1차원 무한 퍼텐셜 우물(1st-dimension infinite potential well)

1차원 슈뢰딩거 방정식을 이용해서 퍼텐셜 $V(x)$ 의 형태가 가지각색으로 주어졌을 때 해를 찾아 보도록 합시다. 이제부터는 미분방정식이 본격적으로 필요한 시점입니다.

 

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1. 1차원 무한 퍼텐셜 우물

 

정리($Q.M$) 3.1) 1-dimension Infinite potential well
1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 고유함수는
$$u_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right)$$ 으로 주어진다. 따라서 슈뢰딩거 방정식의 일반해는
$$\Psi(x,t)=\sum_n c_n\left( \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right) \right)\cdot e^{-\displaystyle \frac{iE_nt}{\hbar}t}\\\\ \Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} c_nu_n(x)$$ 와 같다. 여기서 기저 파동함수들의 상수 $c_n$ 은 다음과 같이 주어진다.
$$c_n= \int_{0}^{a}u^*_m(x)\Psi(x,0)dx$$ 마지막으로 계의 에너지는
$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$$

 

1차원 무한 퍼텐셜 우물은 양쪽의 어마어마한 퍼텐셜 장벽이 존재하고 가운데 파인 부분만 퍼텐셜이 0가 되는 우물에, 입자가 갇혀 있다고 간주하는 것입니다. 입자는 $x<0$ 이나 $x>a$ 로 넘어갈 수 없는데, 아주 높은 퍼텐셜에 가로막혀 있다고 볼 수 있기 때문입니다. 퍼텐셜의 구조를 수식으로 나타내면 아래와 같다고 볼 수 있습니다. 또한 장벽의 높이는 한없이 무한하여 높다고 가정하기에 무한 퍼텐셜 우물이라는 뜻입니다. 장벽의 높이가 적당하면 유한 퍼텐셜 우물이라고 하여, 나중에 또 다루게 될 것입니다.^[각주:1] 그리고 입자는 오직 $x$ 축 상에서만 존재할 수 있다는 상황을 보고자하므로 1차원이라는 수식어가 붙었습니다.

 

또한, 정상파(stationary/standing wave)의 관점에서 보면 퍼텐셜 장벽은 파동이 지나갈 수 없는 지점이므로 고정단반사(Fixed-end reflection)을 야기하게 되어, 장벽에서 정상파는 마디(nodes)를 가지게 된다는 점을 기억합시다.

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예제1) 1차원 무한 퍼텐셜의 퍼텐셜이 다음과 같이 주어질 때, 슈뢰딩거 방정식의 해인 파동함수를 완성하여라.

 

$$V(x)= \left\{ \begin{array}{cl} &\;0 &  \ (0 < x < a) \\ &\infty &  \ \mathrm{(otherwise)} \end{array} \right.$$

 

 

Sol) 시간에 관한 항을 제거하고 입자의 파동함수를 $\psi(x)=u(x)$ 와 같이 적자. 시간에 무관한 1차원 슈뢰딩거 방정식 

 

$$\frac{d^2 u(x)}{dx^2}-\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)u(x)=0$$

 

에 주어진 $V(x)$ 조건을 넣어서 해를 구하면 된다. 이때 입자의 에너지의 부호에 따라^[각주:2] Case 를 분류해야 한다. 입자는 장벽을 벗어나는 것이 불가능하고 두 장벽 사이에 갇혀 있게 되므로 $0<x<a$ 를 관찰하기에 $V(x)=0$ 이다.

