행렬의 곱셈(Multiplication of matrices)

행렬의 곱셈은 행렬의 덧셈이나 스칼라 배와는 다르게 각각의 동일한 위치의 성분끼리 숫자를 단순히 더하는 행위로 정의되지 않고, 처음 봤을 때는 당황할 수 있을 정도로 특이하게 정의합니다. 오늘은 그 정의와 그렇게 정의를 하는 이유에 대해 분석해 보려고 합니다.

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1. 행렬 곱셈의 정의

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행렬은 행렬식과 더불어 연립일차방정식의 해를 구하기 위한 부단한 노력에서 탄생한 녀석입니다. 연립일차방정식의 좌변에는 상수 계수들이 곱해진 미지수들이 존재하고, 우변에는 단순 상수가 존재합니다. 이 연립일차방정식의 숫자와 미지수들을 간단히 표현하기 위해 행렬을 도입해 사용했는데, 그 방법은 미지수와 상수가 곱해져 있는 연립일차방정식의 좌변을 미지수와 상수 각각 따로 분리해 쓰는 것입니다.

 

$$ \left\{\begin{matrix}
ax+by+cz=p\\ \\
dx+ey+fz=q\\ \\
gx+hy+iz=r
\end{matrix}\right. \;\;\Leftrightarrow \;\;
\begin{pmatrix}
a & b &c \\ 
d & e & f\\ 
g & h &i 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
p\\ 
q\\ 
r
\end{pmatrix}\;\;\Leftrightarrow \;\;A\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

 

행렬 $A$는 미지수의 계수들로 구성된 $3\times 3$ 행렬이고, 그 특징답게 '계수행렬(coefficient matirx)'라 부릅니다. 미지수 $3$개는 $x,y,z$ 는 열벡터로, 우변의 숫자 $p,q,r$ 도 열벡터로 쓰면 됩니다. 미지수 열벡터를 행렬에서는 $\mathbf{x}$로 쓰고 우변의 $p,q,r$ 열벡터를 $\mathbf{b}$라고 씁니다.

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방정식에서 만일 미지수의 개수 n보다 방정식의 개수가 많으면 쓸모없는 식이 더 존재하는 것이고, 이 때 방정식이 유일해를 가진다면 주어진 방정식의 개수를 $n+a$ 라 했을 때 $a$개는 $n$개의 방정식과 종속(dependent) 관계를 가집니다. 반면에 미지수의 개수 > 식의 개수라면 그것은 '부정방정식(indeterminate equation)'으로 무수히 많은 해를 가질 것입니다. 이것으로 알 수 있는 사실은 연립일차방정식은 정확히 방정식 $n$개와 미지수 $n$개로 구성되어 있을 때, 곧 방정식의 개수와 미지수의 개수가 동일해야 해를 하나로 규정할 수 있다는 사실입니다. 그리하여 행렬표현으로 바꾼다고 했을 때 반드시 계수행렬의 열의 개수가 미지수 행벡터의 행 개수와 동일해야만 합니다.

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이러한 특징을 염두에 보고 다음 행렬 곱의 정의를 들여다 봅시다.

 

두 행렬 $A$, $B$의 곱셈은 다음과 같이 정의된다. 
$$ C_{ij}=\left ( AB \right )_{ij}=\sum_{k=1}^{n}\,a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj} $$

 

두 행렬 $A,B$의 곱행렬을 $C$라고 하자면, $C$의 $(i,j)$성분은 앞행렬 $A$의 $i$행과 뒷행렬 $B$의 $j$열의 성분들의 선형결합입니다. $A$의 $i$행은 $k$개의 열로 구성되어 있고 $B$의 $j$열은 $k$개의 행으로 이루어져 있습니다. 따라서 이 $k$라는 숫자가 동일해야 행렬 곱을 정의할 수 있으므로 행렬의 곱셈은 곱의 앞행렬의 열의 개수와 곱의 뒷행렬의 행의 개수가 같아야만 정의됩니다. 다음의 예시에 주목해봅시다.

 

$$ \begin{pmatrix}
2 &1 \\ 
4 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3 &5 \\ 
1 &6 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2(-3)+1(-1) & 2\times 5+1\times 6 \\ 
4(-3)+0(-1) & 4\times 5+0\times 6
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-7 &16 \\ 
-12 & 20
\end{pmatrix}$$

 

두 행렬은 각각 $2\times 2$ 행렬이므로 앞행렬의 열의 개수와 뒤행렬의 행의 개수가 동일합니다. 따라서 행렬의 곱셈을 수행할 수 있습니다.

 

$$ \begin{pmatrix}
2 & 1\\ 
4 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
3\\ 
5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\times 3+1\times 5\\ 
4\times 3+0\times 5
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
11\\ 
12
\end{pmatrix}$$

 

위 예시 역시 $2\times 2$ 행렬과 $2\times 1$ 행렬이므로 행렬 곱셈을 할 수 있습니다. 그러나 순서를 뒤집으면 $2\times 1$ 행렬과 $2\times 2$ 행렬이 되고 앞행렬의 열의 개수는 1인 반면 뒤행렬의 행의 개수는 2이므로 행렬 곱을 정의할 수 없습니다.

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2. 연립방정식에서 행렬 곱셈을 바라보는 두가지 관점

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행렬의 곱셈은 나름대로 연립방정식을 효율적으로 표현하자는 의도에서 탄생한 것으로 받아들이면 그럭저럭 그 의도를 이해할 수는 있을 것입니다. 그런데 이렇게 정의했을 때, 연립방정식은 계수행렬과 미지수 벡터의 곱의 꼴로 이루어져 있어서 행렬 곱셈을 바라보는 2가지 관점을 제시할 수 있습니다.

