1차원 슈뢰딩거 방정식 유도(1-dim Schrödinger equation)

파동함수의 식을 유도했으니, 이제 그 파동함수가 만족하는 미분방정식을 찾을 것이고 그것이 바로 슈뢰딩거 방정식입니다.

 

 

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1. 1차원 슈뢰딩거 방정식

 

1) 정의

 

정의($Q.M$) 1-3) 1st-dimension Schrodinger equation
1차원 슈뢰딩거 방정식은
$$i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(1-dim\;Scr\ddot{o}dinger \; eqaution)}$$ 으로 주어진다. 이때 파동함수는 다음과 같다.
$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$

 

흔히 고전역학에서 뉴턴의 제 2법칙인 $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ 에 대응되는 양자역학에서의 방정식이 이 슈뢰딩거 방정식이라고들 말합니다. 그런데 양자역학을 공부할 때 교과서에 따라서 슈뢰딩거 방정식을 정확히 유도하지 않는 경우가 있고, 그러면 마치 이 슈뢰딩거 방정식을 공리라고 착각할 수 있는데 전혀 사실이 아닙니다. 뉴턴의 운동방정식 또한 공리가 아닙니다. 힘이라는 물리량을 최초로 정의한 그는 실험을 통해 질량을 고정시켰을 때 힘을 세게 줄수록 가속도가 커졌고, 힘을 똑같이 주었을 때 질량이 작을수록 가속도가 크다는 경험적 실험 결과를 토대로 힘이라는 물리량을 정의한 것이고 비례량을 등식으로 바꾸기 위해 자신의 이름을 딴 단위 $\mathrm{N}$ 을 도입한 것이죠. 슈뢰딩거 방정식도 당연히 만족하는 자연계의 이치나 공리가 아니라, 파속의 개념으로부터 도입된 파동함수가 만족하는 미분방정식을 찾은 것에 해당합니다.

 

그러므로 왜 이 미분방정식, 그러니까 박스 안의 슈뢰딩거 방정식이 파동함수의 해가 되는지를 짚고 넘어가야 합니다. 그렇게 어려운 과정은 아니니 살펴봅시다.

 

 

2) 파동함수는 슈뢰딩거 방정식(미분방정식)을 만족하는 해이다.

 

슈뢰딩거 방정식에서 우리가 알고 있는 파동함수 식

 

$$\Psi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int\phi(p)e^{\displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}dp$$

 

을 대입했을 때 좌변과 우변이 같음을 보이면 됩니다. 좌변부터 보면,

 

$$\begin{align*}
i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}&=i\hbar \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)\frac{\partial }{\partial t}e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)} \right\}\\\\&=
\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\left\{ (i\hbar)\left( \frac{-i}{\hbar} \right) \int dp\,\phi(p)\cdot E
e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)} \right\}\\\\&=
\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)\left( \frac{p^2}{2m} \right) e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}+\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)V(x)e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)} \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(1)
\end{align*}$$

 

이 되지요. 이제 우변을 보면 파동함수를 위치에 대해 두 번 미분합니다.

 

$$\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=\left( \frac{i^2}{\hbar^2} \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}
\int dp\,\phi(p)\cdot p^2e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}$$

 

$$\begin{align*}
\Rightarrow &\;\;\;-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t)
\\\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)\left( \frac{p^2}{2m} \right) e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}+\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int dp\,\phi(p)V(x)e^{ \displaystyle \frac{i}{\hbar}\left( px-Et \right)}\;\;\;\;\;\cdots \;\;\;(2)
\end{align*}$$

 

간단하게 $(1)=(2)$ 이기 때문에, 슈뢰딩거 방정식이 완성됨을 알 수 있습니다. 즉 우리가 유도한 파동함수 식은 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 해입니다.

 

 

 

3) 슈뢰딩거 방정식을 유도한 것인가?

 

하지만 무언가의 부족함이 있다고 느껴질 수 있는데, 이것은 슈뢰딩거 방정식을 엄밀히 유도했다기보다는 완성된 슈뢰딩거 방정식의 좌변과 우변이 같다는 것을 확인하여 슈뢰딩거 방정식이 적절하다는 것을 점검한 것에 불과하기 때문입니다. 실제로 슈뢰딩거 방정식을 바닥부터 쌓아 올리기 위해서는 두 가지 개념이 사용됩니다. 첫번째는 고전역학에서 파동방정식

 

$$\frac{\partial ^2 y(x,t)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2y(x,t)}{\partial t^2}$$

 

