행 사다리꼴, 기약 행 사다리꼴 행렬 (Reduced Row-Echelon form)

이제부터 주어진 행렬을 서서히 기본 행 연산을 통해 변형시킬 것입니다. 변형의 목적은 역행렬을 구하거나 연립방정식의 해를 구하는 것에 있습니다. 저번 시간에 설명한 기본 행 연산은 중학생의 테크닉으로 풀었던 연립방정식과 근본적으로 동일하기 때문에, 주어진 연립방정식의 해를 손상시키지 않습니다. 마찬가지로 한 행렬에 기본 행 연산을 계속 적용을 하더라도 그 행렬의 근본적 특성인 랭크가 변하지 않으며, 연립방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 의 해도 달라지지 않습니다.

 

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1. 사다리꼴 행렬 (Echelon form matrix)

 

행렬 $B\in M_{m,n}(F)$ 에 대해 다음 세 조건을 고려하자.

① 영행이 있으면 그 행은 $B$의 맨 아래에 위치한다. (영행은 여러개여도 좋고 없어도 된다)

② 각 행에서 처음으로 0이 아닌 성분은 1이고, 그 1은 행의 번호가 커질수록 오른쪽에 놓인다.

③ 각 행에서 처음으로 0이 아닌 성분 1을 포함하는 열의 나머지 성분은 모두 0이다.

①, ② 를 만족하면 $B$를 '행사다리꼴(Row-echelon form, REF)'라 하고 ①, ②, ③ 을 모두 만족하는 $B$는 '기약 행 사다리꼴(Reduced Row-echelom form, RREF)'이라 한다.

* 각 행에서 처음으로 0이 아닌 성분은 'pivot' 또는 'leading entry'라고 한다.

 

사다리꼴이란 이름이 붙은 이유는 위 내용에 따라 변형하면 행렬 속에 0을 제외한 성분들이 만드는 모양이 사다리꼴과 비슷하기 때문입니다. 일단 ①의 내용은 영행이 존재할 때 영행의 위치를 가장 아래로 내려보내라는 것입니다. 이것은 단순히 행 교환이라는 연산을 하면 됩니다. 아래의 행렬 $B$는 ①을 만족하고 $C$는 ①을 만족하지 않는 행렬입니다.

 

$$B=\begin{pmatrix} 1 &4  &-2  &0 \\  0 & 0 &1  &-1 \\   0&0  & 0 &0  \end{pmatrix}\;\;,\;\;C=\begin{pmatrix} 1 &4  &-2  &7 \\  0 & 0 &0 &0\\   0&0  & 1 &0  \end{pmatrix}$$

 

다음으로 ②의 내용은 행에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 올 때는 그 숫자가 1이어야 하며, 아래쪽 행으로 갈수록 그 1이 우측에 놓여야 한다는 것입니다. 행렬 $D$는 2행의 첫 성분이 1이 아닌 2이므로 ②를 만족하지 않으며, $E$는 1행의 첫 성분이 4일 뿐만 아니라 아래로 갈수록 1이 우측에 놓여야 한다는 규칙을 어겼으니 ②를 만족하지 않습니다.

 

$$D=\begin{pmatrix} 1 &4  &-2  &7 \\  0 & 2 &1  &4 \\   0&0  & 1 &0  \end{pmatrix}\;\;,\;\;E=\begin{pmatrix} 0 &4  &-2  &7 \\  0 & 1 &0 &0\\   0&0  & 1 &0  \end{pmatrix}$$

 

①, ② 를 만족하면 행 사다리꼴이라고 합니다. 기약 행 사다리꼴은, 조건 ③까지를 만족해야 합니다. 여기서는 1을 포함한 열을 보았을 때 1을 제외한 모든 성분이 0이어야 한다는 것으로, 항등행렬을 떠올리면 좋습니다. 항등행렬은 항상 한 열에 1이 하나만 존재하고 나머지 성분은 모두 0이기 때문이죠. 아래의 행렬 $F,G$는 기약 행 사다리꼴 행렬입니다. 

