[주의] 이번 포스팅을 읽기 전에 테일러 급수, 해석함수, 프로베니우스의 방법, 정상점과 특이점에 관한 개념을 반드시 숙지해야 합니다.
급수해를 이용하여 미분방정식을 몇가지 풀어봤습니다. 이제, 정상점과 특이점을 알았고 정상점 및 정칙 특이점에서만 프로베니우스 방법을 사용하는 것이 가능하다는 사실에 관한 정리를 소개할 것입니다. 참고로, 오늘 내용은 꽤나 어렵기 때문에, 수학과를 제외한 자대, 그리고 공대생 학도들이면 이렇게까지 심도있게 파헤치지 않아도 됨을 미리 발설하겠습니다.
1. 테일러 전개
$P,Q,R$ 이 다항함수일 때, 2계 선형 동차 미분방정식
$$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\;\;\;\cdots \;\;(1)$$
의 해를 급수형태로 찾는다고 해봅시다. 그 급수는 정상점 $x=x_0$ 중심에서 전개되었다고 할 것인데, 여기서 이 급수가 어떤 함수 $h(x)$의 테일러 급수 형태로 나타난다고 가정을 해볼 것입니다. 여기서 $h(x)$가 테일러 급수 형태로 나타난다는 것은 적어도 무한번 미분가능하다는 것을 내포하고 있음을 기억합시다.
$$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left ( x-x_0 \right )^n\;\;\;\cdots \;\;(2)$$
($h(x)$ 는 일반적인 $y=h(x)$와 같은 $x$에 관한 함수 $y$ 를 뜻하는 것이 아니고 $x$로 이루어진 어떤 함수식이며, $y$는 미분방정식의 해입니다. 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.)
식 $(2)$가 미분방정식 $(1)$의 해라고 가정했기 때문에, 식 $(2)$ 에서 테일러 계수를 뽑아 쓸 수 있습니다.
$$a_n=\frac{h^{(n)}(x_0)}{n!}\;\;\;\cdots \;\;(3)$$
그러니 급수해의 계수 $a_n$ 을 찾기 위해서는 $h^{(1)},h^{(2)},\cdots ,h^{(n)}$ 을 구할 수 있음을 보여야 합니다. 그를 위해서 주어진 미분방정식 $(1)$ 에 $h(x)$가 해라 가정했으니 대입을 해봅시다.
$$P(x)h''(x)+Q(x)h'(x)+R(x)h(x)=0\;\;\Rightarrow \;\;h''(x)+p(x)h'(x)+q(x)h(x)=0\;\;\;\cdots \;\;(4)$$
$x=x_0$가 정상점이기에 이 점을 포함하는 구간에서 양변을 $P(x)$ 로 나눌 수 있던 것이고, $p(x)=\displaystyle\frac{Q(x)}{P(x)}\;\;,\;\;q(x)=\displaystyle\frac{R(x)}{P(x)}$ 입니다. 식 $(4)$ 를
$$h''(x)=-p(x)h'(x)-q(x)h(x)\;\;\;\cdots \;\;(5)$$
로 변형한 다음, 주어졌을 초기조건 $y(x_0)=y_0=a_0h(x_0)\;\;,\;\;y'(x_0)=y_0'=a_1=h'(x_0)$ 를 적용하면 식 $(5)$의 우변을 알기 때문에 $h''(x_0)$ 의 값도 알아낼 수 있습니다. 곧,
$$h''(x_0)=-p(x_0)h'(x_0)-q(x_0)h(x_0)=-p(x_0)a_1-q(x_0)a_0=2!a_n\;\;\;\cdots \;\;(6)$$
이렇게 $a_2$를 구하면 됩니다. 그럼 이후의 계수들은 어찌 구할까요? 바로 식 $(4)$를 미분하면 $h'''(x)$가 등장한다는 점을 노리는 겁니다. 이렇게 계속 미분을 이어나가게 되면 멱급수의 계수들 $a_n$을 죄다 구할 수 있게 됩니다. 물론 이 방법은 계속 미분을 해서 귀찮기 때문에 직접 이렇게 $a_n$을 다 구하진 않지만, 가능하다는 점을 강조하고 있는 것이며 이것이 가능하기 위해서 필요한 조건은 바로 $h(x)$가 무한 번 미분 가능하다는 점입니다. 그리고 이는 곧 $x=x_0$ 에서의 $p(x)$ 와 $q(x)$ 의 임의의 $n$계 미분계수 값이 존재한다는 뜻이죠.
2. 해석함수와 정상점
1의 내용을 정리하면, 급수해의 계수 $a_n$ 을 찾기 위한 최소한의 필요조건은 적어도 미분방정식의 계수 $p(x)\;,\;q(x)$가 무한 번 미분가능하다는 것입니다. 그렇지 않으면 $h(x)$가 해 $y$ 와 같다는 것으로부터 $h(x)$ 또한 무한 번 미분가능하다는 사실에 배치됩니다. 또한 이로부터 $h(x)$는 실제 미적분학에서 배운 개념에 의하면 테일러 급수가 자신으로 수렴하는 함수이니 해석함수라는 사실을 알게 되며, 나아가 $p(x)\;,\;q(x)$ 또한 해석적이어야 미분방정식
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$
이 $x=x_0$ 근방에서 이를 중심으로 하는 급수해
$$y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left ( x-x_0 \right )^n$$
가 존재한다는 결론이 도출됩니다.
