반응형 전체 글387 실수의 체 공리, 순서 공리(Field axiom, order axiom in Real number system) 해석학(Analysis)은 잘게 쪼갠 것(쪼갤 석,析)을 푼다(풀 해,解)는 뜻입니다. 잘게, 작게 쪼갠다는 표현을 수학에서 사용하면 보통 무엇이 먼저 떠오르시나요? 고등학교 수학 정도를 공부해보신 분이라면 미분이 먼저 떠오르지 않을까 싶습니다. '미분'은 한자를 보면 '작게 나눈다'라는 뜻이고 '적분'은 '나누어 쌓는다(더한다)'라는 뜻입니다. 실제로 해석학은 미적분학의 심화 버전이라고 할 수 있습니다. 물리학으로 따져보자면 일반물리학에서 현대물리 파트를 양자역학 과목에서 심화하여 배우는 것이나 뉴턴역학 파트를 고전역학 과목에서 심화하여 배우는 것, 그리고 전자기 파트도 역시 전자기학 과목에 가서 심화하여 배우는 것과 비슷합니다. 심화하여 배운다는 것은 학부 과정의 언어로 표현하면 '엄밀하게' 공부한다.. 2023. 3. 10. 나눗셈 정리(Division theorem) 중고교 수학에서 젯수와 피젯수를 몫과 나머지에 관한 식으로 정리한 적이 있습니다. 이제 그 정리가 왜 성립하고, 유일하게 존재하는지를 증명하여 확실히 옳음을 확인해 보겠습니다. 1. 나눗셈 정리 정리($N.T$) 1.4 [나눗셈 정리(Division Theorem)] 임의의 두 정수 $a,b\;(b\ge 1)$ 이 주어졌을 때, 다음의 등식을 만족하는 유일한 정수 $q$ 와 $r$ 이 존재한다. 이들을 각각 '몫(quotient)'과 '나머지(remainder)'이라 부른다. $$a=bq+r\;\;\;\;\; (0\leq r < b)$$ 이 관계를 나눗셈 과정으로 생각하면, $a$ 는 나누어지는 수이니 '피젯수'이고, $b$ 는 나누는 수이니 '젯수'라 한다. 증명) 존재성과 유일성을 각각 순서대로 증명.. 2023. 2. 17. 교환자과 교환관계(Commutator) 교환자는 연산자 또는 행렬에 대해 사용할 수 있는 개념입니다. 두 행렬 또는 연산자 $A,B$ 에 대하여 '교환자(commutator)'는 $$\left[ A,B \right]=AB-BA$$ 로 정의한다. 만일 $\left[ A,B \right]=0$, 즉 $AB=BA$ 이면 두 행렬 또는 연산자는 '교환한다(commute)'고 한다. 교환자는 어떤 상황에서 사용할까요? 우선 그 자체로 간단하게는 교환법칙의 성립 여부를 확인할 수 있습니다. 행렬이나 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 연산자(operator)는 선형함수의 특수한 경우인데, 간단히 말하자면 정의역과 공역이 같은 함수라고 생각하시면 됩니다. 함수의 합성 과정에서도 $f\dot g$ 와 $g\dot f$ 가 일반적으로 같지는 않.. 2023. 2. 9. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식과 해밀토니안 연산자(Time-independent Schrodinger equation and Hamiltonian operator) 파속의 개념, 슈뢰딩거 방정식의 유도를 마쳤으니 이제 슈뢰딩거 방정식을 풀어봅시다.1. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식1) 해밀토니안 연산자 고전역학에서 해밀토니안 $\mathcal{H}=\mathcal{H}(q,p)$ 는 일반화좌표 $q$ 와 운동량 $p$ 에 관한 함수로 기술하며, 운동에너지 $T$ 와 퍼텐셜에너지 $V$ 의 합 $\mathcal{H}(q,p)=T+V$ 로 정의한다. 고전역학에서 해밀토니안은 해밀턴 방정식을 통해 계의 시간 진화(동역학)를 결정한다. 고전역학에서는 해밀토니안이 특정 대칭성을 가지면, 뇌터정리(Noether's Theorem)에 의해 대응되는 보존되는 물리량이 존재한다.