 

i) $E<0$ : 입자의 에너지가 음수이면 이것에 절댓값을 씌워 슈뢰딩거 방정식을 해결한다. 그러면 슈뢰딩거 방정식은

 

$$\frac{d^2 u(x)}{dx^2}-\frac{2m}{\hbar^2}\left| E \right|u(x)=0$$

 

가 되고, 여기서 $k^2 = \displaystyle\frac{2m\left| E \right|}{\hbar^2}$ 으로 치환하게 되면

 

$$\frac{d^2 u(x)}{dx^2}-k^2 u(x)=0$$

 

이 2계 선형 미분방정식의 해는 기저의 선형결합으로 써야 하므로

 

$$u(x) = Ae^{kx}+Be^{-kx}$$

 

에 해당한다. 경계조건 $u(0)=0$ 과 $u(0)=a$ 를 적용하게 되면 각각 $A+B=0$. $A(e^{ka}-e^{-ka}=0$ 에서 $e^{2ka}=1$ 을 만족해야 함을 알 수 있다. $a\neq 0$ 이므로 $k=0$ 이 되어야 한다. 그것은 다시 $\left| E \right|=0$ 을 뜻하므로 이는 가정에 모순이다. 따라서 이 상황에서 해는 존재하지 않는다.

 

 

ii) $E>0$ : 입자의 에너지가 양수라고 가정하고 똑같이 슈뢰딩거 방정식을 푼다. 

 

$$\frac{d^2 u(x)}{dx^2}-\frac{2m}{\hbar^2} E \cdot u(x)=0$$

 

$k^2=\displaystyle\frac{2mE}{\hbar^2}$ 으로 치환하면 

 

$$\frac{d ^2u(x)}{dx^2}+k^2u(x)=0$$

 

가 되고, 기저를 사인과 코사인 함수로 선택할 수 있다. 그런데 경계조건 $u(0)=0$ 을 만족시키는 기저는 사인함수 뿐이라 해를 $u(x)=A\sin kx$ 와 같이 적어야 한다. 그리고 나서 나머지 경계조건 $u(a)=0$ 을 대입하면 $A\sin ka = 0$ 에서

 

$$k=\frac{n\pi}{a}\;\;\;(n\in \mathbb{N})$$

 

음의 정수는 파수(wave number) $k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda} >0$ 이기 때문에 제거하였다. 따라서 파동함수는 다음과 같이 나타나지고 $E$ 를 $k^2=\displaystyle\frac{2mE}{\hbar^2}$ 를 이용하여 나타내면

 

$$u(x)=A\sin kx = A\sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right) \;\;,\;\; E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \;\;\; (n\in\mathbb{N})$$

 

와 같이 구할 수 있다.

 

규격화 조건을 이용하면 앞의 상수 $A$ 값을 찾을 수 있다. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left| u_n(x) \right|^2dx =1$ 이 성립해야 하므로

 

$$\begin{align*} 1&=A^2 \displaystyle \int_{0}^{a} \sin^2 \left( \frac{n\pi x}{a}\right) dx \\\\&=\frac{A^2}{2} \int_{0}^{a} \left( 1-\cos \left( \frac{2n\pi x}{a}\right)  \right)dx \\\\&= \frac{1}{2}A^2a \end{align*}$$

 

이로부터 $A=\sqrt{\displaystyle\frac{2}{a}}>0$ 을 얻는다.

 

이제 슈뢰딩거 방정식의 일반해를 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\Psi(x,t)=\sum_n c_n\left( \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi x}{a} \right) \right)\cdot e^{-\displaystyle \frac{iE_nt}{\hbar}t}$$

 

여기서 $t=0$ 일 때 $\Psi(x,0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} c_nu_n(x)$ 을 얻는데, 상수 $c_n$ 의 값을 구하기 위해서 $\langle u_n | u_m \rangle = \delta_{nm}$ 의 관계를 사용한다. 양변에 $u_m^*(x)$ 를 곱한 다음 $0$ 부터 $a$ 까지 적분하게 되면,

 

$$\begin{align*} \int_{0}^{a} u^*_m(x)\Psi(x,0)dx &= \int_{0}^{a} u^*_m(x)\sum_{n=1}^{\infty}c_nu_n(x)dx \\\\&=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\int_{0}^{a}u^*_m(x)u_n(x)dx \\\\&= \sum_{n=1}^{\infty}c_n\delta_{nm} \\\\&=c_m \end{align*}$$

 

따라서, 이 식의 마지막 $c_m$ 의 첨자를 $n$ 으로 바꾸기만 하면

 

$$c_n= \int_{0}^{a}u^*_m(x)\Psi(x,0)dx$$

 

를 얻는다. $_\blacksquare$

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예제 2) 에너지를 측정하였을 때 $E_n$ 의 값이 나올 확률에 관한 양자역학의 공리가 1차원 유한 퍼텐셜 우물에 적용되는지 점검하여라. 즉 다음 정리를 보이면 된다.

