시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrodinger equation)

파속의 개념, 슈뢰딩거 방정식의 유도를 마쳤으니 이제 슈뢰딩거 방정식을 풀어봅시다.

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1. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식

 

1차원 슈뢰딩거 방정식을 보면 시간에 관한 편미분이 존재하므로 기본적으로 슈뢰딩거 방정식은 시간에 무관하지 않습니다. 즉 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식입니다.

 

$$i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(1-dim\;Scr\ddot{o}dinger \; eqaution)}$$

 

문제가 되는 것은 퍼텐셜입니다. 슈뢰딩거 방정식은 퍼텐셜의 종류에 따라 정확한 해를 구할 수 있는지의 여부가 갈리며 해를 구할 수 있다고 해도 퍼텐셜에 따라 풀이법이 달라집니다. 만일 퍼텐셜이 시간에 의존하지 않는 경우, 파동함수는 다음의 관계를 만족합니다.

 

$$\mathcal{H}\Psi(x,t)=E\Psi(x,t)\;\;\Rightarrow \;\; \left( \frac{p^2}{2m}+V \right)\Psi=E\Psi$$

 

$\mathcal{H}$ 와 $E$ 는 여기서 연산자 개념입니다. 해밀토니안 연산자에는 운동량 연산자가 포함되어 있고 운동량 연산자는 $p=\displaystyle \frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 이며 에너지 연산자는 $E=i\hbar\displaystyle\frac{\partial }{\partial t}$ 입니다. 이를 참고해서 방정식을 풀어보려는데, 이는 선형 편미분방정식이며 변수분리법을 통해서 풀 예정입니다.^[각주:1] 변수분리를

 

$$\Psi(x,t)=\psi(x)\phi(t)=u(x)T(t)$$

 

와 같이 합니다. $\psi(x)=u(x)$ 이며 $\phi(t)=T(t)$ 로 어느 문자를 사용하든 상관이 없는데 교재마다 사용하는 문자가 달라 둘 다 써두었습니다. 여기서 저는 $u$ 와 $T$ 를 쓰겠습니다. 변수분리 해를 넣고 식을 적당히 조절하면 다음을 얻습니다.

 

$$i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{d T(t)}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{u(x)}\frac{d ^2u(x)}{dx^2}+V(x)$$

 

$$E=(\mathrm{constant})=i\hbar\frac{1}{T(t)}\frac{d T(t)}{dt}\;\;,\;\;\frac{dT}{dt}=-\frac{iE}{\hbar}T \;\;\Rightarrow \;\; T(t)=e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$$

 

시간에 관한 부분은 위와 같이 정리되고, 이제 위치 $x$ 에 관한 파트를 정리해서 얻는 미분방정식을 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식이라 부릅니다.

 

'시간의 무관(독립)한 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrodinger equation)'은 다음과 같다,
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d ^2u(x)}{dx^2}+Vu(x)=Eu(x) \;\;\Leftrightarrow \;\; \mathcal{H}u=Eu$$ 또는 좀 더 간단하게 정리하여
$$\frac{d ^2u(x)}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}\left( E-V \right)u(x)=0$$ 으로 쓰기도 한다.
여기서 $E$ 는 고유값이고, 고유값이 연속적인 값을 가질 수도 있고 이산적인 값을 가질 수도 있다. 둘 모두를 고려하면 일반적인 해의 꼴은
$$\Psi(x,t)=u(x)T(t)=\int_{}^{}\;C(E)u_E(x)e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}\,dE +\sum_{n}^{}
c_nu_n(x)e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$$ 와 같이 쓴다.^[각주:2] 최종적으로 파동함수의 일반해 모양은 아래와 같다.
$$\Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\Psi(x,t)$$

 

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 $\mathcal{H}\psi=E\psi$ 로 쓰는 경우가 많습니다. 이는 고유값 방정식과 같은 꼴이므로 고유값 문제를 어떻게 해결해야 하는지 선형대수적 지식이 반드시 필요합니다. 마지막에 적은 파동함수의 최종적 일반해 모습을 약간 수학적으로 해석하면 가장 좌변의 $\Psi(x,t)$ 는 임의의 파동함수가 되고, 이를 우변의 파동함수들 $\psi_n(x)$ 에 계수 $c_n$ 을 달아 시그마를 취해 선형결합으로 나타내고, 시간에 관한 항인 $e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$ 을 달아줍니다. $e^{-\displaystyle \frac{iE}{\hbar}t}$이 항을 보통 'wiggle factor' 라고 합니다. 시간에 따라 출렁출렁(wiggle) 거린다는 뜻이지요. 사실 이 wiggle factor 는 지금 당장 그리 중요한 개념은 아닙니다.

 

만일 이것이 주어지면, 시간이 $t=0$ 처음일 때 파동함수의 식은

 

$$\Psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)$$

 

으로 구하면 됩니다. 이 $\Psi(x,0)$ 은 굉장히 중요하니 꼭 기억해 두세요.

 

 

여기까지 정리하면 이제 퍼텐셜에 무엇이 들어오느냐에 따라 어떤 상황인지를 보게 되는 것이고 유형을 나누어 몇가지 슈뢰딩거 방정식의 해를 완벽히 구할 수 있는 상황에 대해 학습할 준비가 끝났습니다.

 

 

 

 

 

 

1. 변수분리법이 정말 효과가 있는지에 대한 의문이 들어야 정상입니다. 그런데 편미분방정식은 상미분방정식처럼 해의 유일성과 존재성에 대한 일반적 정리가 존재하지 않습니다. 따라서 편미분방정식을 푸는 몇가지 방법이 존재하고 그 중 변수분리법을 이용하면 슈뢰딩거 방정식은 해가 존재함이 알려져 있습니다. [본문으로]
2. 그러나 보통 이산적인 경우가 많습니다. [본문으로]