정의($Q.M$) 1-6) 해밀토니안 연산자양자역학에서 해밀토니안은 연산자에 해당하며 $\hat{\mat.. 2023. 2. 5. 최대공약수(Greatest common divisor) 약수와 배수, 나눗셈, 나누어 떨어짐에 대해 학습하였다면 최대공약수를 다루지 않을 수가 없습니다. 정수론에서 최대공약수 개념은 무진장 중요하고 빈번히 등장합니다. 1. 최대공약수 1) 공약수 정의($N.T$) 1.4) 공약수 $d\in\mathbb{Z}$ 가 두 정수 $m,n$ 의 '공약수(common divisor)'라는 것은 $d\mid m$ 이고 $d\mid n$ 인 것이다. 공약수의 개념은 별로 새롭거나 어려울 것이 없습니다. 2) 최대공약수 정의($N.T$) 1.5) 최대공약수 자연수 $g$ 가 0이 아닌 두 정수 $a,b$ 의 '최대공약수(greatest common divisor)'라는 것은 다음 세 조건과 필요충분조건이다. ① $g\geq 1$ ② $g\mid a$ 이고 $g\mid b$ .. 2023. 2. 5. 나눗셈과 나누어 떨어짐(Divisibility) 정수론은 영어로 직역하면 '수 이론(Number Theory)'에 해당합니다. 숫자를 연구하는 분야라는 것인데 음수의 경우 양수에 단지 부호만을 바꾸어 준 것에 해당하고, 양수에서 가장 가지런한 숫자들을 모은 것이 자연수에 해당합니다. 그런데 자연수들은 모두 소수와 합성수로 나눌 수 있지요. 그래서 정수론은 사실상 정수 집합을 들여다보되, 구체적으로 들어가면 정수 전체에 대해 골고루 관심을 가지고 있다기보다는 소수와 그들의 연산에 주목하고 있는 분야라고 보면 좋습니다. 정수론에 포함되는 수학 개념들은 중학교 수준에서부터 상당히 많이 등장하며 소수에 관련된 것은 무엇이든 거의 다 정수론의 분야라고 볼 수가 있습니다. 친숙한 개념들을 조금 더 정교하게 다듬어가는 과정들이 등장할 것이기에, 정수론의 기본적 개.. 2023. 2. 5. 특성다항식(Characteristic polynomial) 고유값 문제를 해결하기 위해서는 꼭 특성다항식을 풀 수 있어야 합니다. 그런데 특성다항식이 왜 0이 되어야 하는지, 곧 행렬식이 왜 0이 되어야 하는지를 이해하기 위해서는 행렬의 가역성 또는 선형변환의 영공간에 관한 지식이 반드시 필요합니다. 무작정 외우지 말고 그에 대해서 모두 정리를 해 두었으니 차근차근 이해를 해보시기 바랍니다.1. 특성다항식 1) 정의와 기본 정리 정의($L.A$) 5.3유한차원 벡터공간 $V$ 위에서 정의된 선형연산자 $T$ 에 대해 $V$의 임의의 순서기저 $\beta$ 를 택하자. $\det (T)$ 로 표기하는 $T$ 의 행렬식이란 $T$ 의 순서기저에 대한 행렬표현 $[T]_{\beta}:=A$ 의 행렬식 $\det (A)$ 로 정의한다.정리($L.A$) 5.12유한차원 .. 2023. 2. 5. 선형연산자로 고유값 문제를 해결하기(Eigenvalue problem with linear operator) 여태까지 고유값 문제에 관한 글들은 주로 간단한 벡터(열벡터, 행벡터)와 행렬의 관점에서 설명을 했습니다. 대부분의 공업수학과 수리물리학에서는 그 정도에 관한 지식으로 고유값 문제를 편하게 해결할 수 있습니다. 조금 더 추상적인 대수학적 툴과, 양자역학에서 드러나는 연산자 개념을 통하여 고유값 문제를 해결하려면 선형변환의 관점에서 고유값 문제를 구체화하는 작업이 필요합니다. 이제 연산자를 통해 고유값 문제를 다루는 직접적인 방법을 차근차근 소개하겠습니다. 참고로 수학에서 연산자(operator)란 선형변환 중 정의역과 공역의 벡터공간이 동일한 것을 말합니다. 1. 대각화(Diagonalization) 1) 대각화가능 정의($L.A$) 5.1 유한차원 선형연산자 $T:V\rightarrow V$ 가 대각화.. 2023. 2. 3. 제 3의 아편전쟁 마약(痲藥)이란 인체에 각성, 진통, 마취 등의 효과를 발생시키면서 동시에 장기적으로 금단 현상을 발생시켜 정신적·육체적 폐해를 유발하는 일련의 물질을 가리키는 것이다. 