 

$$F=\begin{pmatrix} 1 &4  &0  &7 \\  0 & 0 &1 &0\\   0&0  & 0 &0  \end{pmatrix}\;\;,\;\;G=\begin{pmatrix} 0 &1  &0  &7 \\  0 & 0 &1 &0\\   0&0  & 0 &0  \end{pmatrix}$$

 

당장은 행 사다리꼴과 기약 행 사다리꼴을 빨리 빨리 구분하기 어렵다 할지라도 뒤 내용을 계속 공부하다 보면 익숙해지니 너무 걱정할 필요는 없습니다. 수학에서 중요한 건 정의죠, 정의에 입각해서, 정의를 정확히 곱씹으며 기억하면 이미 반은 성공한 것입니다.

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2. 사다리꼴 행렬에 관한 정리

 

사다리꼴 행렬에 대한 개념 이해를 마쳤다면 이제 이를 활용하는 방법을 알아봅시다.

 

정리($L.A$) 2.14

영이 아닌 행렬 $A\in M_{m,n}(F)$ 는 유한 번의 기본 행 연산을 시행해서 $A$와 행동치인 기약 행 사다리꼴 $B\in M_{m,n}(F)$ 로 변형할 수 있다. 즉 $$B=E_s\;\cdots\;E_1A$$ 인 기약 행 사다리꼴 $B$와 $m$차 기본행렬 $E_1,\;\cdots\;,\;E_s$가 존재한다.

 

정리($L.A$) 2.11에 의하여 기본 행 연산을 수행하는 것이 기본행렬의 곱과 같은 결과를 야기함을 보였었습니다. 이 정리 또한 기약 행 사다리꼴을 제작하는 과정이 기본 행 연산을 유한 번 수행하는 것이기 때문에, 기본행렬을 유한 번 곱해도 기약 행 사다리꼴로의 변환이 가능함을 말하고 있는 것에 지나지 않습니다. 엄밀한 증명은 복잡하기에 생략하려 합니다. 수학과라면, 시도해보는 것을 추천합니다. (거의 모든 선형대수학 교재에 실려 있습니다.)

 

 

정리($L.A$) 2.15

$n$차 정사각행렬 $A\in M_n(F)$에 대해 다음은 동치다.

① $A$는 가역이다.
② $A$의 기약 행 사다리꼴은 $I_n$이다.
③ $A$는 유한 개 기본행렬의 곱이다.

 

증명) 

①$\rightarrow$② ) $A$의 기약 행 사다리꼴을 $B$라 하면 둘은 행동치이므로 정리($L.A$) 2.12 에 의하여 $B=E_s\;\cdots\;E_1A$ 를 만족하는 기본행렬 $E_s ,\;\cdots\;,\;E_1$들이 존재한다. 정리($L.A$) 2.13 에 의해 기본행렬들은 가역이고 그들의 곱도 가역이며 가정에서 $A$도 가역이므로, $B$도 가역이다. 그러니 $B$는 영행이 없는 기약 행 사다리꼴이므로 $B=I_n$이다.

②$\rightarrow$③ ) $A$의 기약 행 사다리꼴이 $I_n$이면 둘은 행동치므로 정리($L.A$) 2.11 에 의하여 $I_n=E_s\;\cdots\;E_1A$ 를 만족하는 기본행렬 $E_s ,\;\cdots\;,\;E_1$들이 존재한다. 정리($L.A$) 2.13 에 의해 기본행렬의 역행렬도 기본행렬이고, 가역이므로$A=\left ( E_s\;\cdots\;E_1 \right )^{-1}I_n=E_1^{-1}\;\cdots\;E_s^{-1}$ 이다. 곧 $A$는 유한개의 기본행렬의 곱이다.

