이제 프로베니우스 방법을 적용해 2계 미분방정식의 급수해를 획득해 볼 차례입니다. 급수 형태의 해는 멱급수이고, 멱급수는 언제나 중심이 중요합니다. 이번에는 정상점 근방에서의 급수해를 만들어 볼 것이고 이것의 특징을 분석하려 합니다.
예제 1) 미분방정식$$y''+y=0\;\;,\;\;(x\in \mathbb{R})$$의 급수해를 구하여라.
sol) $P(x)=1\;,\;Q(x)=0\;,\;R(x)=1$ 이므로, $P(x)\neq 0$ 을 만드는 점 $x$는 존재하지 않습니다. 따라서 모든 실수 $x$가 정상점입니다. 어느 점을 중심으로 해서 멱급수를 전개하던지 상관이 없다는 것인데 간단하게 $x=x_0=0$ 을 고려하겠습니다. 그러면 우리가 상정할 급수의 형태는
$$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n+\cdots \;\;\;\;\;\cdots \;\;(1)$$
꼴입니다.
여기서 두 가지 설명을 하고 넘어가겠습니다.
첫째, 프로베니우스 방법을 포스팅 할 때 상정할 급수해의 꼴에서는 분명 위 식 $(1)$에 추가로 $x^r$ 이 붙어있었을 겁니다. 여기서 없는 까닭은 그것이 필요하지 않기 때문입니다. 달리 말하자면 $r=0$인 것이라 할 수 있겠죠. 왜 여기서는 필요 없는지 당장은 알 필요가 없습니다. 원래, 간단한 급수꼴은 $x^r$이 붙지 않은 $(1)$의 꼴인데, 특정한 상황에서는 지표 $x^r$이 필요하여 중대한 역할을 한다고 생각하면 되고, 그 경우는 추후에 정칙 특이점 근방에서의 급수해 전개를 할 때 알려드립니다.
두번째, 급수 꼴을 위와 같이 상정한 다음 이 급수가 어떤 구간에서 수렴하는지를 찾아야 하는 것이 아닌가 하는 의문이 들 수 있습니다. 일단 그것은 답을 구한 다음, 수렴 판정법을 찾아서 알아보면 됩니다. 지금은 간단히 $\left | x \right |<\rho$ 인 구간에서 수렴한다고 가정을 해두고 출발하면 되겠죠. 어차피, 급수해가 지금 당장 존재할 것이라는 보장도 되어있는 것이 아니고, 내가 이 급수 형태의 해가 존재한다 가정을 출발하여 직접 풀어보는 것임을 다시금 기억해 두시기 바랍니다.
그렇다면 미분방정식에 $y''$ 도 있으니 식 $(1)$을 두 번 미분하여 이를 구합니다.
$$y'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} $$
$$y''=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}$$
그 다음 대입하면, 주어진 미분방정식은 다음과 같이 변합니다.
$$\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_nx^{n-2}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0\;\;\;\cdots \;\;(2)$$
자, 여기서부터가 핵심입니다. 위 등식은 우변이 0이므로, 좌변도 0이 나와야 합니다. 근데 좌변을 천천히 전개해보면 $x$의 멱수들 즉 $x^n$ 들이 등장하므로 위 등식이 만족되려면 $x=0$ 이거나 $x^n$ 들의 계수가 0이어야 합니다. 그런데, $x=0$ 이면 $y=0$이 되고 이건 자명해(Trivial solution)이니, 당연히 내가 원하는 미분방정식의 해가 아니겠죠? 따라서 결론은 $x^n$들의 계수를 몽땅 0으로 만들어야 한다는 답이 나옵니다. 이 작업을 하려면 그냥 나열해서 하는 것도 좋겠지만, 아래와 같이 시그마의 시작과 항의 넘버를 바꾸어 (dummy index 를 수정) 피시그마 부분에서 $x^n$ 으로 $x$의 차수를 맞추어 줍니다.
$$\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}\,x^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=0\;\;\;\cdots \;\;(3)$$$$\sum_{n=0}^{\infty}\left \{ (n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n \right \}x^n=0\;\;\;\cdots \;\;(4)$$
이 방법이 낯설다면, 박스를 참고합시다. 고등수학에서 배우는 내용이고 정적분 바꿀 때랑 똑같이 하면 됩니다.
