시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식과 해밀토니안 연산자(Time-independent Schrodinger equation and Hamiltonian operator)

파속의 개념, 슈뢰딩거 방정식의 유도를 마쳤으니 이제 슈뢰딩거 방정식을 풀어봅시다.

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1. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

1) 해밀토니안 연산자

 

고전역학에서 해밀토니안 $\mathcal{H}=\mathcal{H}(q,p)$ 는 일반화좌표 $q$ 와 운동량 $p$ 에 관한 함수로 기술하며, 운동에너지 $T$ 와 퍼텐셜에너지 $V$ 의 합 $\mathcal{H}(q,p)=T+V$ 로 정의한다. 고전역학에서 해밀토니안은 해밀턴 방정식을 통해 계의 시간 진화(동역학)를 결정한다. 고전역학에서는 해밀토니안이 특정 대칭성을 가지면, 뇌터정리(Noether's Theorem)에 의해 대응되는 보존되는 물리량이 존재한다.

정의($Q.M$) 1-6) 해밀토니안 연산자
양자역학에서 해밀토니안은 연산자에 해당하며 $\hat{\mathcal{H}}=\hat{\mathcal{H}}(x,\hat{p})=\hat{T}+\hat{V}$ 으로 정의하고, 이때 $\hat{T}=\displaystyle\frac{\hat{p}^2}{2m}$ 이며, $V=V(x)$ 로 스칼라를 기본적으로 생각한다. 그러므로
$$\hat{\mathcal{H}}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+V(x)$$ 와 같이 적는다. 양자역학에서 해밀토니안 연산자는 특정 대칭성과 교환(commute)하면, 대응하는 연산자의 고유값이 시간에 대해 보존된다.

 

학부 수준에서, 고전역학 교재에 따라 해밀턴 역학을 다루는 경우도 있고 다루지 않는 경우도 있습니다. 해밀턴 역학은 라그랑주 역학처럼 뉴턴 역학과 달리 목적론에 가까운 관점을 가지는데, 라그랑지안은 위치와 속도의 함수이고 이 라그랑지안을 사용하는 라그랑주 역학과 달리 해밀토니안은 $q_k, p_k$ 에 관한 함수로 위치와 운동량이라는 변수를 사용합니다. 이 개념을 양자역학에서 확장하는 것인데, 단순히 해밀토니안은 계의 전체 에너지를 의미한다고 이해하면 충분합니다. 뇌터정리에 관한 부분은 어차피 교환자를 다루며 다시 한 번 등장하겠지만 미리 참고해두면 좋습니다.

 

앞으로 해밀토니안을 표기할 때, 그것이 연산자이기 때문에 $\hat{\mathcal{H}}$ 와 같이 적는 것이 정확하기는 하나 어차피 반드시 연산자일 수밖에 없고 문자를 오직 이것으로 통일할 것이기 때문에^[각주:1]편의상 $\mathcal{H}$ 라 적도록 하겠습니다.

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2) 시간에 무관한 1차원 슈뢰딩거 방정식

 

1차원 슈뢰딩거 방정식을 보면 시간에 관한 편미분이 존재하므로 기본적으로 슈뢰딩거 방정식은 시간에 무관하지 않습니다. 즉 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식입니다.

 

$$i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(1-dim\;Scr\ddot{o}dinger \; eqaution)}$$

 

문제가 되는 것은 퍼텐셜입니다. 슈뢰딩거 방정식은 퍼텐셜의 종류에 따라 정확한 해를 구할 수 있는지의 여부가 갈리며 해를 구할 수 있다고 해도 퍼텐셜에 따라 풀이법이 달라집니다. 만일 퍼텐셜이 시간에 의존하지 않는 경우, 파동함수는 다음의 관계를 만족합니다.

 

$$\mathcal{H}\Psi(x,t)=E\Psi(x,t)\;\;\Rightarrow \;\; \left( \frac{p^2}{2m}+V \right)\Psi=E\Psi$$

 

$\mathcal{H}$ 와 $E$ 는 여기서 연산자 개념입니다. 해밀토니안 연산자에는 운동량 연산자가 포함되어 있고 운동량 연산자는 $p=\displaystyle \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 이며 에너지 연산자는 $E=i\hbar\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}$ 입니다. 이를 참고해서 방정식을 풀어보려는데, 이는 선형 편미분방정식이며 변수분리법을 통해서 풀 예정입니다.^[각주:2] 변수분리를

 

$$\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)=u(x)T(t)$$

 

와 같이 합니다. $\psi(x)=u(x)$ 이며 $\phi(t)=T(t)$ 로 어느 문자를 사용하든 상관이 없는데 교재마다 사용하는 문자가 달라 둘 다 써두었습니다. 여기서 저는 $u$ 와 $T$ 를 쓰겠습니다. 변수분리 해를 넣고 식을 적당히 조절하면 다음을 얻습니다.

 

$$i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{d T(t)}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{u(x)}\frac{d ^2u(x)}{dx^2}+V(x)$$

 

$$E=(\mathrm{constant})=i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{d T(t)}{dt}\;\;,\;\;\frac{dT}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}T \;\;\Rightarrow \;\; T(t)=e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$$

 

시간에 관한 부분은 위와 같이 정리되고, 이제 위치 $x$ 에 관한 파트를 정리해서 얻는 미분방정식을 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이라 부릅니다.

