행공간과 열공간(Row space and Column space)

행렬의 수많은 특징은 거듭 강조하듯이 행렬의 '랭크(rank)'가 보유하고 있습니다.

그 다음으로 행렬의 특징을 관찰하는데 좋은 도구는 행렬의 영공간, 행공간, 열공간을 들여다 보는 것입니다. 어쩌면 이들이 모여 랭크라는 우아한 숫자를 건설한 것으로도 볼 수 있는데, 이들은 공간이라는 단어가 들어가 있듯이 행렬에 벡터공간의 논리를 적용한 것입니다. 이것이 가능한 까닭은 행렬은 행들과 열들로 쪼개어 바라볼 수 있고, 각각의 행과 열은 행벡터와 열벡터라는 '벡터'로 생각할 수 있기 때문입니다. 그러면 자연스레 행렬에 대한 벡터공간을 논의할 수 있게 됩니다.

행렬 자체는 벡터공간이라 할 수 있어 행과 열을 따로 보아 행벡터와 열벡터가 만드는 벡터공간이 연립방정식에서 매우 중요한 역할을 합니다. 특히 열벡터의 선형결합으로 만들어지는 벡터공간인 열공간은 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 해를 찾는 핵심적인 열쇠입니다.

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1. 행렬은 벡터공간이다.

성분이 체(field)인 $m \times n$ 행렬은 $M_{m,n}(F)$ 로 표기하고, 이것은 벡터공간입니다. 이것을 엄밀히 증명하려면 벡터공간의 8공리를 만족해야 하는데, 간단하게 행렬끼리의 합과 스칼라 곱을

$$\left ( A+B \right )_{ij}=A_{ij}+B_{ij}\;\;,\;\;\left ( cA \right )_{ij}=cA_{ij}$$

으로 정의하면 성립함을 직관적으로 이해할 수 있을 것입니다. 행렬의 덧셈과 상수배(스칼라 곱)은 행렬의 각 성분(=$F$의 원소)들끼리 더하고 상수배를 해주는 것이기 때문이죠.

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2. 행공간과 열공간

 

[행공간과 열공간의 정의]

$A\in M_{m,n}(F)$인 행렬 $$A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{21}\\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots\\ 
a_{m1} &a_{m2}  & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}$$

에 대하여, $A$의 $m$개 행들 $$\begin{matrix} 
\mathbf{r_1}=\begin{pmatrix}
a_{11} &a_{12}  &\cdots  &a_{1n} 
\end{pmatrix} \\\\

\mathbf{r_2}=\begin{pmatrix}
a_{21} &a_{22}  &\cdots  &a_{2n} 
\end{pmatrix} \\\\
\vdots
\\\\ \mathbf{r_m}=\begin{pmatrix}
a_{m1} &a_{m2}  &\cdots  &a_{mn} 
\end{pmatrix}
\end{matrix}$$
의 선형결합으로 생성(span)된 부분공간 $R(A)=\left \{\mathbf{r_1},\;\mathbf{r_2},\;\cdots,\;
\mathbf{r_m} \right \}$ 를 행렬 $A$의 '행공간(Row space)'이라 부르며, $A$의 $n$개의 열들

$$\mathbf{c_1}=\begin{pmatrix}
a_{11}\\ 
a_{21}\\ 
\vdots\\ 
a_{m1}
\end{pmatrix}\;,\;\;\mathbf{c_2}=\begin{pmatrix}
a_{12}\\ 
a_{22}\\ 
\vdots\\ 
a_{m2}
\end{pmatrix}\;,\;\cdots\;,\;\mathbf{c_n}=\begin{pmatrix}
a_{1n}\\ 
a_{2n}\\ 
\vdots\\ 
a_{mn}
\end{pmatrix}$$
의 선형결합으로 생성(span)된 부분공간 $C(A)=\left \{\mathbf{c_1},\;\mathbf{c_2},\;\cdots,\;
\mathbf{c_n} \right \}$을 행렬 $A$의 '열공간(Column space)'이라 부른다.

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3. 행공간과 열공간의 차원은 행렬의 랭크와 같다.