입니다. 전자의 파동성을 기술하기 위해 파동의 성질로 말미암아 파동함수를 만들었다면, 파동방정식을 만족해야 한다는 아이디어입니다. 나머지 하나는 드브로이의 물질파

 

$$\lambda = \displaystyle\frac{h}{p}$$

 

에 해당합니다. 고전역학에서 파동의 파장은 플랑크 상수와 관련이 없지만, 미시세계에서 양자는 플랑크 상수와 운동량으로 파동을 결정할 수 있다는 개념이지요. 이 둘을 조화롭게 섞으면, 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있습니다. 우선 복잡성을 제거하기 위해 자유입자(free particle)을 대상으로, 파동함수를 간단히 코사인과 사인함수의 선형결합으로 놓습니다.^[각주:1] 이렇게 할 수 있는 근거가 고전역학에서 위의 파동방정식을 풀면 해가 코사인과 사인의 선형결합으로 나온다는 사실에 해당하는 것입니다.

 

$$\Psi(x,t)=A\cos (kx-\omega t)+B\sin (kx-\omega t) \;\;\;\;\;\cdots (1)$$

 

여기서 파수(wave number) $k$ 와 각진동수 $w$ 를 유심히 살펴봅시다. $k=\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}$ 로 정의되는데, 이때 파장값에는 고전역학과 달리 드 브로이의 물질파 식을 넣어야 합니다. 이로부터

 

$$p=\hbar k$$

 

의 식을 먼저 얻습니다. 또한 각진동수의 경우 그 정의는 $\omega = 2\pi f$ 인데, 진동수의 경우 고전역학에서와 달리 미시세계에서는 에너지를 결정하는 플랑크의 양자 가설 $E=hf$ 를 따라야 합니다. 결과적으로 볼 때 우리는

 

$$\begin{align*}
    E &= hf = \frac{h}{2\pi} 2\pi f = \hbar \omega \\\\
    p &= \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2\pi} \frac{2\pi}{\lambda} = \hbar k
\end{align*}$$

 

를 얻게 됩니다. 자유입자의 경우, 에너지는 $E=\displaystyle \frac{p^2}{2m}$ 을 만족하므로, 위 두 식을 연결하게 되면 에너지는

 

$$E=\hbar \omega = \frac{\hbar^2k^2}{2m}\;\;\;\;\;\cdots (2)$$

 

을 만족해야 합니다.

 

 

그렇다면 우리의 파동함수는 파동방정식을 만족시키면서도, 동시에 위의 물질파와 양자 가설 또한 충족시켜야 하는 임무를 가집니다. 일단, 위의 $(1)$ 을 만족시킬 수 있도록 우리의 파동함수를 몇 번 조작해 보려고 합니다. 파동함수를 두 번 미분해보면 상수로서 $-k^2$ 이 발생하게 되는데 이것을 이용하면

 

$$\begin{align*}
    -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi (x,t)}{\partial x^2} &= -\frac{\hbar^2}{2m} \left[ -k^2 A \cos(kx - \omega t) - k^2 B \sin(kx - \omega t) \right] \\\\
    &= \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \left[ A \cos(kx - \omega t) + B \sin(kx - \omega t) \right] \\\\
    &= \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \Psi (x,t)
\end{align*}$$

 

의 관계가 성립합니다. 정리하면

 

$$\begin{align}
    -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} &= C \hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}
\end{align}$$

 

를 얻는데, 여기 포함된 $C$ 는 나중에 $A,B$ 를 하나로 연결하기 위해 임시로 붙인 상수입니다. 이제 여기다 $(1)$ 을 대입하고 지저분한 계산을 마치면, $A=-C^2A$ 에서 $C=-i$ 를 얻고 $B=CA=Ai$ 를 얻습니다. 그리하여 최종적으로 얻는 방정식은

 

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}\;\;\;\;\;\cdots (3)$$

 

이것이 바로 자유입자에 관한 1차원 슈뢰딩거 방정식의 유도입니다. 마지막으로, 파동함수를 기술할 때는 오일러 공식

 

$$\begin{align*}
    e^{i\theta} &= \cos\theta + i\sin\theta \\\\
    e^{-i\theta} &= \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = \cos\theta - i\sin\theta
\end{align*}$$

 

을 사용해서 보다 간결하게

 

$$\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} = A e^{ikx} e^{-i\omega t}$$

 

와 같이 적는 것이 선호됩니다.

 

 

 

4) 퍼텐셜을 넣어 완성시킨다.

