코시-오일러 방정식은 복잡한 2계 미분방정식의 멱급수 해를 찾기 위한 프로베니우스 방법을 꺼내들 때 빼놓을 수 없는 대장 미분방정식입니다. 그 형태 또한 가만 보아도 특별한 꼴을 지니고 있으며 계수가 x에 관한 식으로 구성된 모든 2계 미분방정식의 풀이를 위해 존재한다고 해도 과언이 아닌 특별한 방정식이라 할 수 있습니다.
일반적으로 코시-오일러 미분방정식의 풀이는 두 가지 종류로 구분해 볼 수 있는데, 하나는 풀기가 쉬운 계수가 상수인 2계 미분방정식으로 바꾸어 풀어내는 방법이고, 나머지 방법은 xr 꼴의 해를 가정해서 풀어보는 것입니다. 후자의 방법은 다음 글에서 진행할 것이고 일반적인 미분방정식의 급수해 형태를 제작하는데 밑거름이 됩니다.
1. 변수치환을 이용하여 풀기
n계 '코시-오일러 미분방정식(Cauchy-Euler differential equation)'은 미분방정식
anxny(n)(x)+an−1xn−1y(n−1)(x)+⋯+a0y(x)=f(x) 을 말한다. 대응되는 2계 미분방정식은 아래와 같다.
a2x2y″+a1xy′+a0y=f(x)
코시-오일러 미분방정식은 y(n) 에 xn 이 추가로 붙은 형태를 지니고 있습니다. 그러면 직관적으로 xr(r∈R) 꼴의 해를 지닐 것이라 예상할 수 있습니다. 실제로 그러하고, 이렇게 푸는 방법이 다음 시간에 할 일입니다. 오늘은 위 방정식의 형태에서 계수를 모두 상수로 바꾸는 작업을 할 것입니다.
정리(D.E) 3.3
2계 코시-오일러 방정식
a2x2y″+a1xy′+a0y=f(x)⋯(1) 에서 x=ez⇔z=lnx 의 변수치환을 고려하자. 그러면 이 방정식은
a2y″(z)+(a1−a2)y′(z)+a0y(z)=f(ez)⋯(2) 와 같은 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식으로 바뀐다. 여기서 y는 적힌 것과 같이 z에 대한 함수이며, 해는 y=y(z)를 구하고 다시 z의 식을 변수치환을 통해 x로 바꾼다.
증명) x=ez⇔z=lnx 의 변수치환을 시행하면 다음이 성립한다.
ddx=ddzdzdx=1xddz→xddx=ddz
→d2dx2=ddx(1xddz)=−1x2ddz+(1x)d2dz2
∴x2ddx2=d2dz2−ddz
이것을 주어진 미분방정식 (1)에 대입하면, 계수가 모두 상수로 바뀌어 (2)를 얻는다.
계수가 상수인 2계 선형 미분방정식은 정석 풀이법이 존재하며 이 규칙을 따르기만 하면 해법을 찾는 것이 쉽습니다. 이러한 방식으로 코시-오일러 방정식을 해결하는 것은 매우 간편합니다.
예제 1) 코시-오일러 미분방정식 x2y″+3xy′−3y=0 의 일반해를 구하여라.
sol) 위 정리에 따르면, 계수가 상수인 미분방정식으로 바꿀 땐 첫 항과 셋째 항의 계수는 그대로 두고 둘째 항의 계수만 (둘째 항 계수 - 첫째 항 계수) 로 수정해 주어야 합니다. 3-1=2 이므로 수정된 방정식은
y″+2y′−3y=0⇒(D+3)(D−1)y=0
∴y=y(z)=Aez+Be−3z
다시 z=lnx 를 이용해 바꾸어주면 일반해는
y=y(x)=Ax+Bx−3
예제 2) 방정식 x2y″+7xy+9y=0 의 해를 구하여라.
계수를 상수로 바꾸면
y″+6y′+9y=0=(D+3)2y⇒y=(Az+B)e−3z=(Alnx+B)x−3
예제 3) 방정식 x2y″+xy′−16y=8x4 의 해를 구하여라.
계수를 상수로 바꾸면
y″−16y=(D+4)(D−4)=8e4z
가 되겠죠. 이번엔 비동차니까, 보조해와 특별해를 따로 구해야 합니다. 먼저 보조해는 동차 방정식의 근이므로
yc=Ae4z+Be−4z
특수해는 yp=ze4z=x4lnx 으로 놓고 두 번 미분해 y″=4e4z(4z+2)k 를 구한 뒤 대입하면
ke4z(16z+8−16z),8ke4z=8e4z,k=1
특수해를 구했으므로 일반해를 쓰면
y=Ax4+Bx−4+x4lnx
[참고문헌]
Mary L. Boas, Mathematical Methods in the physical sciences, 3e
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