 

 

정리($Q.M$) 3.2)
1차원 무한 퍼텐셜 우물에서
$$\left\langle \mathcal{H} \right\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}\left| c_n \right|^2\cdot E_n$$ 이 성립한다. 이로부터 $\left| c_n \right|^2$ 의 물리적 의미가 입자의 임의의 파동함수 $\Psi(x)$ 가 고유값인 에너지 $E_n$ 을 가질 확률이라는 것을 알 수 있다.

Sol) 해밀토니안의 기댓값을 구하면, 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 $\mathcal{H}u = Eu$ 에 의하여

 

$$\left\langle \mathcal{H} \right\rangle=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} u^*\mathcal{H}udx= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}u^*(\mathcal{H}u)dx=E\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left| u \right|^2dx=E$$

 

가 성립한다. 이제 1차원 무한 퍼텐셜 우물의 상황에서 $\Psi(x,0)$ 를 대입하면,

 

$$\begin{align*} \left\langle \mathcal{H} \right\rangle&= \int_{0}^{a}\Psi^*(x,0)\mathcal{H}\Psi(x,0) dx \\\\&=\int_{0}^{a}\left( \sum_{m=1}^{\infty}c_mu_m \right)\mathcal{H}\left( \sum_{n=1}^{\infty}c_nu_n \right)dx \\\\&= \sum_{m,n=1}^{\infty} c^*_m c_nE_n \int_{0}^{a}u_m^* u_n dx \\\\&=\sum_{m,n=1}^{\infty} c^*_m c_n \delta_{mn}E_n \\\\&= \sum_{n=1}^{\infty} \left| c_n \right|^2 E_n \end{align*}$$

 

여기서 파동함수의 규격화조건을 적용한다.

 

$$1=\int_{0}^{a}\left| \Psi(x,0) \right|^2dx = \int_{0}^{a} \left| \sum_{n=1}^{\infty}c_nu_n \right|^2 dx=\sum_{n=1}^{\infty}\left| c_n \right|^2\int_{0}^{a}\left| u_n \right|^2dx =\sum_{n=1}^{\infty}\left| c_n \right|^2$$

 

결국 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left| c_n \right|^2=1$ 을 얻게 된다. 결과적으로는 

 

$$\left\langle \mathcal{H} \right\rangle=\sum_{n=1}^{\infty}\left| c_n \right|^2\cdot E_n$$

 

이다. 이산적 변량의 평균값은 $E(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_ip_i$ 이고 이때 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_i=1$ 에 해당한다는 사실로 비추어 볼 때, $p_i$ 에 해당하는 항이 $\left| c_n \right|^2$ 인 것이고 $x_i$ 가 $E_n$ 에 대응되는 것이다. 따라서, 위 식의 물리적 의미는 $\left| c_n \right|^2$ 이 입자의 임의의 파동함수 $\Psi(x)$ 가 고유값인 에너지 $E_n$ 을 가질 확률이라는 뜻이다. $_\blacksquare$

 

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예제 3) 위의 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 운동량의 기댓값 $\left\langle p \right\rangle$ 와 운동량의 제곱의 기댓값 $\left\langle p^2 \right\rangle$ 을 구하여라. 이로부터 운동량의 불확정도 $\Delta p=\sqrt{\left\langle p^2 \right\rangle-\left\langle p \right\rangle^2}$ 를 셈해 보아라. 운동량의 기댓값과 운동량의 제곱 기댓값이 의미하는 바는 무엇인가?

 

 

Sol) 운동량의 기댓값을 구해보자. 원칙적으로 표기할 때 $\langle p \rangle_n, \langle p^2 \rangle_n$ 와 같이 첨자를 살리는 것이 바람직하다.