 

어떤 행렬의 특성을 가장 잘 나타내는 지표는 단언코 행렬의 랭크입니다. 행렬의 랭크는 행공간과 열공간의 랭크와 매우 밀접한 관련(셋은 같음)을 맺고 있고 그에 관한 정리를 소개할 것입니다. 우선, 행렬의 랭크를 구하기 위해서는 그 행렬에서 선형독립인 최대의 행의 개수를 세거나, 열의 개수를 세면 된다고 했었습니다. 이 때 행의 개수와 열의 개수가 달라도, 행렬의 랭크를 구할 때 선형독립인 최대 행의 개수를 구하든 열의 개수를 구하든 랭크는 똑같은 값을 가짐을 위 포스팅에서 설명했었지요. 행공간과 열공간의 차원은 각각 그들의 랭크와 같으며 동시에 행렬의 랭크(rank)와 같습니다. 이는 어떻게 보면 유도된다기보다, 행공간과 열공간의 차원(랭크)는 항상 같고 그것을 그냥 간단히 행렬의 랭크(rank)로 정의한 셈입니다.

 

정리($L.A$) 2.3

임의의 $A\in M_{m,n}(F)$에 대하여 행렬 $A$의 랭크(rank)는 $A$의 행랭크(=열랭크)로 정의되고, 다음이 항상 성립한다.
$$\mathrm{rank}(A)=\mathrm{dim}(R(A))=\mathrm{dim}(C(A))=\mathrm{rank}(A^T)$$

 

행랭크와 열랭크가 같다는 사실을 보이면 전치행렬의 랭크는 원래 행렬의 랭크와 똑같음을 보일 수 있기 때문에 전치행렬의 랭크에 관한 식이 하나 추가된 것입니다. 이는 여태껏 설명에 의해 직관적으로 납득되지만, 정확한 수학적 증명은 다음에 해보도록 하겠습니다.

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4. 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$는 열공간(Coulumn space)이 중요하다.

다다음 포스팅에선 영공간과 동차 연립방정식  $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 을 해결하는 방법을 소개할 것입니다. 반면에,

비동차 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$을 푸는 것은 열공간과 연결되어 있습니다. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 에  대하여 행렬 $A$와 미지수 벡터(이것도 행렬이긴 함) $x$의 곱셈을 바라보는 두 가지 관점을 일전에 제시한 바 있습니다. 그 중 하나는 $A$의 열벡터들이 $x$의 각 성분을 앞에 스칼라로 달아 선형결합한 꼴로 해석하는 것이었습니다. 가령 $A$가 $3\times 3$ 행렬이라면,

 

$$A\mathbf{x}=x\left ( \mathrm{First\;column\;of\;}A \right )+y\left ( \mathrm{Second\;column\;of\;}A \right )+z\left ( \mathrm{Third\;column\;of\;}A \right )=\mathbf{b}$$

 

입니다. 예시를 하나 들어 이것을 구체적으로 파악해 봅시다. 연립방정식이 다음과 같이 주어져 있습니다.

 

$$A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
1 & 0\\ 
2 & 4\\ 
3 & -1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ 
y
\end{pmatrix}=\mathbf{b}$$

 

이것을 만족하는 해는 $\mathbf{b}$인데, 어떤 값들이 $\mathbf{b}$가 될 수 있을까요? 행렬 곱의 선형결합적 관점에서 바라보면, $\mathbf{b}$는 행렬 $A$의 열벡터들이 만들어내는 벡터공간의 원소가 되어야 합니다. 즉, $\mathbf{b}$는 $A$의 열공간에 포함되어 있어야 한다는 것입니다. 곧, $$\mathbf{b}=x\begin{pmatrix}
1\\ 
2\\ 
3
\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}
0\\ 
4\\ 
-1
\end{pmatrix}\;\;\Leftrightarrow \;\;A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

 

정리($L.A$) 2.4

연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 에서 $\mathbf{b}$가 $A$의 열공간 $C(A)$에 포함되어 있을 때만 해를 구할 수 있다. (필요충분조건)

 

여기서 열공간은 $A$의 열들이 만드는 벡터공간인데, $A$의 열의 개수는 2개이고 각각 성분이 3개입니다. 그렇다면 3차원 벡터 2개(두 벡터는 서로 독립)의 선형결합으로 만들어지는 $A$의 열공간은 3차원 공간에 존재하는 2차원 평면입니다. 그리하여 간략히 그림을 그리면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 평면의 기저로 $A$의 두 열벡터가 선택된 것입니다. 이 평면 속의 임의의 점을 가리키는 벡터가 방정식  $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 $\mathbf{b}$ 자리에 와야 해가 존재한다고 할 수 있게 됩니다.