시그마에서 위끝과 아래끝을 조작하면 일반항도 바뀐다. 그 부호는 반대이다, 즉
$$\sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=m+1}^{n+m}a_{k-m}$$
$(3)$과 같이 바꾸면 피시그마의 $x^n$ 차수도 맞춰지고 시그마의 아래끝도 일치해지니 여러모로 좋습니다. 아무튼 그러면 계수가 0이 되어야 하므로,
$$(n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n=0$$$$\Rightarrow\;\; a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}\;\;\;(n=0,1,2,\cdots) \;\;\;\cdots \;\;(5)$$
를 얻습니다. 위 식을 '점화식' 또는 '점화관계(Recurrence relation)' 이라 부릅니다. 고등학교 수열 단원에서 등장했던 그 점화식이랑 똑같은 의미입니다. 이 때 $n$ 은 0을 포함한 양의 정수이며, 시그마의 구간에서 비롯된 것입니다. 이 식을 이용하면 계속해서 계수들을 유추해 나갈 수 있겠지요? 2칸씩 뛰어넘어가니, 짝수는 짝수끼리 홀수는 홀수끼리 묶일 것이고 그 값은 가장 첫 항인 $a_0$와 $a_1$ 에 의존할 것입니다.
i) $n$ 이 0 또는 짝수인 경우
$$a_2=-\frac{a_0}{2\cdot 1}=-\frac{a_0}{2!}\;\;,\;\; a_4=-\frac{a_2}{4\cdot 3}=\frac{a_0}{4!}\;\;,\;\;a_6=-\frac{a_4}{6\cdot 5}=-\frac{a_0}{6!}\;\;,\;\;\cdots$$
$$\therefore \;\; a_n=a_{2k}=\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,a_0$$
예상과 같이 $n=2k$ 로 짝수일 때는 $a_0$만 구하면 그 뒤 항들을 점화식으로 모두 계산 가능합니다.
ii) $n$ 이 홀수인 경우
$$a_3=-\frac{a_1}{2\cdot 3}=-\frac{a_1}{3!}\;\;,\;\; a_5=-\frac{a_3}{5\cdot 4}=\frac{a_1}{5!}\;\;,\;\;a_7=-\frac{a_5}{7\cdot 6}=-\frac{a_1}{7!}\;\;,\;\;\cdots $$
$$\therefore \;\; a_n=a_{2k+1}=\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,a_1$$
$n=2k+1$ 로 홀수일 때는 $a_1$만 구하면 역시 뒤 항들을 점화식으로 계산할 수 있습니다.
i), ii) 의 결과를 식 $(1)$ 에 넣어줍니다.
\begin{align*}
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n &=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n+\cdots \\\\& = a_0+a_1x-\frac{a_0}{2!}x^2-\frac{a_1}{3!}x^3+\frac{a_0}{4!}x^4+\frac{a_1}{5!}x^5 - \cdots +\frac{(-1)^na_0}{(2n)!}\,x^{2n} +\frac{(-1)^na_1}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}
+\cdots \\\\&= a_0\left \{ 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}- \cdots +\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots \right \}
\\\\&+a_1\left \{ x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}+\cdots \right \}
\\\\&=a_0\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+a_1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}
\\\\&= a_0\sin x+a_1\cos x
\end{align*}
그러니 이 방정식의 기저 역할을 하는 기본해는 $\sin x$ 와 $\cos x$ 입니다. 이것이 어떻게 기저 역할을 하는지는 간단히 론스키안을 쓰면 되겠지만 굳이 그럴 필요 없이 사인과 코사인은 일차독립인 벡터(함수)이기에 직관적으로 이들의 선형결합이 해공간을 나타낼 수 있음을 알 수 있을 겁니다. 계수 $a_0,a_1$ 은 초기조건으로 정해지게 됩니다.
$$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0\sin x+a_1\cos x=a_0y_1(x)+a_1y_2(x)$$
급수해만의 특성을 뽑아보자면 위 해는 $x=0$ 근방에서 전개했다는 특징을 가지기에 저차항들은 $x=0$ 근방에서 위력이 크고, $n$의 값이 커질수록 뒤에 붙는 고차항들은 $x=0$에서 먼 $x$값 부분에서 $\sin x\;,\;\cos x$ 를 근사시키는데 위력을 발휘합니다. 다시 말해 만약 급수해의 2~3번째 항까지만 끊어서 근사를 시키면, 이 멱급수 해는 $x$값이 $x=0$ 에서 먼 부분은 오차가 커지니 제대로 의미를 나타내지 못할 수도 있다는 겁니다. 이러한 특징은 테일러 급수의 테일러 다항식을 통한 근사 과정과 매우 유사하게 생각하면 됩니다.
[참고문헌]
Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY
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