 

$$\begin{align*} \left\langle p \right\rangle&= \int_{0}^{a}u_n^*(x)\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial x} \right)u_n(x)dx \\\\&=(-i\hbar)\int_{0}^{a}u^*_n(x)\frac{d u_n(x)}{dx}dx =\frac{-i\hbar}{2}\int_{0}^{a}2u^*_n(x)u_n'(x)dx \\\\&=-\frac{i\hbar}{2}\int_{0}^{a}\frac{d }{dx}(u_n(x))^2dx \\\\&=-\frac{i\hbar}{2} (u_n(x))^2\Big|_0^a = -\frac{i\hbar}{a} \left( \sin^2n\pi - \sin0 \right) \\\\&=0 \end{align*}$$

 

운동량의 기댓값이 $0$ 이라는 것은, 정상파를 이루는 두 개의 평면파가 중첩되어 있다는 사실과 잘 맞아 떨어진다. 즉 오른쪽 진행 파와 왼쪽 진행 파가 중첩되어 있을 때 오른쪽으로 이동하는 파의 운동량이 $p_r=\hbar k$ 인 것이고, 왼쪽으로 진행하는 파의 운동량이 $p_l=-\hbar k$ 인 셈이다. 따라서 이들이 상쇄되면 우물 안에서는 운동량이 $\pm k$ 인 상태가 중첩된 것이다. 이는 $p=\hbar k$ 이고 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 $k_n=\displaystyle\frac{n\pi}{a}$ 로 나오기 때문에

 

$$p_n=\pm k_n=\pm \frac{n\pi\hbar}{a}$$

 

가 된다는 사실로부터도 알 수 있다. 각각의 $n$ 값마다 운동량이 $p_n$ 인 상태와 $-p_n$ 인 상태가 중첩되어 있는 것이다.

 

 

운동량 제곱의 기댓값의 경우, 일단 계산으로 직접 구한다면

 

$$\begin{align*} \left\langle p^2 \right\rangle&= -\hbar^2\int_{0}^{a}u_n^*(x)\frac{d^2 u_n(x)}{dx^2}dx \\\\&=-\hbar^2\int_{0}^{a}\left\{ \frac{d }{dx}(u_nu'_n)-(u_n')^2 \right\}{dx} \\\\&=\hbar^2\int_{0}^{a}\left\{ u_n'(x) \right\}^2dx \\\\&= \hbar^2\cdot \frac{2}{a}\cdot \frac{n^2\pi^2}{a^2} \int_{0}^{a} \cos^2\left( \frac{n\pi x}{a} \right)dx \\\\&=\frac{\hbar^2\pi^2n^2}{a^3}\int_{0}^{a} \left\{ 1-\cos \left( \frac{2n\pi x}{a} \right)  \right\} \\\\&=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{a^2}  \end{align*}$$

 

그렇지만 더 좋은 방법은 $\hat{\mathcal{H}}\psi_n(x)=\displaystyle \frac{\hat{p}^2}{2m}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x)$ 으로부터

 

$$\langle p^2 \rangle = 2mE_n=2m\cdot\displaystyle \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} =\displaystyle \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{a^2}$$

 

를 바로 얻는 것이다. 그러면 $\Delta p= \sqrt{\left\langle p^2 \right\rangle-\left\langle p \right\rangle^2} = \displaystyle\frac{n\pi \hbar}{a}$ 를 얻는다. $_\blacksquare$

 

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예제 4) 다음의 질문에 답해보자.

 

 

Sol) 위 문제에서는 $a=L$ 로 주어져 있는 상황이다.

 

ㄱ. 특정 위치에서 입자를 발견할 확률밀도는 $\left| \Psi \right|^2$ 에 비례하는 것이 맞다. (!)
ㄴ. $x=\displaystyle{L}{2}$ 에서 입자가 발견될 확률밀도는 그래프에서 알 수 있듯이 $n=1$ 일 때가 $n=2$ 일 때보다 더 크다. (!)

