는 행렬을 가지고 있습니다. 그런데 행렬에 비해 선형변환의 수학적 개념들이 조금 더 추상적입니다. 행렬은 점의 이동이나 도형의 이동, 벡터의 표현 등을 기하적으로 떠올리기 수월한 측면이 있는 반면에 선형변환은 확실히 추상대수학에 더 가깝기 때문에 증명들이 엄밀한 식과 논리로 점철되어 있는 경우가 흔합니다. 그렇기에 이 정리의 이해는 행렬을 통해 습득하는 것이 용이합니다. 게다가, 행렬에서도 이미 랭크(rank)와 영공간의 차원(nullity)라는 용어의 뜻을 이미 설명했었지요.

 

어떤 행렬 $A$에 의한 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 에서 열공간(또는 행공간)의 차원을 랭크라 부른다고 했습니다. 선형변환의 랭크와 같은 말입니다. 즉 행렬 $A$가 어떤 열벡터 $x$와 곱해져 만들어낸 벡터 $\mathbf{b}$ 들이 그리는 도형이 함수에서는 행렬 $A$라는 '함수'가 작동해 만들어낸 '상(image)'의 개념과 같기 때문에, 비교해보면 랭크는 $R(T)$의 차원을 말하는 것입니다. 반면 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 을 만들어내는 $\mathbf{x}$ 들이 구성한 벡터공간이 영공간이라고 했습니다. 그런데 이 때 영공간의 크기를 가늠하기 위해 사용하는 간접적인 도구가 무엇일까요? 바로 $\mathrm{pivots}$ 과 자유변수(free variables)입니다.

 

 

$\mathrm{pivots}$ 의 개수가 랭크인데, $\mathrm{pivots}$ 이 많아질수록 감소하는 것은 자유변수인 것입니다. 그래서 행렬에서는 자유변수의 개수가 영공간의 차원과 같고, $\mathrm{pivots}$ 의 개수가 랭크인 것입니다. 그래서 여기의 마지막 부분에 똑같이 행렬에 대해 계수-퇴화차수 정리를 설명한 것이고요.

 

이제 증명을 해봅시다.

 

증명) $\mathrm{dim}(V)=n\;\;,\;\;\mathrm{dim}(N(T))=k$ 라 하자.

집합 $\left \{ v_1,v_2,\cdots ,v_k \right \}$ 를 $N(T)$ 의 기저라고 하면, $N(T)$는 $V$의 부분공간이므로 
$N(T)$ 의 기저를 확장하여 $V$의 기저 $\beta=\left \{ v_1,\cdots ,v_n \right \}$ 를 만들 수 있다.

$S=\left \{ T(v_{k+1}),\cdots ,T(v_n) \right \}$ 라 하고 이것이 $R(T)$의 기저임을 보일 것이다. $T(v_1)=T(v_2)=\cdots =T(v_k)=\mathbf{0}$ 임을 감안하면 

$$R(T)=\mathrm{span}(\left \{ T(v_{1}),\cdots ,T(v_n) \right \}  )
=\mathrm{span}(\left \{ T(v_{k+1}),\cdots ,T(v_n) \right \})=\mathrm{span}(S)$$ 
이제 $S$가 일차독립임을 보이자. 적절한 스칼라 $b_i\in F$에 대하여 
$$\sum_{i=k+1}^{n}b_iT(v_i)=\mathbf{0}\;\;\;\cdots \;\;(1)$$
라 가정하자. $T$는 선형이므로 정리($L.A$) 4.1 에 의하여 

$$\sum_{i=k+1}^{n}b_iT(v_i)=T\left ( \sum_{i=k+1}^{n}b_iv_i \right )=\mathbf{0}=\sum_{i=k+1}^{n}b_iv_i \in N(T)\;\;\;\cdots \;\;(2)$$ 

그러면 적절한 스칼라 $c_1,\cdots ,c_k\in F$ 가 존재하여 $N(T)$ 의 기저들로의 일차결합으로 바꾸면 

$$\sum_{i=k+1}^{n}b_iv_i=\sum_{i=1}^{k}c_iv_i\;\;,\;\;\sum_{i=k+1}^{n}b_iv_i+\sum_{i=1}^{k}(-c_i)v_i=\mathbf{0}$$ 

이 때 $\beta=\left \{ v_1,\cdots v_k,v_{k+1},v_n \right \}$ 은 $V$의 기저이므로 일차독립이기 때문에 위 식의 모든 $b_i,c_i=0$ 이 등식이 성립하는 유일해이다. 고로 $\displaystyle\sum_{i=k+1}^{n}b_iv_i=\mathbf{0}$ 의 유일해가 $\forall\,b_i=0$ 이므로 집합 $S$는 일차독립이다. 이 때 $(1)$과 $(2)$에 의하면 $T(v_{k+1}),\cdots ,T(v_n)$ 들이 모두 $R(T)$ 의 어떤  서로 다른 벡터고 일차독립이므로 
$$\mathrm{rank}(T)=n-k=\mathrm{dim}(V)-\mathrm{nullity}(T)$$
가 성립한다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON