양자역학에서 기댓값(Expectation value in Quantum mechanics)

양자역학에서는 기댓값이 굉장히 중요합니다. 확률론에서 기댓값은 보편적으로 평균값을 뜻합니다. 평균정도의 값은 기대를 할 수 있다, 이런 식으로 보면 됩니다. 양자역학에서는 고전역학에서와 달리 '측정'의 의미가 달라 고전역학에서처럼 물체의 위치와 운동량을 정확히 동시에 측정하고 미래의 운동을 예측할 수가 없기 때문에, 확률을 도입한 것이고, 그러므로 확률에 관한 기댓값을 도구로 삼습니다. 이를 바탕으로 '측정'에 대한 의미를 이해하는데 한 걸음 더 다가갈 수 있게 됩니다.

 

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1. 기댓값

 

1) 정의

 

연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f(x)$ 에 대하여, 기댓값은
$$E(x)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$$

 

기댓값의 식을 무작정 외우시는 분들이 있는데, 양자역학을 학습하려면 기초적인 통계학 지식과 미적분학, 그리고 선형대수학이 고등학교 <확률과 통계>에서 등장하는 개념이죠. 기댓값은 원칙적으로 확률밀도함수에 연속확률변수를 곱한 뒤 적분하는 것이 원칙입니다. 왜냐하면 이산확률변수에 대해서 기댓값이 그렇게 정의되고 연속확률변수는 시그마를 적분으로 바꾼 것이기 때문입니다. 이를 통해 양자역학에서 기댓값을 다음과 같이 정의합니다.

 

 

정의($Q.M$) 1-5) 양자역학에서 기댓값
양자역학에서 함수 $f(x)$ 에 대한 기댓값은
$$E(f(x))=\left\langle f(x) \right\rangle:=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)f(x)\Psi(x,t)\,dx$$ 으로 정의한다. 이 때 들어가는 함수 $f(x)$는 양자역학에서 '에르미트 연산자(Hermitian)'에 해당한다. 즉, 선형변환(연산자)의 일종이다.

 

수학적인 설명을 먼저 하자면, 먼저 연산자란 선형변환 중에서 같은 벡터공간으로의 선형변환 $T:V\rightarrow V$ 를 말합니다. 그리고 '에르미트 연산자(Hermitian)'은 '자기수반 연산자(Self-adjoint)'와 같은 것입니다. 이것의 특징은 고유벡터가 직교할 뿐만 아니라 고유값이 실수입니다. 양자역학도 물리학이고, 관측된 물리량은 허수가 나오면 안되기 때문에 꼭 고유값이 실수인 에르미트 연산자를 다룹니다.^[각주:1] 즉 이제부터 기댓값을 측정하는 함수는 일반 함수가 아니라 선형 연산자, 그 중에서도 에르미트 연산자임을 전제할 것입니다. 여기까지는 수학에서 사용하는 용어와 차이점이 없습니다.

 

그런데 기댓값에 대한 물리적 해석을 할 때는 주의해야 합니다. 기댓값, 즉 평균값이라는 뜻인데, 물리적으로 무엇의 평균값이라는 것일까요? 하나의 입자를 여러번 계속 측정해서 그 입자의 상태에 해당하는 값이 평균적으로 기댓값이 된다는 뜻이 아닙니다! 양자역학에서 기댓값이란 같은 상태 $\Psi$ 에 있는 입자들의 앙상블(ensemble)에 대하여, 이에 속하는 입자들의 상태를 각각 측정했을 때 각각의 측정값들의 평균값을 뜻하는 것입니다.

 

조금 더 쉽게 비유를 하나 해보겠습니다. 하나의 동전을 여러번 던지는 경우 각 베르누이 시행에서 앞면이 나올 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이 됩니다. 그런데 한 10번 정도 시행했다고 하면 반드시 앞면이 5번 나오는 것은 아니지요. 시행횟수를 무한히 늘리면 통계적 확률과 수학적 확률이 같아진다는 '큰 수의 법칙'에 의해 앞면이 나오는 확률은 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이 됩니다. 이것 역시 기댓값의 일종이지만, 양자역학에서의 기댓값은 이를 말하는 것이 아니고, 여러 개의 동전을 준비했을 때 각각의 동전을 한번 씩 던졌을 때 앞면이 나온 숫자를 세보면 앞면을 얻을 확률의 평균값이 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 이라는 뜻에 가깝습니다.

 

기댓값에 대한 물리적 이해는 이 정도면 충분할 것 같습니다. 그런데 식의 꼴이 범상치가 않다고 느껴질 수 있습니다. 정의 식을 들여다 보면 $f(x)$ 의 기댓값을 구하고 싶을 땐 파동함수의 켤레와 파동함수 사이에 $f(x)$를 넣고 적분을 하라고 되어 있습니다. 파동함수의 켤레와 파동함수가 존재하는 이유는 확률밀도의 해석이 $P(x,t)=\left| \Psi(x,t) \right|^2=\Psi^*(x,t)\Psi(x,t)$ 이기 때문입니다. 즉 연속확률변수의 기댓값은 연속확률변수와 확률밀도를 곱해 적분하는 것인데 이 때 확률밀도가 파동함수의 제곱이므로 풀어서 쓰면 파동함수의 켤레와 파동함수의 곱으로 이루어져 있다는 뜻입니다.

 

그런데 곱하는 순서가 꼭 $\Psi^*(x,t)f(x)\Psi(x,t)$ 여야 할까요? 즉 $f(x)$ 를 꼭 둘 사이에 넣어야 할까요? 그렇게 하는 것이 안전하고 수학적으로 옳습니다. 그것이 내적공간에서 내적이 정의된 방법이기 때문인데요. 순서를 지키지 않아도 기댓값이 구해지는 경우가 있지만 예외가 있습니다. 예컨대 $f(x)$ 가 $x$에 대한 미분을 포함하는 경우 순서를 지켜야 합니다. 그리고 무엇보다도 나중에 이들을 행렬로 표현하게 되는데, 행렬의 곱을 하기 위해서는 앞행렬의 열 갯수와 뒷 행렬의 행 갯수가 동일해야 합니다. 이러한 규칙들을 언제나 잘 만족하는 순서가 바로 $f(x)$를 두 파동함수 사이에 넣는 방법입니다. 물론 양자역학에서 내적을 정의할 때 켤레함수를 항상 앞에 배치하므로 항상 켤레 파동함수 X 연산자 X 비켤레 파동함수 순서로 곱해야 합니다. 즉 켤레 파동함수를 연산자 뒤에 붙이지 말라는 뜻입니다. 왜냐하면 그것이 내적공간에서 내적을 정의할 때의 규칙이라서 그렇습니다.

 

2) 여러가지 기댓값

고전역학에서와 비슷하게 위치와 운동량에 대한 기댓값을 주로 다루게 됩니다. 그런데, 문제가 있습니다.

 

$$\left\langle x \right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\,\widehat{x}\,\Psi(x,t)$$
$$\left\langle p \right\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\,\widehat{p}\,\Psi(x,t)$$

 

위에서 언급했던 것처럼, 기댓값을 구하는 자리에는 에르미트 연산자가 들어갑니다. 즉 우리는 연산자를 써야 하는 것이지 고전역학에서처럼 위치와 운동량을 단순히 $x,p$ 로 쓸 수가 없습니다. 

 

 

정리($Q.M$) 1.5) 위치 연산자, 운동량 연산자
1) 위치 공간(coordinate space)에서,
위치 연산자 : $\hat{x}=x$
운동량 연산자 : $\hat{p}=\displaystyle \frac{\hbar}{i}\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}=-i\hbar\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}$

2) 운동량 공간(momentum space)에서,
위치 연산자 : $\hat{x}=i\hbar\displaystyle \frac{\partial }{\partial p}$
운동량 연산자 : $\hat{p}=p$

3) $x$와 $p$에 대한 임의의 연산자 $Q(x,p)$ 에 대하여 위치 공간에서 기댓값을 구하려면 단순히 $p$를 연산자로 취급해서 대입해주면 된다.
$$\left \langle Q(x,p) \right \rangle=\int \Psi^*\left \{ Q\left(x,\displaystyle\frac{\hbar}{i}\displaystyle\frac{\partial }{\partial x}\right) \right \}\Psi \,dx$$

증명) 1) 운동량과 위치는 푸리에 변환 관계를 갖는다. 즉, 임의의 함수 $\psi(x)$를 운동량 공간에서 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{i p x / \hbar} dp $$
여기서 $\phi(p)$ 는 운동량 공간에서의 파동함수를 말한다. 위 식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면,

$$\frac{d}{dx} \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \frac{d}{dx} e^{i p x / \hbar} dp$$
피적분함수 안의 지수함수 미분은 $\displaystyle\frac{d}{dx} e^{i p x / \hbar} = \displaystyle\frac{i p}{\hbar} e^{i p x / \hbar}$ 에 해당하므로 이를 대입해보면,

$$\frac{d}{dx} \psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty}\phi(p) \frac{i p}{\hbar} e^{i p x / \hbar} dp$$
한 번 더 정리하게 되면

$$\frac{d}{dx} \psi(x) = \frac{i}{\hbar} \left( \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} p \phi(p) e^{i p x / \hbar} dp \right)$$
즉 $\displaystyle\frac{d}{dx} \psi(x) = \displaystyle\frac{i}{\hbar} \hat{p} \psi(x)$ 임을 얻고, 양변에 $-i\hbar$ 을 곱하면 $- i\hbar \displaystyle\frac{d}{dx} \psi(x) = \hat{p} \psi(x)$ 를 얻는다. 따라서 위치 공간에서 운동량 연산자는

$$\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$
와 같이 얻을 수 있다. 2) 의 경우에도, $\phi(p) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) e^{ipx/\hbar} dx$ 를 활용해서 같은 과정을 반복하면 그 결과를 얻을 수 있다.

3) 기댓값의 정의로부터 바로 도출되는 성질이다. $_\blacksquare$

 

 

가능하지 않은 이유에 대해 조금 더 논리적인 답변이 필요하다 생각이 들 수도 있습니다. 그것은 차후 글에서 천천히 설명할 것입니다. 간단히 언급하자면, 양자역학에서는 어떤 공간을 다루는지가 중요한데 현재 우리는 $dx$, 즉 적분을 $x$에 대해서 하고 있습니다. 이것은 '위치 공간(coordinates space)' 입니다. 하지만 파동함수의 꼴에서 알 수 있듯이 '운동량 공간(momentum space)' 라는 것이 존재합니다. 위치 공간에서 $x$ 연산자는 그냥 $x$라고 쓰면 되지만 운동량 연산자는 단순히 $p$라고 쓸 수 없고, $x$에 관한 식으로 고쳐야 합니다. 운동량 공간에서는 반대의 작업을 해야 합니다. 그리고 이 $x$와 $p$의 관계를 설명해주는 것이 '교환자'이며, 수학적으로는 '쌍대공간(dual space)'의 관계에 놓여 있습니다. 이에 대한 개념을 하나 둘 쌓아 올려야 정확한 직관적 이해가 가능할 것으로 보입니다. 일단은 공간의 종류가 두 가지 있고 그에 따라 연산자의 형태가 변화한다고 기억하면 좋습니다.

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예제 1) 운동량 공간에서 $\hat{x}$ 가 에르미트 연산자임을 보여라.

 

Sol) 에르미트 연산자임을 보이려면 내적의 성질 $\left\langle \psi | T(\phi) \right\rangle = \left\langle T(\psi)| \phi \right\rangle$ 가 성립하는 것이므로 결국 $T$ 가 에르미트 연산자일 필요충분조건은 $T=T^\dagger$ 에 해당한다. 이는 연산자의 켤레 전치(conjugate transpose)가 자기 자신과 같다는 뜻이 된다. 따라서 $\left\langle  x \right\rangle$ 가 에르미트 연산자일 필요충분조건은 $\hat{x}=\hat{x}^*$ 이 되어 곧 $\left\langle x \right\rangle = \left\langle x \right\rangle^*$ 에 해당하고, 이는 다시 $\left\langle  x \right\rangle$ 의 값이 실수임을 보여주는 것과 같다. 계산해보면,

 

$$\left\langle x \right\rangle=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \phi^*(p)\hat{x}\phi(p)dp$$

 

이고, 이것의 켤레값은

 

$$\left\langle x \right\rangle^*=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \phi(p)
\left( -i\hbar\frac{\partial }{\partial p} \right)\phi^*(p)dp$$

 

에 해당한다. 두 값의 차를 계산해보면,

 

$$\begin{align*}

\left\langle x \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^* &= i\hbar\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left( \phi^*\frac{\partial \phi}{\partial p}+\phi\frac{\partial \phi^*}{\partial p} \right)dp
\\\\&=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial }{\partial p}(\phi^*\phi)dp
\\\\&= i\hbar \left[ \phi^*\phi \right]_{-\infty}^{\infty}
\\\\&=0

\end{align*}$$

 

어떤 값과 그것의 켤레값의 차이가 0이라는 것은 그 값이 실수임을 뜻한다. 연산자의 기댓값이 실수이므로 이 연산자 $\langle x \rangle$ 는 에르미트 연산자이다. $_\blacksquare$

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예제 2) 운동량의 기댓값 역시 위치 공간에서 항상 실수임을 보여라. 이는 운동량 연산자가 에르미트 연산자임을 보이는 것과 같다.

 

Sol) 위의 문제와 거의 비슷하다. 푸리에 역변환만 고려하면 되는데, 계산해보면

 

$$\begin{align*}

\left\langle p \right\rangle-\left\langle p \right\rangle^* &= \frac{\hbar}{i}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \left( \Psi^*\frac{\partial \Psi}{\partial x}+\Psi\frac{\partial \Psi^*}{\partial x} \right)dx
\\\\&=\frac{\hbar}{i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x}(\Psi^*\Psi)dx
\\\\&= \frac{\hbar}{i} \left[ \Psi^*\Psi \right]_{-\infty}^{\infty}
\\\\&=0

\end{align*}$$

 

따라서 운동량의 기댓값은 실수이므로, 운동량 연산자 $\hat{p}$ 는 에르미트 연산자이다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Quantum mechanics, David Griffiths, 3e
Quantum physics, Stephen Gasiorowicz, 3e

 

 

 

 

1. 측정값이 왜 고유값에 해당되는지는 뒤에서 다룹니다. [본문으로]