선형변환의 동형사상(Isomorphic, Isomorphism)

이제 선형변환의 종착역이 서서히 보입니다. 오늘은 선형변환과 행렬 사이에 가려져 있던 장막을 서서히 벗겨내서 두 세계를 이어주는 다리를 발굴하고, 그 구조와 의미를 체득하는 것을 목표로 합니다. 이 내용은 어쩌면 선형대수학에서 가장 중요한 부분이며, 추상적인 세계를 머릿속으로 이해하는 과정에서 많은 학생들이 좌절하고는 합니다. 저 또한 그랬고요. 이를 이해하는 것이 굉장히 힘들었었습니다. 하지만 굴복하지 않고 이렇게 글을 쓰고 있지요. 여러분도 묵묵히 따라와 주시길 바랍니다.

 

앞으로 남은 세 가지 과제는 다음과 같습니다.

 

1. 동형사상이 무엇인가?

2. 행렬의 선형사상(=좌측 곱 변환) ^[각주:1]이 무엇인가?
3. 행렬과 선형사상의 세계가 어떻게 맞물려 있는가?

 

오늘은 1번을 할 겁니다. 종합적인 이야기는 3에서 정리하겠습니다.

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1. 동형사상

1) 정의

 

두 벡터공간 $V,W$ 에 대하여 선형변환 $T:V\rightarrow W$ 이 가역이면(=전단사이면), $V$와 $W$는 '동형(isomorphic)' 이라 하고 $V\cong W$ 라 표기한다. 이 때 가역인 선형변환을 $V$에서 $W$로 가는 '동형사상(isomorphism)'이라 한다.

 

동형은 간단히 가역, 곧 전단사인 선형변환을 이루는 두 벡터공간을 일컫습니다. 그리고 그 선형변환(사상)은 동형사상이라고 부릅니다.

 

 

2) 동형은 동치관계다.

 

정리($L.A$) 4.19
동형사상은 동치관계(Equivalent Realtion)이다.

 

증명)  $\sim$ 을 동형관계라 하고 $V,W,Z$를 체 $F$ 위에서의 벡터공간이라 하자. 따름정리 $(L.A)$ 4.17 에 의하면 가역인 벡터공간은 차원이 같아야 한다. 따라서 동형(가역)이면 차원이 같음을 동치관계로 따져 보자.

i) $T:V\rightarrow V$가 가역이면 $V\sim V$ : 반사적(Reflexive)

ii) $V\sim W$ 라 가정하자. $T:V\rightarrow W$가 가역이면 역변환 $T^{-1}:W\rightarrow V$ 인 전단사함수가 존재하여 가역이다. 고로 $W\sim V$ : 대칭적(Symmetric)

iii) $V\sim W$이고 $W\sim Z$ 라 가정하자. 그러면 $T:V\rightarrow W$ 와 $U:W\rightarrow Z$ 인 가역인 선형변환 $T,U$가 존재한다. 그러면 합성변환 $UT$는 $V$에서 $Z$로 가는 전단사인 선형변환이다. 이는 이와 같이 보일 수 있다.

$$UT(xy)=U(T(xy))=U\left( T(x)T(y) \right)=U\left( T(x) \right)U\left( T(y) \right)
=\left[ \left( UT \right)(x) \right]\left[ \left( UT \right)(y) \right]$$
그러므로 $V\sim Z$ : 추이적(Transitive)

고로 $\sim$은 동치관계다.

 

 

3) 동형일 필요충분조건은 무엇일까?

 

정리($L.A$) 4.20
$V,W$가 같은 체에서 정의된 유한차원 벡터공간이라 하자. $V$가 $W$와 동형일 필요충분조건은 $\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(W)$ 인 것이다.

 

증명) $\Leftarrow\;\;:\;\;$ : $\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}W=n$ 라 하고 $\beta =\left\{ v_1,\,\cdots \,v_n \right\}\;,\;\gamma=\left\{ w_1,\,\cdots \,w_n \right\}$ 을 각각 $V,W$의 기저라 하자. 그럼 정리($L.A$) 4.7에 의해

$$T(v_1)=w_1,\;\cdots \;,T(v_n)=w_n$$
인 선형변환 $T:V\rightarrow W$가 존재한다. 그런데 $R(T)=\left\langle T(v_1),\;\cdots \;T(v_n) \right\rangle$ 이므로

$$R(T)=\left\langle T(v_1),\;\cdots \;T(v_n) \right\rangle=\left\langle w_1,\;\cdots \;w_n \right\rangle =W$$
가 성립한다. 곧 $T$가 전사이며, $V,W$가 모두 $n$차원 벡터공간이니 정리($L.A$) 4.6에 의해 $T$는 전단사이고, 따라서 $V$와 $W$는 동형이다.

 

이 정리의 반쪽($\Rightarrow$)은 굳이 증명치 않겠습니다. 동형사상의 정의를 떠올려 보시면 납득할 수 있습니다. 가역성을 가지기 때문에 두 벡터공간 $V,W$의 차원이 반드시 같을 수 밖에 없다는 뜻입니다.

 

정리의 의의를 보면 동형일 필요충분조건은 차원이 같아야 한다는 겁니다. 동형(가역성)이면 차원이 같다는 것은 직관적으로 납득되지만 차원이 같기만 하면 동형이라는 주장은 예외가 있을 것 같은 느낌이 들지 않나요? 그래서 증명을 달아 둔 것이며, 이는 벡터공간 공리를 만족하면서

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2. 좌표사상

 

좌표에 대한 정의는 일전에 한 바 있습니다. 좌표사상은 동형사상임에 유념하시고, 특히 정리 4.8을 명확히 각인시켜야 다음 시간에 대한 이해가 쉬울 것이라 한 번 더 적고 가겠습니다.

 

정리($L.A$) 4.8

$\beta=\left \{ \mathbf{e}_1,\cdots ,\mathbf{e}_n \right \}$ 을 $F^n$의 표준순서기저라 하자. 그러면 기저 $\beta$에 대한 $\mathbf{v}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in F^n$ 의 좌표는
$$\left [ \mathbf{v} \right ]_\beta=\left ( a_1,a_2,\cdots ,a_n \right )=\mathbf{v}$$ 이다. 즉, 벡터 자체가 좌표(벡터)이다.

따름정리($L.A$) 4.8.1

$\beta=\left \{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right \}$ 가 벡터공간 $V$의 기저이면 임의의 벡터 $v\in V$는
$$v=a_1v_1+\cdots +a_nv_n$$ 으로 유일하게 표현되고, 이 때 좌표변환(좌표사상)
$$\phi_\beta:V\rightarrow F^n\;\;,\;\; \phi_\beta (v)=(a_1,\cdots ,a_n)$$ 은 '동형사상(isomorphism)'이다.

 

 

 

[참고문헌]

선형대수학, 청문각 (강경태, 송석준 지음)

 

 

 

1. Left hand multiplication 이라고도 부릅니다.  [본문으로]