 

 

정리($Q.M$) 1.6) 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 일반해
'시간의 무관(독립)한 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrodinger equation)'은 다음과 같다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d ^2u(x)}{dx^2}+Vu(x)=Eu(x) \;\;\Leftrightarrow \;\; \mathcal{H}u=Eu$$ 또는 좀 더 간단하게 정리하여
$$\frac{d ^2u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left( E-V \right)u(x)=0$$ 으로 쓰기도 한다.
여기서 $E$ 는 고유값이고, 고유값이 연속적인 값을 가질 수도 있고 이산적인 값을 가질 수도 있다. 둘 모두를 고려하면 일반적인 해의 꼴은
$$\Psi(x,t)=u(x)T(t)=\int_{}^{}\;C(E)u_E(x)e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}\,dE +\sum_{n}^{} c_nu_n(x)e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$$ 와 같이 쓴다.^[각주:3] 최종적으로 파동함수의 일반해 모양은 아래와 같다.
$$\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\Psi(x,t)$$

 

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 $\mathcal{H}\psi=E\psi$ 로 쓰는 경우가 많습니다. 이는 고유값 방정식과 같은 꼴이므로 고유값 문제를 어떻게 해결해야 하는지 선형대수적 지식이 반드시 필요합니다. 마지막에 적은 파동함수의 최종적 일반해 모습을 약간 수학적으로 해석하면 가장 좌변의 $\Psi(x,t)$ 는 임의의 파동함수가 되고, 이를 우변의 파동함수들 $\psi_n(x)$ 에 계수 $c_n$ 을 달아 시그마를 취해 선형결합으로 나타내고, 시간에 관한 항인 $e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$ 을 달아줍니다. $e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$이 항을 보통 'wiggle factor' 라고 합니다. 시간에 따라 출렁출렁(wiggle) 거린다는 뜻이지요. 사실 이 wiggle factor 는 지금 당장 그리 중요한 개념은 아닙니다.

 

만일 이것이 주어지면, 시간이 $t=0$ 처음일 때 파동함수의 식은

 

$$\Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)$$

 

으로 구하면 됩니다. 이 $\Psi(x,0)$ 은 굉장히 중요하니 꼭 기억해 두세요.

 

 

 

3) 해밀토니안 연산자의 기댓값

 

해밀토니안 연산자의 기댓값을 구해보게 된다면,

 

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,0)\hat{\mathcal{H}}\Psi(x,0) dx =\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,0) E\Psi(x,0) dx = E\int_{-\infty}^{\infty}\left| \Psi \right|^2dx$$

 

임을 알 수가 있습니다. 해밀토니안 연산자의 기댓값은 에너지에 해당하는 것으로 나오네요.

 

 

 

4) 계수 $c_n$ 의 의미

 

시간이 $t=0$ 일 때의 입자의 상태함수 $\Psi(x,0)$ 을 알고 있다고 해봅시다. 그렇다면 $\Psi(x,0)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)$ 와 같이 나타낼 수 있습니다. 이것은 힐베르트 공간의 (무한개의)기저인 $\psi_1,\psi_2,\cdots ,\psi_k,\cdots$ 들의 선형결합을 통해 $t=0$ 에서의 상태함수 $\Psi(x,0)$ 을 기술할 수 있다는 것을 뜻합니다.^[각주:4]

 

결과적으로 보면, 계수 $c_n$ 에 대한 해석은 다음과 같이 합니다. 이는 공리($Q.M$) 2-1) 에서 3)의 내용에 관련된 것입니다.

 

공리($Q.M$) 1-2)
양자역학에서, 계의 에너지를 측정하면 계는 해밀토니안의 고유상태 중 하나로 붕괴한다. 이때 어떤 고유상태(고유벡터) $\psi_n(x)$ 로 붕괴할 확률은, 초기 상태가 $\psi_n(x)$ 에 대해 갖는 확률 진폭 $c_n$ 의 절댓값의 제곱인 $\left| c_n \right|^2$ 으로 주어진다. 

 

이름에서 볼 수 있듯이 이것은 양자역학의 공리에 해당합니다. 그러나 앞으로 풀게 될 여러 종류의 퍼텐셜이 부여된 슈뢰딩거 방정식을 해결하다보면, 그것에서 항상 맞아 떨어짐을 알 수 있습니다.^[각주:5]

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여기까지 정리하면 이제 퍼텐셜에 무엇이 들어오느냐에 따라 어떤 상황인지를 보게 되는 것이고 유형을 나누어 몇가지 슈뢰딩거 방정식의 해를 완벽히 구할 수 있는 상황에 대해 학습할 준비가 끝났습니다.

 

참고로 지금부터는 디랙 표기법(브라켓 표기법)을 사용할 수 있으니, 이에 대해 숙지하는 것이 좋습니다.

 

 

 

1. $\mathcal{H}$ 라고 적으면 반드시 해밀토니안이라는 뜻. [본문으로]
2. 변수분리법이 정말 효과가 있는지에 대한 의문이 들어야 정상입니다. 그런데 편미분방정식은 상미분방정식처럼 해의 유일성과 존재성에 대한 일반적 정리가 존재하지 않습니다. 따라서 편미분방정식을 푸는 몇가지 방법이 존재하고 그 중 변수분리법을 이용하면 슈뢰딩거 방정식은 해가 존재함이 알려져 있습니다. [본문으로]
3. 그러나 보통 이산적인 경우가 많습니다. [본문으로]
4. 이러한 근본적인 선형결합 표현이 가능한 까닭은 수학적으로 힐베르트 공간의 개념과 관련되어 있는데, 정말 궁금하다면 각오하시고 이 글을 참고하세요.  [본문으로]
5. 물론 자연에는 수많은 셀 수 없는 퍼텐셜의 종류가 존재하고 그것을 일일히 영원히 다 확인해야 이 해석을 '증명'하였다고 볼 수 있는데, 사실상 그것이 불가능하기 때문에, 정리가 아니라 공리라고 여겨지는 것입니다. [본문으로]