행렬식의 다중 선형성(n-linearity, multi linearity of determinants)

행렬식은 의외로 선형대수학의 중요한 주제이지만 선형성을 가지지는 않습니다. 그러나 선형성은 아니지만 선형과 유사한 성질을 가집니다. 이것은 저번 포스팅 도입부에서 짤막하게 이야기했었던 행렬식의 존재를 정의하는 3가지 특징 중 하나이기도 한데 오늘 그것을 다루어 보려고 합니다.

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1. 다중 선형성(n-linearity)

 

1) 행렬식과 선형성

 

행렬식이 선형성을 가지지 않는다는 것은 하나의 반례만으로도 보일 수 있습니다.

 

 

예제 1) 행렬 $A=\begin{pmatrix}
1 &2 \\ 
 3&4 
\end{pmatrix}\;\;,\;\;B=\begin{pmatrix}
3&5\\ 
 1&0 
\end{pmatrix}$ 에 대해 행렬식을 구하고 선형인지 확인해보아라.

 

 

행렬식의 값을 구하면 각각 $\mathrm{det}A=-2\;,\;\mathrm{det}B=-5$ 인데, 두 행렬의 덧셈의 행렬식은

 

$$A+B=\begin{pmatrix}
4 & 7\\ 
4 & 4
\end{pmatrix}\rightarrow \mathrm{det}(A+B)=-12\neq \mathrm{det}A+\mathrm{det}B$$

 

그리하여 행렬식은 선형함수가 아님을 알 수 있습니다. 그러나 선형과 비스무레한 성질은 가지고 있습니다. 다음 2),3)에 주목합시다.

 

 

2) 2차 정사각행렬

 

정리($L.A$) 3.1

2차 정사각행렬의 행렬식 $\mathrm{det} : M_2(F)\rightarrow F$는 행렬의 다른 행이 고정되어 있을 때, 각 행에 대하여 선형함수이다. 다시말해 $u,v,w\in F^2$과 $k\in F$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\mathrm{det}\begin{pmatrix}u+kv\\   
w  
\end{pmatrix}=\mathrm{det}\begin{pmatrix}  
u\\   
w  
\end{pmatrix}+k\,\mathrm{det}\begin{pmatrix}  
v\\   
w  
\end{pmatrix}$$

 

증명) $u=(a_1,a_2), v=(b_1,b_2), w=(c_1,c_2) \in F^2$ 과 스칼라 $k$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\begin{align*}

\mathrm{det}\begin{pmatrix}
u\\ 
w
\end{pmatrix}+k\,\mathrm{det}\begin{pmatrix}
v\\ 
w
\end{pmatrix}&=\mathrm{det}\begin{pmatrix}
a_1 &a_2 \\ 
c_1 & c_2
\end{pmatrix}+k\,\mathrm{det}\begin{pmatrix}
b_1 &b_2 \\ 
c_1 & c_2
\end{pmatrix}\\\\&=a_1c_2-a_2c_1+k(b_1c_2-b_2c_1)=(a_1+kb_1)c_2-(a_2+kb_2)c_1\\\\&=
\mathrm{det}\begin{pmatrix}
a_1+kb_1 & a_2+kb_2\\ 
c_1 &c_2 
\end{pmatrix}=\mathrm{det}\begin{pmatrix}
u+kv\\ 
w
\end{pmatrix}

\end{align*}$$

이 정리가 말해주는 것은 행렬식 자체는 선형함수가 아니지만, 2차 정사각행렬에서는 한 행을 고정했을 때 나머지 다른 행 안에 벡터와 스칼라의 덧셈이 선형성을 가진다는 것입니다. 즉 나머지 다른 행의 성분 속에 벡터 2개가 있다면 그 둘을 행렬식으로도 쪼갤 수 있다는 것이죠.

 

 

3) n차 정사각행렬

 

이러한 성질은 비단 $2\times 2$ 행렬 뿐만 아니라, 고차 정사각행렬의 행렬식에서도 성립합니다.

 

정리($L.A$) 3.2

$n$차 정사각행렬의 행렬식은 나머지 모든 행이 고정되어 있을 때 한 행은 선형성을 가진다. 즉 $1\leq r\leq n$인 $r$과 스칼라 $k\in F$, 행벡터 $a_i,u,v\in F^n$ 에 대하여 

$$\mathrm{det}\begin{bmatrix}
a_1\\ 
\vdots\\ 
a_{r-1}\\ 
u+kv\\ 
a_{r+1}\\ 
\vdots\\ 
a_n
\end{bmatrix}
=\mathrm{det}\begin{bmatrix}
a_1\\ 
\vdots\\ 
a_{r-1}\\ 
u+kv\\ 
a_{r+1}\\ 
\vdots\\ 
a_n
\end{bmatrix}
+k\,\mathrm{det}\begin{bmatrix}
a_1\\ 
\vdots\\ 
a_{r-1}\\ 
u+kv\\ 
a_{r+1}\\ 
\vdots\\ 
a_n
\end{bmatrix}$$

 

증명) $n=1$이면 $A$는 $1\times 1$ 행렬이므로 참이다.