③$\rightarrow$① ) $A$가 유한개의 기본행렬의 곱이라면 $A=E_1\;\cdots\;E_s$로 나타낼 수 있고 정리($L.A$) 2.13 에 의해 기본행렬들은 가역이니, 이들의 곱도 가역이고, 고로 $A$도 가역이다.

 

이 정리는 특히 정사각행렬에서 적용되는 것이므로 역행렬의 존재성에 관한 내용을 함의하기에 더욱 중요합니다. 이 포스팅에서 설명한 모든 정리 중 중요도로 따지면 으뜸인 것으로, 가역인 정사각행렬의 기약 행 사다리꼴이 항등행렬이라는 사실을 꼭 기억해야 합니다. 또한 정사각행렬에 대해서는, 어떤 기약 행 사다리꼴이 영행을 가지지 않는다면 반드시 항등행렬일 수 밖에 없다는 의미도 내포하고 있습니다.

 

 

정리($L.A$) 2.16

$A, B\in M_{m,n}(F)$ 에 대해 다음은 동치다. ^[각주:1]

① $A,B$는 행동치이다.
② $B=E_s\;\cdots\;E_1A$인 유한개의 $m$차 기본행렬 $E_1,\;\cdots\;,\;E_s$ 가 존재한다.
③ $B=PA$인 가역행렬 $P\in M_{m,n}(F)$ 가 존재한다.

 

증명)

①$\rightarrow$② ) 정리($L.A$) 2.12 에서 증명했다.

②$\rightarrow$③ ) $B=E_s \;\cdots\;E_1A$이면 정리($L.A$) 2.13 에 의해 $E_s ,\;\cdots\;,\;E_1$들이 모두 가역인데, 가역행렬들의 곱은 가역이므로 $P=E_s \;\cdots\;E_1$ 으로 두면 $P$도 가역이고 $B=PA$ 가 성립한다.

③$\rightarrow$① ) $B=PA$이고 $P\in M_m(F)$가 가역이면 정리($L.A$) 1.5 에 의하여 $P$는 유한개의 기본행렬의 곱이므로 $P=E_s\;\cdots\;E_1$ 이라 하면 $B=E_s\;\cdots\;E_1A$ 이므로 정리($L.A$) 2.11 에 의해 $A,B$는 행동치이다.

 

따름정리($L.A$) 2.16.1

$A\in M_n(F)$ 가 영행이나 영열을 갖는 행렬과 행동치이거나 열동치라면 $A$는 비가역이다.

 

증명) $A\in M_n(F)$가 영행을 갖는 행렬 $B\in M_n(F)$와 행동치라 가정하자. 정리 ($L.A$) 2.16 에 의하여 $B=PA$인 가역행렬 $P$가 존재한다. 여기서 $A$가 가역이라 가정하면 정리 ($L.A$) 2.12 에 의해 $B=E_s\;\cdots\;E_1A$ 이고 정리 ($L.A$) 2.15에 의해 $A$의 기약 행 사다리꼴은 $I_n=B$ 여야 한다. 이는 $B$가 영행을 가진다는 사실에 모순이므로, $A$는 비가역이다.

 

이로부터 알 수 있는 것은 기본행렬은 가역이기 때문에, $A$가 가역이면 $A$는 유한개의 기본행렬의 곱으로 나타낼 수 있고, 기약 행 사다리꼴로 바꿨을 때 항등행렬이 된다는 개념입니다. 사실상 여기까지 하게 되면 가역성에 대한 전반적인 논의가 끝난 것이고, 다음 포스팅에서 결과만을 모아 한눈에 알아볼 수 있도록 쉽게 정리할 것입니다. 여기에 나와있는 증명은 스스로 천천히 해보면서 논리를 익히는 것이 좋습니다. 충분히 숙달한 뒤 다음 이야기로 이동하시기 바랍니다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON

선형대수학, 강경태 및 송석준 지음, 청문각

 

 

 

1. $A$가 $n$차 정사각행렬임에 특히 주목. [본문으로]