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먼저 다음과 같은 연립방정식을 푸는 상황을 예시로 들어봅시다.

 

$$ \left\{\begin{matrix}
x-2y=1\\
3x+2y=11
\end{matrix}\right.$$

 

 

1) 행곱셈 : 행렬의 곱셈은 앞행렬의 행들과 뒷행렬(=열벡터 $\mathbf{x}$ ) 열의 내적(inner product)이다.

 

$$A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
\left ( \mathrm{row\;1\;of}A \right )\cdot \mathbf{x}\\ 
\left ( \mathrm{row\;2\;of}A \right )\cdot \mathbf{x}\\ 
\left ( \mathrm{row\;3\;of}A \right )\cdot \mathbf{x}\\ \vdots
\end{pmatrix}$$

 

이것은 전통적으로 행렬의 곱셈을 계산하는 방법과 일맥상통하는 것으로 위에서 배웠던 행렬의 정의를 벡터 관점에서 풀이한 것입니다. 앞행렬의 행과 뒷행렬의 열을 각각 행벡터, 열벡터로 본 다음 그 둘을 내적시킨다고 생각하면 됩니다. 물론, 일반적으로 벡터들을 내적시킬 때는 모두 행벡터로 적어서 계산하기는 합니다. 위의 연립방정식에 적용하면,

 

$$\left\{\begin{matrix}
x-2y=1\\\\ 
3x+2y=11
\end{matrix}\right.\;\;\Leftrightarrow \;\; A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
(1,-2)\cdot (x,y)\\ 
(3,2)\cdot (x,y)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\ 
11
\end{pmatrix}$$

 

이 방법은 계수행렬의 각 가로줄을 따로 생각한다는 차원에서 공식적으로 사용되는 용어까진 아니지만 '행곱셈'이라 불리기도 합니다. 행별로 초점을 두고 생각하겠다는 겁니다. 이를 좌표평면에서 그래프의 기하적 의미로 해석하게 되면, 우리가 중학생 때 연립방정식을 풀고 일차함수와의 연관성을 떠올렸던 것처럼 두 직선의 교점이 연립방정식의 해에 해당하는 그림이 탄생합니다.

 

 

2) 열곱셈 : 행렬의 곱셈은 계수행렬(=앞행렬 $A$ )의 열벡터를 뒤행렬(=열벡터 $\mathbf{x}$ )의 성분들과 선형결합한 것이다.

 

$$ A\mathbf{x}=x\left ( \mathrm{column\;1\;of}\;A \right )+y\left ( \mathrm{column\;2\;of}\;A \right )
+z\left ( \mathrm{column\;3\;of}\;A \right )=\mathbf{b} $$

 

이 관점은 계수행렬의 열들을 어떤 (열)벡터들로 보고, 뒤행렬의 각 성분들과 선형결합 시킨 것입니다. 본디 선형결합은 벡터에 특정 상수를 곱해 더한 것이죠? 여기서 상수는 뒤행렬의 각 성분이며 벡터가 계수행렬의 열벡터입니다. 이 때 주어진 우변의 벡터 $\mathbf{b}$ 는 적절한 선형결합을 통해 만들어야 하겠죠? 그것은 바로 $A$ 의 열벡터 앞에 붙은 $x,y,z$ 계수들이며 이것들이 이 연립방정식의 해에 해당하는 값을 만들때 정확히 우변의 벡터$\mathbf{b}$ 를 가리키게 됩니다! 위의 예시에 적용하면, 연립방정식의 해가 $(3,1)$인데 이것은 $(x,y)=(3,1)$일때 선형결합이 $\mathbf{b}$ 를 만든다는 말입니다.

 

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3. 행렬의 곱셈에 관한 특징

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행렬 곱은 처음 배울 땐 익숙하지 않기 때문에 위와 같은 예시를 많이 풀어봐야 합니다. 행렬 곱셈의 특징을 총정리 해보면 다음과 같습니다.

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① $m \times n $ 행렬과 $n \times p $ 행렬의 곱셈은 $m \times p $ 행렬이 된다.

 

② 체($F$)상에서 합과 곱이 가능한 행렬 $A,B,C$ 와 스칼라 $c$ 에 대하여 다음이 성립한다.

 

$$   1)\;\;\left ( AB \right )C=A\left ( BC \right )\;\;\;\;\; 2)\;\;A\left ( B+C \right )=AB+AC 
\\\\ 3)\;\;\left ( A+B \right )C=AC+BC\;\;\;\;\;4) \;\; c\left ( AB \right )=\left ( cA \right )B+A\left ( cB \right ) $$

 

③ 행렬 곱의 거듭제곱에 관한 다음 법칙이 성립한다.

 

$$ \left ( A^p \right )^q=A^{pq}$$

 

④ 일반적으로 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다. 만약 곱셈에 대한 교환법칙이 성립한다면 그 둘은 '가환(commutative)'이라 한다.

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⑤ 어떤 행렬이 영행렬을 곱하면 반드시 영행렬이지만, 영행렬이 아닌 행렬들의 곱으로도 영행렬을 만들 수 있다. 이러한 관계(서로 곱해서 영행렬이 되는 관계)에 있을 때, 그 행렬들은 '영인자(Zero divisor)'라고 한다.

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영인자의 예시는 다음과 같은 경우가 있습니다.

 

$$ \begin{pmatrix}
 1&0 \\ 
 3&0 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 0&0 \\ 
0 &-1 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0 &0 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix} $$

 

 

[참고서적]

Introduction to Linear Algebra, Gilbert Strang, 5e