$p(x)\;,\;q(x)$ 가 무한 번 미분가능하기만 하면 되지 않느냐, 할 수 있는데, 안됩니다. 무한 번 미분가능하다는 특징과 급수꼴로 적을 수 있다는 성질은 분명 다른 것이며 후자가 더 고급스러운 성질이기에 해석함수라 명명한다는 것을 관련 글에서 이미 다 언급했었습니다. 식 $(5),(6)$ 을 처다보면 우변이 $h^{(n)}$ 이고 이것은 해석함수이므로 좌변도 해석함수가 되어야 합니다. 만약 그렇지 않으면 좌변만 급수꼴로 쓸 수 있으나 우변은 미분만 가능하고 급수꼴으로는 쓰지 못한다는 모순이 생겨버리게 되기에, $p(x)\;,\;q(x)$ 도 해석함수여야 합니다.
염두해 두어야 할 것은 방금의 논리 전개 과정이 엄밀한 증명법까진 아니라는 것입니다. 앞 글에서 이야기했듯이 엄밀한 정리의 증명은 학부 수준에서 다루기에 굉장히 버겁습니다. 그러나 제가 적은 위의 설명 정도를 제대로 체화한다면 굳이 그 이상의 의문이 안풀리면 답답해 미칠 정도의 위기가 발생하진 않을 것이라 믿습니다.
이 사실에 관한 정리를 만들고 제대로 증명한 것은 독일의 수학자 Lazarus Immanuel Fuchs(1833-1902) 이며 그에 의해 발전되었습니다. 여기까지의 내용을 모두 합쳐 아래의 정의, 정리의 건설을 마무리해 봅시다.
$p(x)=\displaystyle\frac{Q(x)}{P(x)}\;\;,\;\;q(x)=\displaystyle\frac{R(x)}{P(x)}$ 인 2계 미분방정식
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$
에 대하여 $p(x)$ 와 $q(x)$가 $x=x_0$ 에서 해석적(Analytic)이면, 점 $x_0$를 주어진 미분방정식의 '정상점(Ordinary point)'이라 하며 해석적이지 않으면 '특이점(Singular point)'라 부른다.
정상점과 특이점은 이전글에선 극한으로 정의했으나, 위와 같이 해석적인지의 여부로 정의하는 것도 가능하단 뜻입니다.
정리 ($D.E$) 3.1
미분방정식
$$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$$
에 대하여 점 $x=x_0$가 정상점인 경우, 즉 계수 $p(x)=\displaystyle\frac{Q(x)}{P(x)}\;\;,\;\;q(x)=\displaystyle\frac{R(x)}{P(x)}$ 가 $x=x_0$ 에서 해석적인 경우, 임의의 $a_0\;,\;a_1$ 과 $x_0$ 에서 해석적인 두 멱급수 해 $y_1\;,y_2$ 에 대해 이 미분방정식의 일반해는
$$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left ( x-x_0 \right )^n=a_0y_1(x)+a_2y_2(x)$$
와 같다. 여기서 $y_1\;,\;y_2$ 는 해공간의 기저로 기본해 집합을 이룬다.
이 정의는 위의 Fuchs 가 서른이 조금 넘은 나이에 증명한 정리입니다. 여태까지 거쳐왔던 지식들을 토대로 머리 속에 정리해 간직하면 됩니다. 이것의 더욱 일반적인 형태의 정리가 바로 Fuchs' Theorem 입니다.
정리 ($D.E$) 3.2
2계 미분방정식
$$y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$$
을 고려하자. $x=x_0$ 가 이 미분방정식의 정상점(Ordinary point)이거나 정칙 특이점(Regular singular point)이면, 이 방정식의 일반해는 프로베니우스 방법을 이용해 해를 구할 수 있고, 그 모양은
① 2개의 급수해 $S_1(x)\;,\;S_2(x)$ 의 선형결합 꼴인 급수해
$$y=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left ( x-x_0 \right )^{n+r}\;\;,\;\;a_0\neq 0$$
② 2개의 급수해 $S_1(x)\;,\;S_2(x)$ 의 로그함수를 포함한 결합형태
$$y=S_1(x)\ln (x-x_0)+S_2(x)=y_0\ln \left ( x-x_0 \right )+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n\left ( x-x_0 \right )^{n+r}\;\;,\;\;b_0\neq 0$$
로 주어진다. 두번째 경우는 지표방정식의 해가 정수만큼 차이나거나 중근을 가질 때이다.
그리고 급수해들 $S_1(x)\;,\;S_2(x)$ 각각에 대한 수렴반경은 적어도 급수 $p(x)\;,\; q(x)\;,\;g(x)$ 에 대한 수렴반경의 최소값보다는 크다.
첫 술에 배부를 리 없는 것과 같이 아마 이게 무슨 뜻인지도 읽기 조차도 버거울 정도로 받아들이기 고될 것입니다. 말머리에서 언급했듯이 본인이 수학과가 아니라면 굳이 이것을 파헤칠 필요도 없으며, 이해가 안된다고 해도 지금 수준에선 그게 정상입니다. 일단은 질러 둔 것이고 이후에 정칙 특이점에서의 급수해를 얻는 과정을 열심히 연습하다보면 하나, 둘 씩 아주 서서히 눈을 뜨게 될 것입니다.
[참고문헌]
Mary L. Boas, Mathematical Methods in the physical sciences, 3e
Elementary differential Equations and Boundary value problems, William E. Boyce, Richard C. Diproma, Douglas B. Meade, WILEY
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