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정수론의 합동에서 동치류들의 연산 여태까지 합동에 관한 뼈대가 되는 개념들을 모두 다루었습니다. 이번 글부터는 본격적으로 대수학을 하기 위해 $\mathbb{Z}_n$ 과 $\mathbb{Z}_n^*$ 을 다루는 과정에서 필요한 동치류들의 연산에 대해 정리할 것입니다. 이미 배웠던 내용, 특히 합동의 연산 성질을 바탕으로 약간만 확장하는 것이기 때문에 그리 어렵지 않을 것입니다.  그러나 결론적으로 보면, 합동식 $ax\equiv b \;(\text{mod}\; n)$ 와 같은 식에서 사실 해는 무수히 많아 동치류들로 적는다는 점을 고려할 때, $\mathbb{Z}$ 를 $\mathbb{Z}_n$ 으로 줄여서 생각하더라도 그러한 합동의 개념 본질이 달라지는 것은 아니기 때문에 사실 합동의 연산 관계들은 자연스럽게 동치류에서도 성립할 것임.. 2024. 6. 29.
합동방정식(congruence equation) 이번 주제는 정수론에서 합동에 대한 개념을 바탕으로 합동방정식의 해를 찾는 일입니다. 이 작업은 일차적으로 정수론에서  1차 선형 디오판토스 방정식에 대해 알고 있어야만 이해할 수 있습니다. 하지만 합동방정식을 조금 더 풍부하게 이해하기 위해서는 선형대수학의 방정식 논리를 알고 있는 것이 좋기는 합니다. 일반적인 연립방정식과 다른 점은 합동방정식이 미분방정식에서처럼 해의 개수가 단 하나로 떨어지지 않는다는 점입니다. 이는 동치류가 품고 있는 무수히 많은 원소들이 모두 해가 될 수 있다는 사실에 기반하고 있습니다. 또한 해의 꼴을 보면, 디오판토스 방정식처럼 합동방정식은 선형대수학에서 연립방정식의 해의 논리와 유사한 점이 많습니다. 방정식은 근본적으로 대수적인 관점이 녹아 들어있기 때문입니다.   만일 선.. 2024. 6. 27.
1차 선형 디오판토스 방정식(Linear first-order Diophantine equation) 디오판토스는 고대 그리스의 수학자로, 이집트 알렉산드리아 출신이며 정수론과 방정식을 연구하였다고 알려져 있습니다. 그의 이름을 따 만들어진 디오판토스 방정식은 정수론을 공부하면 꼭 한 번쯤은 들어봤을 것입니다. 디오판토스 방정식은 정수해만을 다루며, 해법이 아주 어렵지 않아 사실 중고등학교 수학 정도만으로도 해를 찾는 것이 가능합니다. 그리고 여러 매체에서 그것의 응용을 재미난 수수께끼로 둔갑시켜 사용되고는 합니다.  라라 크로프트를 주인공으로 하는 시리즈는 제가 매우 좋아하는 게임 중 하나입니다. 제가 어렸을 시절 툼레이더 클래식(1,2,3,4,5(연대기)) 를 즐겨 했었던 기억이 있는데, 당시 너무 어려워서 끝까지 깨지 못했습니다. 툼레이더 시리즈는 고도의 컨트롤 피지컬과 경로 기억성, 귀류법적 사.. 2024. 6. 25.
합동의 연산성질(Operations on congruence in the Number Theory) 합동의 대한 기초 개념을 학습하고 나서는 합동 관계에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하는 방법을 익혀야 합니다. 이 개념은 정수론뿐만 아니라 대수학의 군론을 시작할 때 반드시 필요하므로 이번 글의 중요성을 또 한번 강조해도 지나치지 않습니다. 1. 합동의 기본 연산 1) 덧셈과 곱셈의 기본 연산 정리($N.T$) 3.6) 두 합동식은 연결해서 양변 각각 덧셈과 곱셈이 가능$a\equiv b\;(\text{mod}\; n)$ 이고 $c\equiv d\;(\text{mod}\; n)$ 이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.① $a+c=b+d\;(\text{mod}\; n)$② $ac=bd\;(\text{mod}\; n)$따름정리($N.T$) 3.6.1)$a\equiv b\;(\text{mod}\; n)$ .. 2024. 6. 24.
여러가지 군(Various named group) 이번 글에서는 군과 부분군의 개념을 숙지하면 이해가 가능한 여러가지 주요 군을 소개하겠습니다.  1. 여러가지 군 1) 일반선형군 정의($A.A$) 2-10) 일반선형군(General linear group)집합 $M_n(F)$ 을 체 $F$ 위에서 행렬 곱을 연산으로 하는 $n\times n$ 행렬들로 구성된 모노이드라 하자. 이것이 역원을 가지는 경우, 즉 $M_n(F)^*$ 인 경우 그러한 행렬들의 원소로 구성된 집합을 '일반선형군(General linear group)'이라 부르며, 차수 $n$ 인 체 $F$ 위에서의 가역행렬들로 구성된 군을 말하고 $GL_n(F)$ 로 표기한다. 이때 $F=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 일 때, 일반선형군을 조건제시법으로 나타내면$.. 2024. 6. 21.
실직선에서의 연결 부분공간과 중간값의 정리(Connected subspaces of the Real line and the Intermediate Value Theorem) 연결성과 분리에 대한 기초 작업이 끝나게 되면, 우선 실수에서의 연결성을 먼저 들여다보는 작업이 필요합니다. 실수의 연결성을 살펴볼 때는 연결공간의 기초 개념들을 마구 사용하기 때문에 연결성에 대한 글을 반드시 먼저 참고하시기 바랍니다. 그리고 나아가 실수의 연결성을 학습하면 중간값의 정리를 가장 추상적으로 증명하는 것이 가능합니다. 1. 실수의 연결성 우선 실수의 연결성을 가장 먼저 다루는 것으로 시작하겠습니다. 정리($T.P$) 4.10) 실수는 연결집합이다.$\mathbb{R}$ 은 연결되어 있다. 즉 연결공간, 연결집합이다.증명) $\mathbb{R}$ 이 연결되어 있지 않다고 가정하여 귀류법을 사용하자. 그러면 $\mathbb{R}$ 의 열린 부분집합 $U,V$ 가 존재하여 $U,V\neq \e.. 2024. 6. 15.
위상수학에서 연결공간과 분리(Connected space and separation in topology) 위상동형에 대한 간단한 정의를 기억하게 되었다면 다음으로 공간의 연결성과 옹골성(compact)을 차례대로 학습하고, 위상동형의 개념을 몫 공간에 대한 개념과 연결짓게 되면 본격적으로 위상수학에 대한 감이 잡히게 됩니다. 이번 글에서는 연결성을 다룰 것이며 연결성의 개념은 앞 부분에 비해서 많이 어렵지 않기 때문에 여태까지 배운 내용만 잊지 않았다면 천천히 학습하는 것이 가능합니다.  1. 분리성 1) 정의 정의($T.P$) 4-1) 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 를 생각하자. $X$ 의 공집합이 아닌 두 부분집합 $U,V\in\mathcal{T}$ 에 대해 $U\cap V = \emptyset$ 이고 $X=U\cup V$ 가 성립하는 경우, $X$ 는 '분리되어 있다(separated)' 또.. 2024. 6. 12.
위상동형사상, 위상적 동치(homeomorphism, topological equivalent) 이제 위상수학에서 흔히 언급되는, 대상을 늘이거나 구겨도 위상적 동형이라는 명제에 대한 이해를 다루어 보기 시작하려고 합니다. 여태까지 배운 기초 개념들을 동원하여 위상동형사상에 대해 알아보도록 하겠습니다. 특히 연속성의 개념이 무척 중요합니다. 1. 열린함수, 닫힌함수(열린사상, 닫힌사상) 1) 정의 정의($T.P$) 2-30) 열린함수와 닫힌함수(또는 열린사상과 닫힌사상)위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 $(Y,\mathcal{T}')$ 에 대해 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 를 생각하자.1) $X$ 에서의 임의의 열린집합 $U$ 를 생각할 때, $f(U)$ 가 항상 $Y$ 에서 열린집합인 함수 $f$ 를 '열린함수(open function)'이라 한다. 즉, 이는 $U\i.. 2024. 6. 11.
거리공간의 정의(Metric space) 위상수학을 공부할 때 거리공간을 알아야 하는 이유 중 가장 중요한 것은 다음 글의 초석에서 적어두긴 하였으나, 일단 위상적 성질을 제껴두고 거리공간에 대한 본질적인 것부터 익히는 것이 이번 글의 목표입니다. 위상수학, 해석학, 선형대수학을 공부하면 공간에 대한 언급이 끊임없이 등장합니다. 초등학생때부터 대학교까지 공부를 하다 보면, 다른 과목들도 마찬가지이지만, 수학의 경우 좁은 개념이나 굉장히 깔끔하고 정돈된 개념을 먼저 다루다가 점차 영역을 넓혀 추상적인 개념으로 확장된다는 특징을 어렵지 않게 찾아볼 수 있습니다. 예컨대 선형대수학에서 배우는 벡터공간은 가군(module)이라는 것으로 취급할 수 있는데, 연산이 두 개이기 때문에 일반적인 군이 전혀 아닙니다. 그렇다고 선형대수학에서 당장 벡터를 다루어.. 2024. 5. 13.
위상공간에서 함수의 연속의 정의(Continuous function in topology) 위상수학은 모든 수학 중에서 가장 추상적이고 포괄적이며 일반적인 대상을 다루는 것이라고 볼 수 있습니다. 함수의 연속 개념은 고등학생때부터 줄곧 배워왔던 개념이지만, 위상수학에까지 와야 가장 포괄적인 정의를 만나볼 수 있습니다. 이를 이해하기 위해서는 극한과 연속에 대한 해석학 수준의 개념, 다시 말해 엡실론-델타 논법에 대한 이해와 약간의 차원을 높였을 때 그것이 어떻게 되는지에 대한 개념이 선수적으로 필요합니다. 1. 함수의 연속 1) 정의 정의($T.P$) 2-24) 위상공간에서 연속에 대한 정의1두 위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 $(Y,\mathcal{T}')$ 사이의 함수 $f:X\longrightarrow Y$ 와 점 $x\in X$ 를 생각하자. 함수 $f$ 가 $a$ 에서 '.. 2024. 4. 25.
위상수학에서 극한점, 집적점(limit point, accumulation point, cluster point) 극한점(limit point), 집적점(cluster point or accumulation point)라 불리는 이 친구는 사실 위상수학과 해석학의 딱 중간에 걸쳐 있는 가교 역할을 하는 무시무시한 친구입니다. 몇 번 마주쳐서 공부를 해보신 분들이라면 이 극한점의 개념은 난이도가 어렵지 않아 보이면서도 은근히 까다롭게 뇌에 과부하를 걸리게 만들고 알듯 말듯 헷갈리는 개념이라는 것을 많이 느꼈을 것이라 생각합니다. 실제로 극한점은 위상수학에서 폐포를 정의하거나 닫힌집합과 열린집합을 구분하는데 쓰이긴 하지만, 폐포를 정의하는 방법은 여러가지이고 닫힌집합과 열린집합을 구분하는 일에 꼭 극한점을 끌여들여야 할 필요는 없다고 느낄 수 있습니다. 그래서, 숨겨진 극한점의 정수는 사실 해석학에서의 개념입니다. 극한.. 2024. 4. 21.
위상수학에서 내부, 폐포, 경계, 외부(Interior, closure, boundary, exterior in Topology) 계속해서 '열림'과 '닫힘'이라는 성질을 연구하였으니, 언어적으로 볼 때 이들 개념을 바탕으로 어떤 영역의 경계에 관한 설명을 하는 것임을 예상할 수 있습니다. 열림과 닫힘의 성질을 이용해 주어진 대상의 내부와 경계에 대한 논의를 할 수 있습니다.1. 집합의 내부, 폐포, 경계, 외부 1) 정의 정의($T.P$) 2-18) 내부, 폐포, 경계, 외부의 정의위상공간 $(X,\mathcal{T})$ 와 부분집합 $A\subseteq X$ 를 생각하자.① $A$ 의 '내부(interior)'란 $A$ 에 포함된 모든 열린집합의 합집합으로 정의하며, 기호와 조건제시법으로는 다음과 같이 나타낸다 : $$\begin{align*} \operatorname{int}(A)=A^\circ&:=\displaystyle \.. 2024. 4. 20.
위상수학에서 닫힌집합(Closed set in topology) 여태까지는 줄곧 열린집합이 무엇인지만 설명하고, 위상의 원소를 열린집합이라고 정의하였습니다. 이는 무엇이 '열려'있다는 것인지 처음에 직관적인 납득이 어렵다는 문제를 안고 있습니다. 닫힌집합의 정의를 살펴보면서, 점점 깊이있는 학습을 하다 보면 추상적인 이 정의가 구체적으로 가시적으로 열려있다는 표현과 어떻게 연결되는지 깨닫게 됩니다. 닫힌집합의 정의 역시 처음에 보면 추상적이긴 하지만, 계속 헤아려 보면서 앞으로 나아가는 수밖에 없습니다. 또한, 열린 것과 상대적 열림이 무엇인지 맥락상의 차이가 존재했듯이, 닫힌 것과 상대적으로 닫힌 것의 미묘한 차이를 잡아챌 수 있어야 합니다. 이 글 역시, 일단 가볍게 1차원인 실수선에서의 닫힌집합 정의가 무엇인지 알고 있으면 더욱 좋습니다.  1. 닫.. 2024. 4. 18.
부분공간위상(Subspace topology) 이번 주제는 부분공간위상입니다. 기저의 의미가 선형대수학에서와 위상수학에서가 천차만별이었듯이, 부분공간이라는 비슷한 단어가 들어가 있음에도 불구하고 위상수학에서의 부분공간위상은 선형대수학에서의 그것과 또한 매우 다릅니다. 1. 부분위상 1) 정의 정의($T.P$) 2-15) 부분공간위상과 상대적 열린집합$(X,\mathcal{T})$ 를 위상공간이라 하자. 어떤 $Y\subseteq X$ 에 대하여, 집합족$$\mathcal{T}_Y=\left\{ Y\cap U\mid U\in\mathcal{T} \right\}=\left\{  V\subseteq Y\mid V=Y\cap U\;\text{ for some }U\in\mathcal{T} \right\}$$ 은 $Y$ 위에서의 위상이 되며, '부분공간위상(.. 2024. 4. 17.
곱 위상(Product topology) 이미 위상공간인 두 집합이 제시되었을 때, 이들을 데카르트 곱으로 묶어 집합을 만들고 그 위에서 위상을 만들 수 있습니다. 이에 대해 알아봅시다. 1. 곱 위상 1) 정의 정의($T.P$) 2-13) 곱 위상 $(X,\mathcal{T}),(Y,\mathcal{T}')$ 을 위상공간이라고 하자. 데카르트곱 $X\times Y$ 에서의 '곱 위상(product topology)이란', 모든 각각의 열린집합 $U\subseteq X\;,\;V\subseteq Y$ 들로 이루어진 데카르트곱 $U\times V$ 를 기저원소 $B\in\mathcal{B}$ 로 가지는 기저 $\mathcal{B}=\displaystyle \bigcup_{U\subseteq X,V\subseteq Y}^{}(U\times V)$ .. 2024. 4. 13.
순서위상과 광선(Order topology and ray) 순서위상은, 전순서가 주어진 집합에서 위상을 부여하는 방법에 관련된 것입니다. 따라서 집합론의 전순서 개념을 필히 알고 있어야 하고, 순서위상의 개념을 이용하여 구간(interval)에 대한 정의를 할 수 있게 됩니다. 1.순서위상 1) 구간의 정의 정의($T.P$) 2-10) 구간(intervals) 전순서(선형순서)집합 $(X,\leq)$ 를 생각하자. $a① 열린구간(open interval) : $(a,b)=\{ x\in X \mid a② (오른쪽)반열린구간(half open interval) : $[a,b)]=\{ x\in X\mid a\leq x ③ (왼쪽)반열린구간(half open interval) : $(a,b]=\{ x\in X\mid a④ 닫힌구간(closed interval) : $.. 2024. 4. 10.
