크래머 공식(Cramer's Rule)

행렬식은 치환, 여인수 전개, 사루스 공식 등을 이용해 구할 수 있다고 설명했었습니다. 그런데 행렬식이 연립방정식 $A\mathrm{x}=\mathrm{b}$를 해결할 때 $\mathrm{det}A\neq 0$이면 가역행렬에 관한 정리에 의해 방정식의 유일해가 존재함을 알고 있을 것입니다. 이러한 성질을 이용하여, $\mathrm{det}A\neq 0$ 일 때 방정식의 해를 행렬식 계산으로만 구할 수 있는 방법이 있습니다. 이것이 오늘 할 크래머,크라메르 공식 또는 규칙(Cramer's Rule) 입니다.

 

 

정리($L.A$) 3.3

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 을 $n$개의 미지수를 가진 $n$개의 연립방정식의 행렬표현이라 하자. 계수행렬의 행렬식 $\mathrm{det}A\neq 0$이면, 이 연립방정식은 유일해
$$x_k=\frac{\mathrm{det}M_k}{\mathrm{det}A}$$ 를 갖는다. $M_k$는 $A$의 $k(1\leq k\leq n)$열을 $\mathrm{b}$로 바꾸어 얻은 $b\times b$ 행렬이다.

 

증명) $\mathrm{det}A\neq 0$ 이면 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 는 유일해 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ 를 갖는다. 우선 $1\leq k\leq n$ 인 자연수 $k$에 대해 $a_k$를 $A$의 $k$열이라 하고, $X_k$를 항등행렬 $I_n$의 $k$열을 $\mathbf{x}$로 바꾸어 얻은 행렬이라 하자. 그러면 $n\times n$ 행렬 $AX_k$의 $i$열은 다음과 같다.

$$\left\{\begin{matrix}
\;\;i\neq k: Ae_i=a_i\;\;\;(=\mathrm{i^{th}\;row}) \\\\ 
i=k:A\mathbf{x}=\mathbf{b}
\end{matrix}\right.$$
고로 $AX_k=M_k$ 이다. 이 때 $X_k$를 $k$행에 대해 여인수 전개하면 $C_{kk}$를 제외하고는 영행이 존재하여 행렬식 계산시 0이 되므로 $\mathrm{det}(X_k)=x_k\mathrm{det}(I_n)=x_k$가 되어 

$$\mathrm{det}(M_k)=\mathrm{det}(AX_k)=\mathrm{det}(A)\cdot \mathrm{det}(X_k)=x_k\,\mathrm{det}(A)$$
$$\therefore \;\;x_k=\displaystyle\frac{\mathrm{det}M_k}{\mathrm{det}A}$$

 

이것은 각 해가 분모에 $\mathrm{det}A$를 포함하고 있기 때문에 $A$의 행렬식이 절대 0이 아닌 경우에만 사용할 수 있는 도구임을 명심해야 합니다. 이를 활용하면 아래와 같은 이원연립일차방정식

 

$$\left\{\begin{matrix}
a_1x+b_1y=c_1\\ 
a_2x+b_2y=c_2
\end{matrix}\right.$$

 

에 대하여 미지수 x,y의 값은 다음과 같음을 공식화 할 수 있게 됩니다.

 

$$x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}\;\;,\;\;y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

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예제 1) 크래머 공식을 이용하여 다음 연립방정식을 풀어라.

 

$$\left\{\begin{matrix}
x+2y+3z=2\\ 
x+\;\;\;\;\;\;\;z=3\\ 
x+y-z=1
\end{matrix}\right.$$

 

계수행렬이 $A=\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
1 &0  & 1\\ 
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$ 이고 $\mathrm{det}A=6\neq 0$ 이므로 크래머 공식을 사용할 수 있습니다.

 

$$x=\mathrm{det}\begin{pmatrix}
2 & 2 &3 \\ 
3 & 0 &1 \\ 
1 & 1 &-1 
\end{pmatrix}/\;6=\frac{5}{2}
\;\;,\;\;
x=\mathrm{det}\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
1 & 3 &1 \\ 
1 & 1 &-1 
\end{pmatrix}/\;6=-1
\;\;,\;\;
x=\mathrm{det}\begin{pmatrix}
1 & 2 &2 \\ 
1 & 0 &3 \\ 
1 & 1 &1 
\end{pmatrix}/\;6=\frac{1}{2}$$

$$\therefore\;\;\left ( x,y,z \right )=\left ( \frac{5}{2},-1,\frac{1}{2} \right )$$

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON