선형범함수와 쌍대공간(Linear functional and Dual space)

고전역학에서 사이클로이드 곡선 등을 다룰 때 범함수와 변분법에 대한 소개를 한 적이 있습니다. 범함수는 함수의 함수라 할 수 있어서, 어떤 함수 식에 값을 넣으면 그에 따라 스칼라를 토해내는 구조로 생각할 수 있습니다. 함수는 사상, 변환과 같은 것이기에^[각주:1] 선형대수학의 언어로 범함수를 처리할 수 있습니다. 물론 선형성을 가진 것만 취급할 것입니다.

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1. 선형범함수와 쌍대공간

 

1) 정의

 

벡터공간 $V$에서 스칼라 공간 $F$로의 선형변환(사상)을 고려하자. 이러한 모든 선형사상의 집합 $\mathcal{L}(V,F)$ 을 '쌍대공간(Dual space)'라 부르고 $V^{*}$ 라 표기한다. $V^{*}$의 각각의 원소를 '선형범함수(Linear functional)'라 한다.

$$V^{*}=\left\{ \phi \mid \phi : V\rightarrow F\;,\;\phi \;\mathrm{is\;linear} \right\}$$

 

위 정의에 따르면 $V$가 벡터공간일 때 $V^*$가 벡터공간인 것도 자명합니다. (정확히는 증명을 해야 하지만 벡터공간의 공리를 확인하면 되고 어렵지 않습니다.)

 

 

2) 좌표함수

좌표함수는 지금까지 총 2번 설명했던 적이 있습니다. 한 번은 선형변환의 예로서, 한 번은 동형관계에서 표준표현을 언급했었을 때입니다. 먼저 맨 처음 정의를 했을 땐, 아래와 같이 했습ㄴ디ㅏ.

 

$\beta=\left \{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right \}$ 가 벡터공간 $V$의 기저이면 임의의 벡터 $v\in V$는
$$v=a_1v_1+\cdots +a_nv_n$$  으로 유일하게 표현되고, 이 때 좌표변환(좌표사상)
$$\phi_\beta:V\rightarrow F^n\;\;,\;\; \phi_\beta (v)=(a_1,\cdots ,a_n)$$  은 '동형사상(isomorphism)'이다.

 

그러나 여기서는 조금 비틀 것입니다. 위에서 정의한 사상은 선형범함수는 아닙니다. 벡터에서 벡터로 이동하니까요. 하지만 아래에서는 선형범함수를 만듭니다.

 

$\beta=\left \{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right \}$ 가 벡터공간 $V$의 기저이면 임의의 벡터 $v\in V$는
$$v=b_1v_1+\cdots +b_nv_n$$ 으로 유일하게 표현되고, 이 때 각각의 $i=1,\cdots ,n$ 에 대해 사상
$$\phi_i:V\rightarrow F\;\;,\;\; \phi_i (v)=b_i$$ 를 $V$의 좌표함수(coordinate function)라 한다. 이는 선형범함수임이 자명하다.

 

둘의 차이가 무엇인지 보이시나요? 첫번째 것은 좌표함수의 첨자가 기저 $\beta$ 입니다. 즉 이 좌표함수는 $\beta$ 라는 기저 하에 만든 것이며 출력값은 좌표들의 순서쌍($\mathrm{n-tuple})$ 이므로 스칼라가 아니라 벡터입니다. 반면 아래의 것은 윗 박스의 좌표들의 순서쌍 중에 $i$ 번째 성분만을 뽑아서 보겠다는 관점이 작용하는 것입니다. 즉 순서쌍 중에서 $i$번째 성분$b_i$ 하나만 뽑아서 쓴 것이므로 출력값은 스칼라입니다.^[각주:2] 이번 글에서 집중할 박스는 아래의 것이고, 이는 $V$에서 뽑은 벡터 $v$ 의 좌표 중, $i$번째 성분에 주목해서 보겠다는 것입니다. 다시 말하지만 첫번째 박스는 스칼라 출력값을 $v$의 좌표 전체를 순서쌍으로 보겠다는 것이고요.

 

 

 

3) 쌍대기저

 

좌표함수를 언급한 이유는 이것이 쌍대공간을 이해하는 중요한 도구이기 때문입니다. 아래에 나올 중요한 정리들을 증명하기 전에 아래 정리를 먼저 봅시다.

 

정리($L.A$) 4.25
위에서 정의한 좌표함수 $\phi_i:V\rightarrow F$ 에 대하여 다음이 성립한다.
$$\phi_i(v_j)=\delta_{ij}$$

 

증명) 귀납적으로 차근 차근 이끌자.

$$v_1=1\cdot v_1 \;\; \Rightarrow \;\; \phi_1(v_1)=1\;\;,\;\;\phi_{\neq 1}(v_1)=0$$
$$v_2=1\cdot v_2 \;\; \Rightarrow \;\; \phi_2(v_2)=1\;\;,\;\;\phi_{\neq 2}(v_2)=0$$
$$v_i=0\cdot v_1+\cdots +1\cdot v_i+ \cdots 0\cdot v_n \;\; \Rightarrow \;\; \phi_i(v_i)=1\;\;,\;\;\phi_{j\neq i}(v_i)=0$$
$$\therefore \phi_i(v_j)=\delta_{ij}$$

 

 

정리($L.A$) 4.26

벡터공간 $V$와 이것의 쌍대공간 $V^*$ 에 대하여 $\mathrm{dim}(V)=\mathrm{dim}(V^*)$ 이다.

 

이 증명은 선형변환과 행렬 사이의 동형관계를 이해하면 따름정리 4.23.1 로부터 유도 가능합니다. 그러나 그것 없이도 원초적인 방법으로 증명이 가능합니다.