위상수학에서 부분기저(Subbasis for a topology) MathJax.Hub.Config({ tex2jax: {inlineMath: [['$','$'], ['\\(','\\)']]}});위상수학에서 기저에 대한 학습을 하게 되면, 정의를 꼼꼼히 살펴보더라도, 기저로부터 위상이나 위상공간은 얼추 만들 수 있을 것 같기도 하나, 위상공간 $X$ 가 주어졌을 때 그럼 기저는 어떻게 찾으라는 것인지의 설명이 부실합니다. 물론, 기저가 주어졌을 때 그 기저로부터 위상공간 $X$ 나 위상 $\mathcal{T}$ 를 만드는 작업 역시 만만치는 않습니다. 실제로는 이와 같이 기저와 위상, 또는 기저와 위상공간의 관계를 들여다보는 것보다, 이 글에서 다룰 부분기저의 개념을 통해 위상이나 위상공간을 완성하는 편이 조금 더 수월합니다. 보다 정확히 말하자면, .. 2024. 4. 7.
위상수학에서 기저(Basis for a Topology) 선형대수학에서 기저는 선형결합을 통해 벡터공간을 구성하는데, 완전히 같은 선상에서 놓고 바라보기엔 차이점이 있으나 위상수학에서도 비슷한 개념으로 기저가 존재합니다. 1. 위상수학에서 기저 1) 정의 소개에 앞서, 알고 있어야 할 것들이 몇가지 있습니다. 교재마다 위상수학의 기저를 정의하는 방식이 몇가지 다른 경우가 있습니다. 이는, 결국 필요충분조건으로 나머지 것들을 정리로 취급하여 증명할 수 있기 때문에 그렇습니다. 그렇기에 어떤 명제를 정의로 삼아 서술해 나갈 것인지는 취향 차이라고 보아도 큰 문제가 없습니다. 하지만, 결국 학습을 하다 보면 기저의 정의 중 아래 정의($T.P$) 2-5-1) 은 어떤 주어진 집합족이 기저임을 '확인'하는, '점검'하는 용도로 많이 쓰이게 된다는 것을 알 수 있습니다.. 2024. 3. 17.
함수의 극한과 엡실론 델타 논법 완전정복(Epsilon-Delta Definition of Limits) 미적분학에서 가장 중요한 세 파트를 뽑으라고 한다면 1) 테일러 급수, 2) 스토크스 정리 그리고 3) 발산 정리입니다. 테일러 급수는 모든 수학에서(그리고 수학과에서도) 중요하고, 스토크스 정리와 발산 정리는 수학적으로도 중요하긴 하지만 무엇보다도 공학과 물리학에서 자연현상을 기술할 때 밥 먹듯이 사용하는 근사한 도구입니다. 당장 맥스웰 방정식만 보아도 발산과 회전으로 점철되어 있고, 유체역학은 말할 것도 없습니다. 그런데, 미적분학에서 가장 이해하기 난해한 단원을 뽑으라고 하면 저는 엡실론-델타 논법을 뽑을 것 같습니다. 일단, 엡실론-델타 논법을 처음 마주했을 때 풀이나 개념이 거의 외계어처럼 보이게 됩니다. 결국 앵무새처럼 해설지와 풀이방식을 외워버리고 얼마 지나지 않아서 여름 방학이 지나면 두뇌.. 2024. 3. 10.
유리수의 조밀성(Density of Rationals) 유리수의 조밀성은 여러 수학 과목의 수많은 정리나 성질을 밝히는 과정에서 상당히 빈번하게 등장합니다. 물론 증명을 매순간 하지는 않고, 성질을 가져다 쓰는 경우가 많습니다. 1. 유리수의 조밀성 정리($R.A$) 1.6) 유리수의 조밀성(Density of rationals) 임의의 $a0$ 라 하자. 아르키메데스 성질 ③에 의하여 $\displaystyle \frac{1}{n} 0$ 에 대해서도 $\displaystyle \frac{1}{n} \max \left\{ \displaystyle \frac{1}{a},\disp.. 2024. 3. 9.
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