선형 연립일차방정식 1) 연립일차방정식의 뜻 (System of equation)

대한민국 교육과정에 의하면 중학교에서 우린 처음으로 연립방정식이라는 것을 배우게 됩니다. 연립방정식은 x와 y가 미지수인 일차방정식 두개가 묶여져 있는 것에 지나지 않고 소거법과 대입법을 사용하면 중학생 수준에서 누구나 답을 낼 수 있습니다. 그런데 행렬의 곱셈을 배웠다면 행렬 표현을 이용해 연립방정식을 푸는 것이 가능하고, 이것이 행렬 연습의 첫 단계입니다. 굳이 행렬을 이용해 연립방정식을 푸는 것이 도대체 왜 중요할까요?

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그것은 연립방정식을 행렬 표현으로 접근하게 되면 거대한 수학적 감각과 지식을 얻을 수 있기 때문입니다.

첫째로 선형방정식에 대한 전반적인 이해가 가능해집니다.(이것은 미분방정식을 풀 때 아주 큰 도움이 됩니다!) 둘째로 행렬 연산에 보다 익숙해질 수 있으며, 셋째로 행렬의 매우 중요한 특성인 피벗(pivot), 랭크(rank), 가역성(invertible), 벡터공간(Vector space) 등에 관한 이해를 통채로 할 수 있기 때문입니다! 여기서 특히 랭크와 가역성은 무지하게 중요하여 연립방정식을 너머 역행렬에 관한 거의 모든 내용과 이어집니다. 더불어 가우스-조르단 소거법과 같은 몇몇 도구들도 익힐 수 있다는 장점이 있습니다. 행렬에 대한 기본적인 내용을 익혔으니 이제 연립방정식을 풀어보도록 합시다.

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1. 선형 연립일차방정식의 정의

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아래와 같은 형태의 연립일차방정식을 체(field) $F$ 의 원소 스칼라 $a_{ij}$ 와 $b_j$ $\left ( 1\leq i\leq m \;\;,\;\;1\leq j\leq n \right )$ 및 $n$ 개의 미지수 $x$, $m$개의 일차방정식으로 이루어진 '연립일차방정식(System of linear equation)'이라고 부른다.

$$ a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1
\\a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1
\\\\ \;\;\;\vdots$$ $$a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m $$
행렬로 표현하면 다음과 같다.

$$ A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;\;\Leftrightarrow \;\;
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{21}\\ 
\vdots & \vdots &  & \vdots\\ 
a_{m1} &a_{m2}  & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1\\ 
x_2\\ 
\vdots\\ 
x_n
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
b_1\\ 
b_2\\ 
\vdots\\ 
b_m
\end{pmatrix} $$

 

우리가 주로 다룰 연립방정식은 연립일차방정식이고, 그 중에서도 3 x 3 선형 연립일차방정식입니다. 위에서 $n=m=3$ 인 경우에 해당하는 것이지요. 앞으로 연립방정식이라고 하면 특별하지 않는 한 연립일차방정식임을 뜻합니다.

연립방정식의 주된 논의 대상은 다음과 같습니다.

▶ 주어진 연립방정식의 해가 존재하는가?
▶ 해가 존재한다면 몇개가 존재하는가?
▶ 해가 존재한다면 그 해들을 어떻게 구할 것인가?
▶ 연립방정식의 해를 구하는 과정과 행렬의 성질은 어떠한 관련이 있는가?

 

이들에 대한 답은 연립방정식에서 '피벗(pivot)'과 행렬의 '랭크(rank)'를 배우고 나면 거의 다 찾을 수 있습니다. 오늘은 연립방정식에 대한 기본 이론을 다룰 것입니다.

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2. 동차, 비동차 방정식

 

연립방정식은 동차방정식(homogeneous equation)과 비동차방정식(inhomogeneous equation)으로 나눌 수 있습니다. 이는 미분방정식을 공부할 때 빈번히 마주치는 용어인데, 사실 이 말의 고향은 연립방정식입니다. 즉 선형대수학의 이론에서 태동된 것이죠. 그 뜻은 다음과 같습니다.

 

$n$ 개의 미지수와 $m$ 개의 일차방정식으로 이루어진 연립일차방정식에서, 우변의 열벡터 $\mathbf{b}=\mathbf{0}$ 일 때, 곧 $$A\mathbf{x}=\mathbf{0}$$ 일 때, 이 연립방정식을 '동차방정식(homogeneous)'라 하고 $\mathbf{b}\neq \mathbf{0}$ 이면 '비동차방정식(inhomegeneous equation)' 이라고 한다.

 

이렇게 되면 동차방정식은 우변이 영벡터 $\mathbf{0}$ 이므로, $\mathbf{x}=0$ 은 무조건 이 방정식의 해가 됩니다. 이는 마치 어떤 수에 0을 곱하면 반드시 0이 나온다는 뻔한 이야기에 해당하기 때문에, 동차방정식의 해  $\mathbf{x}=0$ 는 '뻔한 해(trivial solution)'이라 부릅니다. (참고로 수학에서 'trivial'이라는 용어가 종종 등장하는데, 그것은 이 경우에서처럼 뻔한 0을 만드는 해와 관련된 뜻이라 생각하면 됩니다.) 따라서 임의의 동차 연립일차방정식은 적어도 1개의 해(=trivial solution)을 가진다고 말할 수 있게 됩니다.

 

이외에 연립일차방정식의 중요한 성질이 몇가지 더 있습니다. 이들은 행렬에 대한 설명을 마친 뒤 보충하겠습니다.