가역행렬과 가역성에 대한 모든 정리 (Invertibility of the matrix)

기본행렬과 소거법 누누이 언급했듯이 역행렬을 구하거나 우변이 0이 아닌 비동차 연립방정식의 해를 구하기 위한 것에 의의가 있다고 했습니다. 오늘은 드디어 가역성에 대한 논의를 끝내보려고 합니다.

 

행렬보다는 행렬식이 먼저 태동했고, 그것은 연립방정식을 잘 풀기 위한 도구를 찾기 위한 시도에서 시작되었습니다. 고민을 거듭하던 수학자들은 1개의 일차방정식 $ax=b$가 해를 가지기 위해서는 $x=b/a$로 쓸 수 있는 값이 존재해야 하고, 그것은 곧 미지수 $x$의 계수 $a$의 역원 $1/a$가 존재해야 한다는 사실을 깨닫게 됩니다. 똑같은 원리가 행렬로 표현된 연립방정식에서도 적용되어, $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 에서도 미지수 앞의 계수행렬 $A$의 역원 역할을 하는 무언가가 존재해야 해 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$가 존재한다는 원리를 얻게 되지요. 이 행렬의 역원 역할에 해당하는 것이 역행렬이고, 역행렬이 존재하면 가역이라고 합니다. 가역을 판단하는 데에는 크게 2가지 방법이 있습니다. 하나는 오늘 할 것처럼 기본 행 연산(행렬적 접근)이고 다른 하나는 행렬식입니다. 오늘은 전자를 파헤쳐 가역성에 대한 논의를 끝장내 보겠습니다.

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1. 역행렬과 가역의 뜻

 

1) 역행렬과 가역

 

$A\in M_n(F)$ 일 때, $AB=I_n=BA$ 인 행렬 $B\in M_n(F)$ 가 존재하면 $B$를 $A$의 역행렬이라 하며,

$A$는 가역(invertible)이라 하고 $B=A^{-1}\;,\;A=B^{-1}$ 로 표기한다.

 

역행렬에 대한 설명은 이미 했지만 다시 한번 정확하게 쓰고 가겠습니다. 여태까진 정사각행렬이 아닌 직사각행렬도 많이 다루었지만, 가역에 대한 논의는 오로지 정사각행렬에서만 합니다. 그것이 잘 표현되어 있음을 숙지하시기 바랍니다.

 

물론, 역행렬은 다음과 같이 단독으로 정의할 수 있습니다.

 

$A\in M_n(F)$ 에 대하여 다음을 $A$의 역행렬이라 정의한다.

$$A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{det}A}\left [ \,C_{ij}\, \right ]^T
=\frac{1}{\mathrm{det}A}\left [ \left ( -1 \right )^{i+j}\tilde{A_{ij}} \right ]^T$$

 

 

2) 첨가행렬(Augmented matrix)

 

가역성을 사다리꼴 행렬과 연관하기 위해선 첨가행렬의 개념이 필요합니다.

 

$m\times n$ 행렬 $A$와 $m\times p$ 행렬 $B$에 대하여 '첨가행렬/확대행렬(Augmented matrix)'는 $\left ( A\mid B \right )$ 로 표기하는 $m\times (n+p)$ 행렬 $\begin{pmatrix} 
A &B  
\end{pmatrix}$ 이다. 처음 $n$개의 열은 $A$의 열이고, 그 다음부터 $p$개의 열은 $B$의 열인 행렬이다.

 

첨가행렬은 그냥 서로 다른 두 행렬을 이어 붙여 하나의 행렬로 만든 것입니다. 탈착 전 후의 비교를 위해 보통 가로 짝대기를 그어줍니다.

$$A=\begin{pmatrix}
1 &3 \\ 
 7&4 
\end{pmatrix}\;,\;B=\begin{pmatrix}
6\\ 
9
\end{pmatrix}\;\;\rightarrow\;\;\begin{bmatrix}
A\mid B
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
\;1 & 3 & \\ 
\;7 & 4 & 
\end{matrix}\right|
\begin{matrix}
\;6\;\\ 
\;9\;
\end{matrix}
\end{bmatrix}$$

 

3) 첨가행렬을 이용한 가역성 정리

 

이제 마무리를 할 시간입니다. 가역성을 기약 행 사다리꼴과 첨가행렬을 모두 사용해 만들 수 있는 최종적인 정리입니다.

 

정리 ($L.A$) 2.17

$A\in M_n(F)$인 가역행렬 $A$에 대해, 첨가행렬 $\begin{bmatrix}
A\mid I_n
\end{bmatrix}$ 에 유한번의 기본 행 연산을 적용하여

$\begin{bmatrix}
I_n\mid A^{-1}
\end{bmatrix}$ 을 변형할 수 있으면 $A$는 가역이다. 곧, $\begin{bmatrix}
A\mid I_n
\end{bmatrix}$ 의 기약 행 사다리꼴이 $\begin{bmatrix}
C\mid D
\end{bmatrix}$

일 때, $C=I_n$ 일 때만 $A$는 가역이고 $D=A^{-1}$ 이다.