마약은 수많은 사람들의 목숨을 앗아갔고, 역사적으로 거대하고 굵직한 사건들을 발생시키는 요인으로 자리잡아 왔으며 최근엔 G2에 속하는 강대국인 미국과 중국의 경제 분쟁 속에서도 그 모습을 드러내고 있는데, 현재 미국의 18~49세의 젊은 연령층의 사망 원인 1위가 강력한 마약 펜타닐 중독으로 인한 것이 되었을 만큼 사회에 강력한 파장을 불러 일으키고 있다. 일반적으로 마약은 크게 효과를 발생시키는 물질을 자연의 식물로부터 추출하거나 화학적으로 합성하는 방식으로 얻을 수 있다. 예컨대 코카인은 코카나무 잎에서 추출하고, 아편, 모르핀, 헤.. 2023. 2. 3. 2017학년도 수능 가형 30번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. 2023. 2. 3. 2017학년도 수능 가형 20번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. 2023. 2. 3. 2017학년도 9월 가형 30번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. + 풀이에서 'My)'라고 되어 있는 것은 단순히 제가 풀었을 때의 풀이이고, 'sol)'은 제가 참고한 강의나 교재 해설지의 풀이를 말하는 것이라 신경쓰지 않으셔도 됩니다. 2023. 2. 3. 2017학년도 6월 가형 29번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. + 이 문제는 주의할 것이 있습니다. 제가 초록색으로 comment 를 달아놓은 것에 'FTOC'란 미적분학의 기본정리1(Fundamental Theorem of Calculus I) 입니다. 이 용어 자체는 미적분학에서 사용합니다. 고교 과정에서는 '미분과 적분의 관계'라고 교과서에 명시되어 있습니다. 이 개념을 반드시 머리 속에 지니고 있어야 합니다. 교과서나 학교에서 강조를 잘 안하는 것 같은데, 미적분이라는 학문에서 미적분학의 기본정리1,2가 가장 중요한 개념입니다. 잘 모르시겠다면 이 글을 참고하시기 바랍니다. 2023. 2. 3. 2016학년도 수능 수학 B형 21번 모든 풀이법은 사진 안에 적혀 있습니다. 질문이 있으면 댓글로 적어주시면 됩니다. 2023. 2. 3. 육가의 사상과 세종의 역사서 편찬 [2023학년도 6월] * 진나라에 관해 곁들어 읽으면 좋을 만한 글(필자의 주관이 포함되어 있음) 야수진 엽구팽 지록위마 (가) 전국 시대의 혼란을 종식한 진(秦)은 분서갱유를 단행하며 사상 통제를 기도했다. 당시 권력자였던 이사(李斯)에게 역사 지식은 전통만 따지는 허언이었고, 학문은 법과 제도에 대해 논란을 일으키는 원인에 불과했다. 이에 따라 전국 시대의 처럼 다른 사상을 비판적으로 흡수하여 통합 학문의 틀을 보여 준 분위기는 일시적으로 약화되었다. 이에 한(漢) 초기 사상가들의 과제는 진의 멸망 원인을 분석하고 이에 기초한 안정적 통치 방안을 제시하며, 힘의 지배를 숭상하던 당시 지배 세력의 태도를 극복하는 것이었다. 이러한 과제에 부응한 대표적 사상가는 육가(陸賈)였다. 순자의 학문을 계승한 그는 한 고조의 치국 계.. 2023. 1. 15. 비타민 K의 역할 [2023학년도 6월/생명과학] 혈액은 세포에 필요한 물질을 공급하고 노폐물을 제거한다. 만약 혈관 벽이 손상되어 출혈이 생기면 손상 부위의 혈액이 응고되어 혈액 손실을 막아야 한다. 혈액 응고는 섬유소 단백질인 피브린이 모여 형성된 섬유소 그물이 혈소판이 응집된 혈소판 마개와 뭉쳐 혈병이라는 덩어리를 만드는 현상이다. 혈액 응고는 혈관 속에서도 일어나는데, 이때의 혈병을 혈전이라 한다. 이물질이 쌓여 동맥 내벽이 두꺼워지는 동맥 경화가 일어나면 그 부위에 혈전 침착, 혈류 감소 등이 일어나 혈관 질환이 발생하기도 한다. 이러한 혈액의 응고 및 원활한 순환에 비타민 K가 중요한 역할을 한다. 