 

증명) 벡터공간 $V$의 기저가 $\left\{ v_1,\cdots ,v_n \right\}$ 이고 차원이 $n$이라 하자. 그러면 좌표함수들의 집합 $\gamma=\left\{ \phi_1,\cdots ,\phi_n \right\}$ 이 $V^*$ 의 기저임을 보이면 된다.

i) 먼저 $\gamma$ 가 선형독립임을 보이자. 이를 위해 임의의 스칼라 $c_i$ 와 $\phi_1,\cdots ,\phi_n$ 의 선형결합을 $c_1\phi_1+\cdots +c_n\phi_n=O$ 라 두자.^{[각주:3] [각주:4]}

그러면 모든 $k=1,\cdots ,n$ 에 대하여 

$$0=O(v_k)=\left( c_1\phi_1+\cdots +c_n\phi_n \right)(v_k)=c_k\phi_k(v_k)=c_k\cdot 1=c_k$$
이므로, $\gamma$ 는 일차독립니다.

ii) $\gamma$ 가 $V^*$ 를 생성함을 보이자. $\phi \in V^*$ 를 임의의 선형범함수라 하고 그 출력값은 $\phi(v_k)=d_k$ 라 두자. 또한 임의의 $v\in V$ 를 $v=b_1v_1+\cdots +b_nv_n$ 라 나타내자. 각각의 $k$에 대하여 $\phi_k(v)=b_k$ 임을 이용하면

$$\begin{align*} \phi (v)&=\phi \left( b_1v_1+\cdots b_nv_n \right)=b_1\phi(v_1)+\cdots +b_n\phi_n \\\\&=b_1d_1+\cdots +b_nd_n \\\\&=d_1\phi_1(v)+\cdots d_n\phi_n(v) \\\\&=\left( d_1\phi_1+\cdots +d_n\phi_n \right)(v)    \end{align*}$$

즉 $\phi=d_1\phi_1+\cdots +d_n\phi_n$ 이므로 $\gamma$ 는 $V^*$  를 생성한다. i)과 ii)에 의하면 $\left\{ \phi_1,\cdots ,\phi_n \right\}$ 는 $V^*$ 의 기저이므로 $\mathrm{dim}(V^*)=n$ 이다.

 

 

중간에 치환한 이유를 헤아려 봅시다. 우리가 보여야 하는 것은 $\phi_1,\cdots ,\phi_n$ 들의 선형독립입니다. 그러니 최종적으로는 이 앞의 계수들 $c_1,\cdots c_n$ 들이 모두 0임을 보여야 합니다. 그런데 우리가 정의한 $\phi_i$ 는 벡터 $v_i$ 에 대하여 $\phi_i(v_i)$ 꼴로 정의가 되기 때문에 벡터 $v_k$ 와 연산을 하는 것입니다.

 

 

정리($L.A$) 4.27

순서기저 $\beta=\left\{ v_1,v_2,\cdots ,v_n \right\}$ 를 가지는 유한차원 벡터공간 $V$와 $\beta$에 대한 $i$번째 좌표함수 $\phi_i\,(1\leq i \leq n)$ 를 고려하자. 그러면 $\beta^*=\left\{ \phi_1,\phi_2,\cdots ,\phi_n \right\}$ 는 $V^*$ 의 순서기저이다. 그리고 임의의 $\phi \in V^*$ 에 대하여
$$\phi=\sum_{i=1}^{n}\phi(v_i)\,\phi_i$$ 이다. 즉 $V^*$의 임의의 원소는 $V$의 기저 $\beta$ 의 선형변환과 $\beta^*$ 의 원소 곧 쌍대기저들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 

 

증명) $\beta^*=\gamma$ 가 $V^*$ 의 기저임은 위 정리 4.26 의 증명에서 이미 보였다. 식 관계에 대한 증명을 하자. 어떤 선형범함수 $h$가 $h=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\phi(v_i)\,\phi_i$ 라 하자. 그러면 $1\leq j\leq n$ 에 대하여 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} h(v_j)&=\left( \sum_{i=1}^{n}\phi(v_i)\,\phi_i \right)(v_j)=\sum_{i=1}^{n}\phi(v_i)\,\phi_i(v_j) \\\\&=\sum_{i=1}^{n}\phi(v_i)\,\delta_{ij}=\phi(v_j) \end{align*}$$

따름정리 4.7.1 에 의하여 $h=\phi$ 이다.

 

 

그러면 이제 쌍대기저를 정의할 수 있습니다. 설명과 특징은 이미 다 학습한 것과 다름 없습니다.

 

$\phi_i(v_j)=\delta_{ij}\;(1\leq i,j\leq n)$ 을 만족하는 $V^*$ 의 순서기저 $\beta^*= \left\{ \phi_1,\cdots ,\phi_n \right\}$ 을 $\beta$ 의 '쌍대기저(dual basis)' 라 부른다.

 

 

[참고문헌]

Linear Algebra : S.Friedberg, A.Insel, L.Spence, 5e, PEARSON

선형대수학, 청문각, 강경태 및 송석준 지음

 

 

 

1. 아주 엄밀하게 말하면 약간 다를 수 있지만, 차이를 무시합니다. 자세한 것은 여기를 참조. [본문으로]
2. 두 박스에서 사실상 $a_i$ 와 $b_i$ 의 역할은 좌표로 같으나, 이와 같이 차이를 설명하려고 문자만 달리 쓴 것입니다. [본문으로]
3. 여기서 O는 0이 아닙니다. 치환한 것입니다. [본문으로]
4. 이렇게 치환한 이유가 궁금하면 이 박스 아래 '더보기(접은 글}' 참조. [본문으로]