코시 오일러 방정식을 변수치환을 이용하여 풀기 (Find the solution of Cauchy-Euler Differential Equation by using substitution of variable)

코시-오일러 방정식은 복잡한 2계 미분방정식의 멱급수 해를 찾기 위한 프로베니우스 방법을 꺼내들 때 빼놓을 수 없는 대장 미분방정식입니다. 그 형태 또한 가만 보아도 특별한 꼴을 지니고 있으며 계수가 $x$에 관한 식으로 구성된 모든 2계 미분방정식의 풀이를 위해 존재한다고 해도 과언이 아닌 특별한 방정식이라 할 수 있습니다.

 

일반적으로 코시-오일러 미분방정식의 풀이는 두 가지 종류로 구분해 볼 수 있는데, 하나는 풀기가 쉬운 계수가 상수인 2계 미분방정식으로 바꾸어 풀어내는 방법이고, 나머지 방법은 $x^r$ 꼴의 해를 가정해서 풀어보는 것입니다. 후자의 방법은 다음 글에서 진행할 것이고 일반적인 미분방정식의 급수해 형태를 제작하는데 밑거름이 됩니다.

---

1. 변수치환을 이용하여 풀기

 

$n$계 '코시-오일러 미분방정식(Cauchy-Euler differential equation)'은 미분방정식
$$a_nx^ny^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_0y(x)=f(x)$$ 을 말한다. 대응되는 2계 미분방정식은 아래와 같다.
$$a_2x^2y''+a_1xy'+a_0y=f(x)$$

 

코시-오일러 미분방정식은 $y^{(n)}$ 에 $x^n$ 이 추가로 붙은 형태를 지니고 있습니다. 그러면 직관적으로 $x^r\;\;(r\in\mathbb{R})$ 꼴의 해를 지닐 것이라 예상할 수 있습니다. 실제로 그러하고, 이렇게 푸는 방법이 다음 시간에 할 일입니다. 오늘은 위 방정식의 형태에서 계수를 모두 상수로 바꾸는 작업을 할 것입니다.

 

정리($D.E$) 3.3
2계 코시-오일러 방정식
$$a_2x^2y''+a_1xy'+a_0y=f(x)\;\;\;\cdots \;\;(1)$$ 에서 $x=e^z\;\;\Leftrightarrow \;\;z=\ln x$ 의 변수치환을 고려하자. 그러면 이 방정식은
$$a_2y''(z)+(a_1-a_2)y'(z)+a_0y(z)=f(e^z)\;\;\;\cdots \;\;(2)$$ 와 같은 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식으로 바뀐다. 여기서 $y$는 적힌 것과 같이 $z$에 대한 함수이며, 해는 $y=y(z)$를 구하고 다시 $z$의 식을 변수치환을 통해 $x$로 바꾼다.

 

증명) $x=e^z\;\;\Leftrightarrow \;\;z=\ln x$ 의 변수치환을 시행하면 다음이 성립한다.

$$\frac{d}{dx}=\frac{d}{dz}\frac{dz}{dx}=\frac{1}{x}\frac{d}{dz}\;\;\rightarrow\;\;x\frac{d}{dx}=\frac{d}{dz}$$
$$\rightarrow\;\;
\frac{d^2}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left ( \frac{1}{x}\frac{d}{dz} \right )=-\frac{1}{x^2}\frac{d}{dz}+\left ( \frac{1}{x} \right )\frac{d^2}{dz^2}$$
$$\therefore\;\; x^2\frac{d}{dx^2}=\frac{d^2}{dz^2}-\frac{d}{dz}$$

이것을 주어진 미분방정식 $(1)$에 대입하면, 계수가 모두 상수로 바뀌어 $(2)$를 얻는다.

 

계수가 상수인 2계 선형 미분방정식은 정석 풀이법이 존재하며 이 규칙을 따르기만 하면 해법을 찾는 것이 쉽습니다. 이러한 방식으로 코시-오일러 방정식을 해결하는 것은 매우 간편합니다.

 

---

 

예제 1) 코시-오일러 미분방정식 $x^2y''+3xy'-3y=0$ 의 일반해를 구하여라.

 

 

sol) 위 정리에 따르면, 계수가 상수인 미분방정식으로 바꿀 땐 첫 항과 셋째 항의 계수는 그대로 두고 둘째 항의 계수만 (둘째 항 계수 - 첫째 항 계수) 로 수정해 주어야 합니다. 3-1=2 이므로 수정된 방정식은

$$y''+2y'-3y=0\;\;\Rightarrow\;\; (D+3)(D-1)y=0$$

$$\therefore \;\; y=y(z)=Ae^{z}+Be^{-3z}$$

 

다시 $z=\ln x$ 를 이용해 바꾸어주면 일반해는

 

$$y=y(x)=Ax+Bx^{-3}$$

---

예제 2) 방정식 $x^2y''+7xy+9y=0$ 의 해를 구하여라.

 

계수를 상수로 바꾸면

 

$$y''+6y'+9y=0=(D+3)^2y \;\; \Rightarrow\;\; y=(Az+B)e^{-3z}=(A\ln x+B)x^{-3}$$

 

---

 

예제 3) 방정식 $x^2y''+xy'-16y=8x^4$ 의 해를 구하여라.

 

 

계수를 상수로 바꾸면

 

$$y''-16y=(D+4)(D-4)=8e^{4z}$$

 

가 되겠죠. 이번엔 비동차니까, 보조해와 특별해를 따로 구해야 합니다. 먼저 보조해는 동차 방정식의 근이므로

 

$$y_c=Ae^{4z}+Be^{-4z}$$

 

특수해는 $y_p=ze^{4z}=x^4\ln x$ 으로 놓고 두 번 미분해 $y''=4e^{4z}(4z+2)k$ 를 구한 뒤 대입하면

 

$$ke^{4z}\left ( 16z+8-16z \right )\;\;,\;\;8ke^{4z}=8e^{4z}\;\;,\;\;k=1$$

 

특수해를 구했으므로 일반해를 쓰면

 

$$y=Ax^4+Bx^{-4}+x^4\ln x$$

 

 

 

[참고문헌]

Mary L. Boas, Mathematical Methods in the physical sciences, 3e