증명) $\begin{bmatrix} A\mid I_n \end{bmatrix}$ 의 기약 행 사다리꼴이 $\begin{bmatrix} C\mid D \end{bmatrix}$ 이면 둘은 행동치이므로 정리 ($L.A$) 2.16 에 의해 $$\begin{bmatrix} C\mid D \end{bmatrix}=P\begin{bmatrix} A\mid I_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} PA\mid PI_n \end{bmatrix}$$ 인 가역행렬 $P$가 존재한다. 그러면 $$PA=C\;,P=D$$ 가 성립한다.

i) $C=I_n$ 이면 $PA=I_n$ 으로부터 $P=A^{-1}$ 가 되고 $A$는 가역이라 $D=A^{-1}$도 가역이다.
ii) $C\neq I_n$ 이면 따름정리 ($L.A$) 2.16.1 에 의하여 $C$는 영행을 가진다. 이 때 $A$가 가역이라 가정하면 $PA$도 가역이라 영행이 없어야 하는데, 이는 $PA=C$ 에 모순이 되므로 $A$는 가역이 아니다.

 

 

아주 중요한 정리입니다. 기약 행 사다리꼴, 첨가행렬, 가역성, 기본 행 연산 등 여태까지 배웠던 모든 주제들이 점철되어 있습니다. 이 정리를 사용하면 임의의 정사각행렬 $A$의 가역성을 판단할 수 있고, 더욱 좋은 점은 $A$의 역행렬 $A^{-1}$까지 바로 얻을 수 있다는 것입니다! 그래서 행렬식을 알아야만 역행렬을 구할 수 있는 것이 아니라, 기약 행 사다리꼴을 기본 행 연산으로 변신시킬 수 있다면 역행렬을 구할 수 있습니다.

 

이 정리에 의하면 가역인 행렬 $A$를 항등행렬과 같이 첨가행렬로 만든 다음 유한번의 기본 행 연산을 통해 기약 행 사다리꼴로 바꾸면, $A$가 있던 자리에는 항등행렬이 생기고, 항등행렬이 있던 자리에는 $A^{-1}$이 남음을 알 수 있습니다.

 

$$\begin{bmatrix} 
A\mid I_n 
\end{bmatrix}\;\;\rightarrow\;\;\begin{bmatrix} 
I_n\mid A^{-1} 
\end{bmatrix}$$

 

이것이 실패하는 상황에 대해서는 다음과 같이 말할 수 있습니다.

 

따름정리 ($L.A$) 2.17.1

비가역인 행렬 $A\in M_n(F)$에 대해 첨가행렬 $\begin{bmatrix}
A\mid I_n
\end{bmatrix}$ 를 유한번의 기본 행 연산을 통해 기약 행

사다리꼴로 만들면, 절대로 $A$로부터 항등행렬 $I_n$을 얻을 수 없고, 따라서 첨가행렬$ \begin{bmatrix} 
I_n\mid A^{-1} 
\end{bmatrix}$ 을 얻는데 반

드시 실패한다. 역으로 첨가행렬 $\begin{bmatrix} 
A\mid I_n 
\end{bmatrix}$ 에 유한번의 기본 행 연산을 수행하여 $\begin{bmatrix} 
I_n\mid A^{-1} 
\end{bmatrix}$을 얻

는데 실패하면, $A$는 비가역이다.

 

즉, 두 정리가 선사하는 교훈은 기본 행 연산을 열심히 하라는 것입니다. 항등행렬을 얻는 과정 중간에 실패하면 비가역, 성공하면 가역이란 뜻입니다. 참고로 항등행렬을 얻는데 실패한다는 건, 기약 행 사다리꼴에 영행이 발생한다는 뜻입니다.

기본 행 연산을 수없이 반복해서 한 행렬을 변형해 나가는 과정에서 연산 하나 하나 자체의 난이도는 중학생도 거져먹기로 할 수 있을만큼 쉽습니다. 하지만 그런 연산을 여러번 연달아 하는 것은 상당히 귀찮습니다. 칼을 가는 노력으로 그러한 연산을 가벼운 것으로 치부하고 연습하지 않으면 선형대수학을 정복할 수 없습니다. 즉, 지금 배우고 있는 내용에 있어서는 개념 자체가 무진장 어려운 것은 없지만 연산과 관련된 수작업을 꼼꼼히 단련해야 한다는 것입니다. 예제를 한 번 풀어봅시다.

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예제 1) 행렬 $A=\begin{bmatrix}
0 & 2 &4 \\ 
2 & 4 &2 \\ 
3 & 3 & 1
\end{bmatrix}$ 의 가역성을 조사하고, 가역이면 역행렬을 구하라.