ㄷ. 양자수 $n$ 이 매우 커지면 상자 극대와 극소가 $0<x<L$ 사이에서 무한히 많아지고, 이는 이 구간에서 어느 한 지점의 확률밀도가 다른 지점에 비해 높게 나타나지 않는다는 것을 뜻한다. 다시 말해 상자 내의 모든 곳에서 입자를 발견할 확률 밀도는 위치에 관계 없이 비슷해지게 된다. (!) $_\blacksquare$

 

 

이 문제로부터 알 수 있는 것은 다음과 같습니다.

 

첫째, 에너지는 양자화되어 있습니다. $E_n=\displaystyle\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2} \;\;\; (n\in\mathbb{N})$ 이라는 것은 $E_n\propto n^2$ 이라는 것이므로 $n=1,2,3 \cdots$ 으로 증가할 때마다 에너지는 $E_1=E$ 일 때 $E_2=4E,\, E_3=9E, \cdots$ 와 같이 변화합니다. 에너지는 연속적이지 않습니다.

 

둘째, 물질파는 정상파의 형태를 가지기 때문에 벽에서 마디를 갖는다는 것입니다.

 

셋째, 양자수가 계속해서 커져 무한에 가까워질수록 파동함수는 매우 빠르게 진동하여 확률밀도가 점점 일정한 값에 가까워지게 된다는 것입니다. 즉, 입자가 높은 양자수 상태에 있을수록, 입자는 상자 내에서 균일하게 분포하는 것처럼 보이게 된다는 것이지요. 이것을 양자역학의 고전역학과의 대응원리(Correspondence principle)이라고 부르며, $n$ 이 증가할수록 입자가 상자 내부의 어디에서나 발견될 확률이 균일해지며, 이는 고전적인 입자가 상자 안을 일정한 속도로 왕복운동하는 것과 일치한다는 뜻입니다. 불연속적인 양자효과는 상대적으로 미미해지고 연속적이고 부드러운 고전적 거동에 접근한다는 것입니다. 고전역학적으로 생각하면 에너지가 $E$ 인 입자가 이 무한 퍼텐셜 우물에 갇힌다면, 그냥 양쪽 벽에서 탄성충돌을 하며 일정한 속력으로 왕복운동을 하게 될 것이기 때문입니다. 이로써 모든 위치에서 평균적으로 보내는 시간이 같아지게 되겠지요.

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예제 4) 무한 퍼텐셜 우물에서 두 퍼텐셜 장벽이 $x< -\displaystyle\frac{a}{2}$ 와 $x > \displaystyle\frac{a}{2}$ 에 존재한다고 하자. 이때 고유함수와 에너지의 형태는 이전과 동일한가?

 

$$V(x)= \left\{ \begin{array}{cl} &\;0 &  \ \left(-\displaystyle \frac{a}{2} < x < \displaystyle \frac{a}{2}\right) \\ &\infty &  \ \mathrm{(otherwise)} \end{array} \right.$$

 

 

Sol) 고유함수는 $0< x< a$ 에 $V(x)=0$ 이었던 상황에서의 고유함수를 $x$ 축 방향으로 $-\displaystyle\frac{a}{2}$ 만큼 평행이동시키면 충분하다. 따라서 $n\in \mathbb{N}$ 에 대하여 고유함수는

 

$$\begin{align*} u_n(x)&=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi }{a}\left( x+\displaystyle \frac{a}{2} \right) \right)= \sqrt{\frac{2}{a}}\sin \left( \frac{n\pi x }{a}+\frac{n\pi }{2} \right)  \\\\&=\sqrt{\frac{2}{a}}\left\{ \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right)\cos \left( \frac{n\pi }{a} \right)+\cos \left( \frac{n\pi x}{a} \right)\sin \left( \frac{n\pi }{a} \right) \right\} \end{align*}$$

 

가 된다.$n\in \mathbb{N}$ 이므로 $n$ 은 짝수와 홀수일 때에 따라 항의 결과가 달라진다. $n$ 이 짝수인 경우 $\sin \left( \displaystyle\frac{n\pi }{2}\right)=0$ 이 되고, $n$ 이 홀수인 경우 $\cos \left( \displaystyle\frac{n\pi }{2}\right)=0$ 이 된다. 전자의 경우 고유함수의 중괄호에서 첫째 항이 살고, 후자의 경우 둘째 항이 살게 된다. 그렇지만 $k=\displaystyle\frac{n\pi }{a}$ 의 조건이 달라지지 않으므로 여전히 에너지는 $E_n=\displaystyle\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\;\;\; (n\in \mathbb{N})$ 으로 동일하게 주어진다.