 

자유입자가 아닌 경우 우리는 단순히 좌변에 $V(x)\Psi(x,t)$ 를 추가시켜 슈뢰딩거 방정식을 완성합니다.

 

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}\;\;\;\;\; \cdots (4)$$

 

엄밀하게 말하자면, 이때 따져야 할 것은 당연히 도대체 왜 퍼텐셜 항에 해당하는 $V(x)\Psi(x,t)$ 가 우변에 추가되지 않고, 우변의 $t$ 와 무관하게 추가되며, 좌변의 $\Psi(x,t)$ 의 이계도함수 항에 추가되지 않는 것에 관한 것입니다. 이 까닭은 그것이 고전역학에서 역학적 에너지

 

$$E=K+U$$

 

와 매끄럽게 이어질 수 있게 함입니다. 즉, 미시세계에서 양자의 에너지를 따질 때도 양자는 움직일 수 있으니 운동에너지를 가질 것이고, 자체로 퍼텐셜 에너지를 가지고 있을 것이니, 분명 운동에너지와 퍼텐셜에너지가 존재하고 거기에 더해 그 두 에너지의 합을 총 에너지로 기술할 수 있을 것이라는 사고에서 비롯되었다고 볼 수 있습니다. 그러니, 퍼텐셜 에너지 항이 저렇게 더해지는 이유를 먼저 설명하기보다 일단 저 식 $(4)$ 가 맞다고 가정을 한 뒤에 그것이 고전역학에서 역학적 에너지의 해석과 매끄럽게 이어질 수 있다는 것을 보이려고 합니다. 자유입자의 파동함수를 $\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} = A e^{ikx} e^{-i\omega t}$ 와 같이 기술한 다음 자유입자의 슈뢰딩거 방정식 $(3)$ 에 대입해줍니다.

 

$$\begin{align*}
    -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} &= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( A e^{ikx} e^{-i\omega t} \right) \\\\
    &= -\frac{\hbar^2}{2m} (ik)^2 \left( A e^{ikx} e^{-i\omega t} \right) \\\\
    &= \frac{\hbar^2 k^2}{2m} \Psi(x,t) \\\\
    i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} &= i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left( A e^{ikx} e^{-i\omega t} \right) \\\\
    &= i\hbar (-i\omega) \left( A e^{ikx} e^{-i\omega t} \right) \\\\
    &= \hbar\omega \Psi(x,t)
\end{align*}$$

 

이렇게 되면 좌변에서 $(\hbar^2k^2/2m)\Psi(x,t) = (p^2/2m)\Psi(x,t)=K\Psi$ 를 얻을 수 있고, 우변에서 $i\hbar\displaystyle\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\hbar\omega \Psi = E\Psi$ 를 얻습니다. 따라서, 우변과 좌변을 비교하면 자유입자(퍼텐셜이 0인 상태)에서는 $E=K$ 가 되는 셈이므로, 만일 퍼텐셜을 추가하고 싶으면 결과식이 $E=K+V$ 가 나오게 하기 위해서 $V(x)$ 를 자유입자의 슈뢰딩거 방정식 $(3)$ 에 넣을 때 $(4)$ 와 같이 넣어야 적절하다는 참된 결론을 얻습니다. 이렇게 증명을 마칠 수 있습니다.

 

 

 

파동함수가 선형이기 때문에, 슈뢰딩거 방정식도 선형 미분방정식입니다. 선형인 미분방정식은 푸는 방법이 비선형에 비해서는 잘 알려져 있으며, 앞으로 퍼텐셜 $V(x)$ 자리에 어떤 대상이 들어가느냐에 따라 여러가지 슈뢰딩거 방정식이 등장하고, 그것을 풀어 해를 구하는 과정을 겪게 될 것입니다. 사실 정확한 해를 완성시킬 수 있는 퍼텐셜의 종류가 흔하지는 않습니다. 그래도 그것들을 바탕으로 확장하여 복잡한 문제들을 해결하거나 고차원의 모델에서 해를 예상해볼 수 있기 때문에 다음 시간부터 등장할 여러 종류의 퍼텐셜에 관한 슈뢰딩거 방정식을 푸는 작업을 튼튼히 단련해 두어야 합니다.

 

 

 

[참고문헌]

Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

1. 여기서 복소 지수 함수로 시작하면 안될 이유가 있지는 않습니다. 하지만 그렇게 하지 않는 까닭은, 고전역학에서 파동방정식을 기술할 때 으레 사인이나 코사인을 사용하기 때문입니다. 고전적으로 파동을 기술할 때, 복소수가 필요 없었기 때문이죠. [본문으로]