비타민 K는 혈액이 응고되도록 돕는다. 지방을 뺀 사료를 먹인 병아리의 경우, 지방에 녹는 어떤 물질이 결핍되어 혈액 응고가 지연된다는 사실을 발.. 2023. 1. 15. 매튜 효과 [2023학년도 6월/인문학] 글을 읽으려면 글자 읽기, 요약, 추론 등의 읽기 기능, 어휘력, 읽기 흥미나 동기 등이 필요하다. 글 읽는 능력이 발달하려면 읽기에 필요한 이러한 요소를 잘 갖추어야 한다. 읽기 요소들 중 어휘력 발달에 관한 연구들에서는, 학년이 올라감에 따라 어휘력이 높은 학생들과 어휘력이 낮은 학생들 간의 어휘력 격차가 점점 더 커짐이 보고되었다. 여기서 어휘력 격차는 읽기의 양과 관련된다. 즉 어휘력이 높으면 이를 바탕으로 점점 더 많이 읽게 되고, 많이 읽을수록 글 속의 어휘를 습득할 기회가 많아지며, 이것이 다시 어휘력을 높인다는 것이다. 반대로, 어휘력이 부족하면 읽는 양도 적어지고 어휘 습득의 기회도 줄어 다시 어휘력이 상대적으로 부족하게 됨으로써, 나중에는 커져 버린 격차를 극복하는 데에 많은 노력이 필.. 2023. 1. 15. 별의 스펙트럼 세기, 등가폭(Equivalent width) 천문학에서는 별의 스펙트럼을 관찰할 때 선폭과 선의 세기 관찰하는 일이 빈번합니다. 이들로 상당히 많은 물리·화학적 특징을 파악할 수 있기 때문입니다. 선폭과 선의 세기를 결정하는 요인들은 몇 가지 정리가 되어 있고 그것들을 소개해 보려고 합니다. 그리고 선폭과 선의 세기는 대학수학능력시험 과학탐구 영역 지구과학1에서도 계속해서 등장하고 있습니다. 바로 '표면온도가 같은 별 중 광도 계급이 큰 것의 흡수선의 선폭이 더 좁다'라는 것입니다. 교육과정 내에서 이에 대한 자세한 원리에 대해서는 학습하지 않습니다. 본 게시글의 수준은 대학교 학부 수준이지만, 특별히 어려운 계산이나 원리가 들어 있지 않기 때문에 호기심을 해결하고 싶으신 고등학생 분들도 충분히 따라 이해할 수 있다고 생각합니다. 그러나 최소한 고.. 2023. 1. 6. 방향도함수와 그래디언트(Directional derivative and Gradient) 과학과 공학에서 사용하는 미분연산자 중 으뜸인 것이 바로 나블라(Nabla) 연산자입니다. 스칼라 함수에 이 기호 $\nabla$ 를 달게 되면 구배(勾配), 기울기벡터의 의미를 가지게 되고 이 기호는 나블라(nabla), 델(del)이라고도 부르는데, 보통 기울기의 의미를 가질 때는 단순히 그래디언트라고 부르는 경우가 흔합니다. 이는 고등학교 때 배웠던 여러 다항함수, 초월함수의 접선의 기울기를 구하는 것과 비슷하긴 하지만, 그보다 조금 더 넓은 의미를 가지는 미분 연산자(operator)의 개념입니다. 또한 스칼라를 벡터로 만들어주는 연산자이기 때문에 벡터 연산자라 부르기도 합니다. 자연현상과 기술을 나타내는 수많은 개념들은 벡터로 구성되기 때문에, 벡터에 관해 미분하고 적분하는 벡터 미적분학에서 그.. 2023. 1. 6. 등자(Stirrups)가 주는 잠재력에 관한 교훈 '등자(鐙子, Stirrups)'란 말을 타는 사람인 기수가 안장에 앉고 양쪽 두 발을 걸어 승마시 좌우 방향의 균형을 잡게 하고, 승마 과정에서 발을 디딛을 때 사용하는 도구이다. 우리에게 더 익숙한 말 안장은 말 등에 설치하여 기수가 앞뒤 방향으로 균형을 잡아 안정적으로 승마를 돕는 도구이다. 안장이 없다면 즉시 기수는 달리는 말에서 관성과 흔들림으로 인해 앞뒤 방향 균형을 잡지 못하고 떨어져 큰 부상을 입기 쉬웠기에 안장은 말의 조련과 더불어 거의 동시에 사용된 반면, 등자는 그렇지 않다. 그런데 미국의 역사학자 린 화이트 주니어에 의하면 등자는 단순히 승마의 안전과 효율을 확보하는 것에 그치지 않고 이 기술 자체로 아주 큰 사회의 변화와 역사의 변수가 싹텄다고 주장한다. 그 이유는 무엇일까? 5세.. 2023. 1. 2. 이전 1 2 3 4 5 6 7 8 ··· 20 다음 반응형