 

$$u_n(x)= \left\{ \begin{array}{cl} & \displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}\cos\left( \displaystyle \frac{n\pi x}{a} \right)  & (n=1,3,5,\cdots)  \\ &\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \displaystyle \frac{n\pi x}{a} \right) &  (n=2,4,6,\cdots)  \end{array} \right.$$

 

그리고 검증삼아 경계조건 $u_n\left( \displaystyle \frac{a}{2} \right)=0$ 와 $u_n\left( -\displaystyle \frac{a}{2} \right)=0$ 를 적용하면 위 두 식은 이를 잘 만족함을 알 수 있다.

 

$$u_n\left( \displaystyle \frac{a}{2} \right)=0= \displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left( \displaystyle \frac{n\pi }{a}+\displaystyle \frac{n\pi }{a} \right)\displaystyle \Big|_{\frac{a}{2}}=\displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin (n\pi)=0$$

$$u_n\left( -\displaystyle \frac{a}{2} \right)=0= \displaystyle \sqrt{\frac{2}{a}}\sin 0 =0$$

 

참고로 해밀토니안과 퍼텐셜이 모두 패러티(parity) 연산자에 대칭성이 있는데, 우함수 꼴이기 때문이다. 이 경우 계가 패리티에 관한 대칭성이 있다고 말한다. 이때 바닥상태의 고유함수 또한 패리티에 관해 대칭성을 가지게 된다. 만일 계는 패리티 대칭성이 있지만 바닥상태의 고유함수는 그러하지 않은 경우 '자발 대칭성 꺠짐(Spontaneous symmetry breaking)'이 발생한다고 한다.

대표적으로 강자성체(Ferromagnetism)을 예시로 들 수 있다. 강자성체의 해밀토니안은 회전변환에 대해 불변(invariant) 이지만 바닥상태는 자기모멘트가 한 방향으로 정렬되어 있어서 회전에 대한 대칭성, 불변성을 만족하지 않으므로 이러한 대칭성이 깨져있다고 표현하는 것이다. $_\blacksquare$

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예제 5) 1차원 무한 퍼텐셜 상자에서 다음과 같이 $V(x)=0$ 인 구간을 $-\displaystyle \frac{L}{2}\leq x\leq \displaystyle \frac{L}{2}$ 로 바꾸어 고려하자. 마찬가지로 운동량의 불확정도 $\Delta p=\sqrt{\left\langle p^2 \right\rangle-\left\langle p \right\rangle^2}$ 를 계산해 보아라.

 

2015학년도 중등임용 물리(B) 8

 

 

Sol) 예제 3)에서와 같은 방식으로 답을 구하면 된다. 정답도 풀이 과정도 동일하다. 파동함수만 예제 4)에서의 그것으로 대체해서 사용해도 된다. $n$ 의 값이 홀수인지, 짝수인지에 따라 선택하는 파동함수가 다르니 운동량의 제곱 또는 운동량의 기댓값을 구할 때 다른 결과가 나올 것 같지만, 삼각함수의 배각공식을 사용하면 결국 $\sin^2t$ 이나 $\cos^2t$ 이나 $1-\cos^2(2t)$ 의 꼴이 되어 계산 값이 같아진다. $_\blacksquare$

 

 

 

1. 유한한 경우를 다룰 때의 식의 복잡성과 난이도가 훨씬 더 높습니다. [본문으로]
2. 퍼텐셜 장벽의 높이가 무한하므로, 입자의 에너지의 크기에 따른 분류는 거치지 않는다. [본문으로]