 

Sol)

$$\begin{bmatrix}
A \mid I_n
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
\; 0 & 2 &4\; \\ 
\; 2 &4  &2\; \\ 
\; 3 &3  &1\;
\end{matrix}\right| 
& \begin{matrix}
1 & 0 &0 \;\\ 
0 & 1 &0 \; \\ 
0 & 0 &1 \;
\end{matrix}\\ 
\end{bmatrix}$$

$$R_1\leftrightarrow R_2\;,\;\frac{1}{2}R_1\rightarrow R_1\;\;\Rightarrow \;\;
\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
\; 1 & 2 &1\; \\ 
\; 0 &2  &4\; \\ 
\; 3 &3  &1\;
\end{matrix}\right| 
& \begin{matrix}
0 & \frac{1}{2} &0 \;\\ 
1 & 0 &0 \; \\ 
0 & 0 &1 \;
\end{matrix}\\
\end{bmatrix}$$

$$ -3R_1+R_3\rightarrow R_3\;,\;-R_2+R_1\rightarrow R_1\;,\;\frac{1}{2}R_1 \rightarrow R_2\;\;\Rightarrow \;\begin{bmatrix} 
\left.\begin{matrix} 
\; 1 & 0 &-3\; \\  
\; 0 &1  &2\; \\  
\; 0 &-3  &-2\; 
\end{matrix}\right|  
& \begin{matrix} 
-1 & \frac{1}{2} &0 \;\\  
\frac{1}{2} & 0 &0 \; \\  
0 & -\frac{3}{2} &1 \; 
\end{matrix}\\ 
\end{bmatrix} $$

 

$$3R_2+R_3\rightarrow R_3\;,\;-2R_3+R_2 \rightarrow R_2\;\;\Rightarrow \;\;
\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
\; 1 & 0 &-3\; \\ 
\; 0 &1  &0\; \\ 
\; 0 &0 &1\;
\end{matrix}\right| 
& \begin{matrix}
-1 & \frac{1}{2} &0 \;\\ 
-\frac{1}{4} & \frac{3}{4} &-\frac{1}{2} \; \\ 
\frac{3}{8} & -\frac{3}{8} &\frac{1}{4} \;
\end{matrix}\\
\end{bmatrix}$$

 

$$R_3+R_1\rightarrow R_1\;\;\Rightarrow \;\;\Rightarrow \;\;
\begin{bmatrix}
\left.\begin{matrix}
\; 1 & 0 &0\; \\ 
\; 0 &1  &0\; \\ 
\; 0 &0 &1\;
\end{matrix}\right| 
& \begin{matrix}
\frac{1}{8} & -\frac{5}{8} &\frac{3}{4} \;\\ 
-\frac{1}{4} & \frac{3}{4} &-\frac{1}{2} \; \\ 
\frac{3}{8} & -\frac{3}{8} &\frac{1}{4} \;
\end{matrix}\\
\end{bmatrix}$$

 

따라서 $A$는 가역이고 $A^{-1}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{8} &-\frac{5}{8}  &\frac{3}{4} \\ \\
-\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2}\\\\
\frac{3}{8} & -\frac{3}{8} & \frac{1}{4}
\end{bmatrix}$ 이다.

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2. 정리

 

가역성에 관련된 모든 명제를 정리해 봅시다.

 

정리 ($L.A$) 2.18
 
행렬 $A\in M_n(F)$ 에 다음 명제들은 모두 동치이다.

① $\mathrm{det}A \neq 0$
② $A\in M_n(F)$, $A$의 기약 행 사다리꼴이 $I_n$ 이다.
③ $A$는 유한개의 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다. $A=E_s\;\cdots\;E_1$
④ $A\in M_n(F)$, $\begin{bmatrix} 
A\mid I_n 
\end{bmatrix}$ 에 기본 행 연산을 적용하여 $\begin{bmatrix}  
I_n \mid A  
\end{bmatrix}$ 을 얻을 수 있다.
⑤ $A\in M_n(F)$, $\mathrm{rank}(A)=n$
⑥ $A\in M_n(F)$, $\mathrm{nullity}(A)=0$
⑦ 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 의 해는 자명해 $\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 으로 유일하다.
⑧ 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 해는 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ 이다.
⑨ $A\in M_n(F)$, 기본 행 연산을 유한번 적용했을 때 $n$개의 $\mathrm{pivots}$의 $\mathrm{Full\;set}$를 만든다.
⑩ $A\in M_n(F)$, 행렬 $A$와 그것의 행 사다리꼴, 기약 행 사다리꼴이 모두 $n$개의 $\mathrm{pivot}$을 가진다.
+ $A\in M_n(F)$ 는 모든 행벡터끼리 선형독립이고 모든 열벡터끼리도 선형독립이다.

 

아직 다루지 않은 주제들에 대한 내용도 일부 포함되어 있지만, 대략 정리를 해보자면 위와 같습니다. 뒤에서 계속 지식의 범위를 확장시켜 나가면서 지금 당장 이해하지 못한 개념과 보완해야 할 내용을 추가해 보도록 합시다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON

선형대수학, 강경태 및 송석준 지음, 청문각