$n\geq 2$일 때, 수학적 귀납법(Mathematical induction)을 이용해 증명하자.
임의의 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬의 행렬식이 다른 행이 고정되어 있을 때 각 행에 대하여 선형함수라 가정한다. $n\times n$ 행렬 $A$의 각 행을 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$이라 할 때 어떤 $r(1\leq r\leq n)$ 과 $u=(b_1,\cdots ,b_n)\in F^n$ 및 $v=(c_1,\cdots ,c_n)\in F^n$, 스칼라 $k$에 대하여 $a_r=u+kv$라 놓는다. $A$의 $r$행을 $u,v$로 바꾼 행렬을 각각 $B,C$라 할 때 $\mathrm{det}A=\mathrm{det}B+k\,\mathrm{det}C$ 를 보이자.

i) $r=1$ : $a_{11}=b_{11}+kc_{11}$ 가 성립해서 $\mathrm{det}A=\mathrm{det}B+k\,\mathrm{det}C $ 이다.

ii) $r\geq 2$ 이면, $1\leq j \leq n$ 에 대하여 $\tilde{A_{1j}},\tilde{B_{1j}},\tilde{C_{1j}}$ 는 $r-1$행을 제외한 나머지 모든 행이 같다. (Minor 행렬이 되면, 되기 전의 $r$행이 $r-1$행이 된다.)

* 이 부분은 자세히 설명한다. 행렬 $A$는

$$A=\begin{bmatrix}
a_1 &\cdots  & a_{ij} & \cdots\;\\ 
\vdots &\cdots &    &\cdots\; \\ 
a_{r-1} & \cdots &   &\cdots\; \\ 
u+kv  &\cdots & R  &\cdots\; \\ 
a_{r+1} &\cdots &   &\cdots\; \\ 
\vdots & \cdots &   &\cdots\;\\ 
a_n &\cdots & & \cdots\;
\end{bmatrix}$$
이다. $R$은 $r$행을 말한다. 그런데 Minor를 만들면 1행 j열을 제거했기 때문에 위에서 $R$이 포함된 열(=j열)과 1행이 사라진다. 그러면 $r$행은 다음과 같이 $r-1$행이 된다.

$$\tilde{A_{ij}}=\begin{bmatrix}
X &X  & X & & X\;\\ 
\vdots &\cdots & X   &\cdots\; \\ 
a_{r-1} & \cdots &  X &\cdots\; \\ 
u+kv  &\cdots & X &\cdots\; \\ 
a_{r+1} &\cdots & X  &\cdots\; \\ 
\vdots & \cdots &  X &\cdots\;\\ 
a_n &\cdots & X& \cdots\;
\end{bmatrix}$$
여기서 $X$ 표시는 행렬의 성분이 $X$라는 것이 아니라 없어진 행과 열을 강조하기 위해 나타낸 것이다. *

이 때 $\tilde{A_{ij}}$ 의 $r-1$행은

$$\begin{pmatrix} 
b_1+kc_1 & \cdots & b_{j-1}+k_{j-1} & b_{j+1}+kc_{j+1} & \cdots & b_n+kc_n 
\end{pmatrix}$$
이다. 즉 $\tilde{B_{ij}}$ 의 $r-1$ 행과 $\tilde{C_{ij}}$ 의 $r-1$ 행의 $k$배의 합과 같다. $\tilde{B_{ij}}$ 와 $\tilde{C_{ij}}$ 는 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 의하여

$$\mathrm{det}\tilde{A_{ij}}=\mathrm{det}\tilde{B_{ij}}+k\,\mathrm{det}\tilde{C_{ij}}$$
그리고 애초에 $B,C$가 $A$의 $r$행만 바꾼 행렬이니 $A_{1j}=B_{1j}=C_{1j}$ 이므로

$$\begin{align*}
\mathrm{det}A&=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}\cdot \mathrm{det}(\tilde{A_{ij}})\\\\
&=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}\cdot \left \{ \mathrm{det}(\tilde{B_{ij}})+k\,\mathrm{det}(\tilde{C_{ij}}) \right \}
\\\\&=\sum_{j=i}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}\cdot \mathrm{det}(\tilde{B_{ij}})
+\sum_{j=i}^{n}(-1)^{1+j}A_{1j}\cdot k\,\mathrm{det}(\tilde{C_{ij}})
\\\\&=\mathrm{det}B+k\,\mathrm{det}C
\end{align*}$$
즉 $n\times n$에 대한 행렬식의 다중 선형성이 성립하므로 수학적 귀납법에 의해 이 명제는 참이다.

 

솔직히 증명은 복잡하고, 행렬을 제가 중간에 그렸던 것처럼 손으로 직접 써가면서 충분한 시간을 투자해야 이해할 수 있을 겁니다. 그래도 제가 친절히 설명해서 써놨기 때문에 전공서적에 비해서는 원활하게 읽어내려갈 수 있을 거라 믿습니다..

 

보통 증명을 하는 일은 번거롭고 많은 사고력을 요하지만 행렬식의 다중 선형성은 앞으로의 행렬식의 특징들을 보이는데 전반적으로 널리 쓰이니, 한 번 정도는 집중해서 시도해보는 것을 권합니다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON