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유비추론과 동물실험 [2017학년도 6월] (가) 유비 논증은 두 대상이 몇 가지 점에서 유사하다는 사실이 확인된 상태에서 어떤 대상이 추가적 특성을 갖고 있음이 알려졌을 때 다른 대상도 그 추가적 특성을 가지고 있다고 추론하는 논증이다. 유비 논증은 이미 알고 있는 전제에서 새로운 정보를 결론으로 도출하게 된다는 점에서 유익하기 때문에 일상생활과 과학에서 흔하게 쓰인다. 특히 의학적인 목적에서 포유류를 대상으로 행해지는 동물 실험이 유효하다는 주장과 그에 대한 비판은 유비 논증을 잘 이해할 수 있게 해 준다. (나) 유비 논증을 활용해 동물 실험의 유효성을 주장하는 쪽은 인간과 실험동물이 유사성을 보유하고 있기 때문에 신약이나 독성 물질에 대한 실험동물의 반응 결과를 인간에게 안전하게 적용할 수 있다고 추론한다. 이를 바탕으로 이들은 동물 실험.. 2023. 12. 13.
기수의 덧셈과 곱셈(Addition and product of cardinal number) 이제 기수끼리의 덧셈과 곱셈을 해보려고 합니다. 무한집합의 기수를 연산할 때는 실수의 덧셈과 곱셈과는 차이가 있다는 점을 주의해야 합니다. 오늘의 키워드는 '서로소'입니다. 1. 기수의 덧셈 정의($S.T$) 4-7) 기수의 덧셈(Addition of cardinality) $a,b$ 를 기수라 하자. 이때 두 기수의 합을 $a+b:=\left| A\cup B \right|$ 로 정의하고, 여기서 두 집합 $A,B$ 는 서로소이며 각각의 기수는 $\left| A \right|=a\;,\;\left| B \right|=b$ 이다. 그러니까 기수의 덧셈을 하려면 더하기 전 두 집합이 서로소여야 합니다. 주어진 두 기수 $a,b$ 에 대하여 이를 기수로 갖는 서로소인 두 집합을 반드시 택할 수 있다고 장담할 .. 2023. 11. 27.
칸토어의 정리(Cantor's Theorem) 여태까지 비가산집합의 예시를 몇 개 다루었는데, 실수보다 큰 기수를 갖는 무한집합을 보지는 못했습니다. 기수에 대한 기본적인 개념을 습득하면 이제 칸토어의 정리로 넘어갈 수 있고, 나중에 이를 활용해서 실수보다 더 큰 기수를 가지는 집합이 있는지를 확인해볼 수 있습니다. 1. 칸토어의 정리 정리($S.T$) 4.18) 칸토어의 정리(Cantor's Theorem) 다음 두 명제를 모두 칸토어의 정리라고 한다. 둘은 동치이다. ① 임의의 집합 $X$ 에 대해서, $X$ 의 기수는 $X$ 의 멱집합(=$X$ 의 모든 부분집합들을 원소로 같는 집합)의 기수보다 항상 작다. 즉, $$\left| X \right| < \left| \mathcal{P}(X) \right|=2^{\left| X \right|}$$ .. 2023. 11. 26.
집합의 기수와 칸토어-슈뢰더-베른슈타인 정리(Cardinal number of set and Cantor-Schröder-Bernstein Theorem) 이제 기수를 도입하여 무한집합 사이의 가산집합, 비가산집합에 대해 나눌 것이고, 가산집합의 가부번집합 중에서, 또 비가산집합들 중에서도 무한집합의 크기나 힘의 차이가 있는지를 알아볼 것입니다. 예를 들어 자연수 집합보다 작은 가부번집합이 있을까요? 실수 집합보다 큰 비가산집합이 있을까요? 유리수보다는 클 것 같고 실수보다는 작을 것 같은 무한집합이 있을까요? 이러한 답을 찾아보기 위해 기수라는 개념이 필요합니다. 1. 기수의 정의와 공리 정의($S.T$) 4-4) 기수의 공리 집합 $A$ 에 대한 '기수(cardinal number or cardinality)'는 다음의 공리를 만족시키는 수로 정의한다. A1) 모든 집합 $A$ 는 그 집합 자신에 부여되는 기수를 부여받고, $\mathrm{Card}A$.. 2023. 11. 26.
칸토어의 대각선 논법으로 실수가 비가부번집합임을 보이기(Real number is nondenumerable by using Cantor's diagonal method) 칸토어의 대각법은 수학에서 몇가지 중요한 정리들을 증명하는데 사용됩니다. 매우 참신한 아이디어라 이를 어떻게 떠올렸을지 참 신기한 생각이 많이 듭니다. 오늘은 칸토어의 대각법을 이용해서 실수 집합이 무한집합이며 가부번집합이 아님을 증명할 것입니다. 결과를 먼저 설명하면 여태까지 자연수, 정수, 유리수가 가부번집합임을 보였는데, 실수는 비가부번 즉 비가산집합이고, 무리수 집합 역시 그러합니다. 공교롭게도 이 수학 개념이 2024년 수능특강 독서의 과학/기술 2번째 지문으로 수록되어 있습니다. 수학적으로 증명을 하는 과정은 고등학생에게 대단한 도전이 될 수 있습니다. 그럼에도 제가 고등학생 수준으로 약간 눈높이를 낮추어 영상을 만든 것이 있습니다. 이곳을 참고하시기 바랍니다. 1. 실수는 비가산집합이다. 정.. 2023. 11. 25.
가부번집합과 가산집합(Denumerable and countable set) 무한집합에 대한 논의를 마쳤기 때문에 이제 본격적으로 집합의 원소를 어떻게 셀 지에 대해 연구해 보려고 합니다.1. 집합의 대등 정의($S.T$) 4-2) 집합의 대등두 집합 $X,Y$ 에 대하여 일대일대응 $f:X\rightarrow Y$ 가 존재할 때, $X$와 $Y$는 '대등(Equipotent)'하다고 하며 $X\sim Y$ 로 나타낸다. $f:X\rightarrow Y$ 에 대해 $X$ 와 $Y$ 가 대등하면, 간단히 $f:X\sim Y$ 로 표기한다. 일대일 대응을 만들 수 있는 두 집합 사이의 관계를 대등이라고 정의합니다. 예를 하나 들어보자면 $\mathbb{N}$ 과 $\mathbb{N}-\left\{ 1 \right\}$ 은 같은 집합이 아니지만, 일대일대응인 함수를 만들 수 있으므로 .. 2023. 11. 25.
개념주의와 비개념주의 [2017학년도 LEET] 우리는 빨갛게 잘 익은 사과를 보고서, “그래, 저 사과 맛있겠으니 가족과 함께 먹자.”라는 판단을 내린다. 이때 우리는 빨간 사과에 대한 감각 경험을 먼저 한다. 그러고 나서, “저기 빨간 사과가 있네.”라거나, “사과가 잘 익었으니 함께 먹으면 좋겠다.”라는 판단을 내린다. 이것은 보는 것이 믿는 것에 대한 선행 조건임을 의미한다. 감각 경험에 대한 판단과 추론은 고차원의 인지 과정이며 개념적 절차이고, 판단과 추론이 개입하기 이전의 감각경험은 비개념적 내용을 가질 뿐이다. 이와 같이 비개념적인 감각경험이 먼저 주어진 후에 판단과 추론이 이어지는 것을 정상적인 과정으로 보는 견해를 ‘비개념주의’라고 부른다. 비개념주의는 우리가 알아채는 것보다 실제로 더 많은 것을 본다는 점에 주목한다. 예를 들어 우.. 2023. 11. 21.
유한집합과 무한집합(Finite and Infinite sets) 집합 $A$의 원소의 개수를 중고교 수학에서 $n(A)$ 라 표기합니다. 그리고 원소의 개수는 유한집합에 대해 셀 수 있다고 말합니다. 무언가의 개수를 셀 수 있다는 말을 하기 위해서는, 일단 개수에는 한계가 존재해야 하고, 정확히 몇 개인지 자연수를 통해서 나타내야 합니다. 예를 들어서 개수를 셀 때 3.5개나 $\sqrt{2}$ 개라는 표현은 좀처럼 사용하지 않습니다. 그러면 무한집합에 대해서는 어떠할까요? 무한집합의 원소의 개수는 셀 수 없는 것처럼 보입니다. 끝이 없기 때문이죠. 하지만 이러한 직관이 수학적으로 꼭 옳지 않을 수 있다는 사실에 대해 분석해 보려고 합니다. 예를 들어, 수직선에서 $[0,100]$을 생각해봅시다. 자연수의 개수와 정수의 개수는 분명이 셀 수 있고 유한합니다. 하지만 .. 2023. 11. 16.
동치관계와 동치류(Equivalence relation, equivalence class) 데카르트 곱을 정의하였으니 이제 그로부터 관계를 정의한 뒤, 동치관계와 동치류에 대해 설명해 보겠습니다. 동치관계의 개념은 앞으로 고학년에서 다룰 모든 수학의 과목에서 빈번히 등장합니다. 동치류와 동치관계의 개념을 정확히 설명하기 전에 다음 글을 꼭 기억하시기 바랍니다. 직관적인 이해를 위해 제가 만든 것입니다. 1. 관계 정의($S.T$) 3-2) 관계(Relations)집합 $A$에서 $B$로의 '관계(relations)'란 $\mathcal{R}$ 로 표기하고, 두 집합의 데카르트 곱 $A\times B$ 의 하나의 부분집합에 해당한다. 이때 순서쌍 $(a,b)\in \mathcal{R}$ 을 $a\mathcal{R} b$ 로 나타낸다. 이는 '$a$ 가 $b$ 와 $\mathcal{R}$ 의 관계.. 2023. 10. 15.
두 집합의 데카르트 곱(Cartesian product of two sets) 집합론에서 앞부분은 여러 집합의 종류(합집합, 교집합, 차집합, 여집합 등)을 수리 논리학에 입각하여 정의하고, 그들 사이에서 성립하는 몇가지 성질들을 연구합니다. 수리 논리는 일반적인 철학에서의 논리와 거의 유사하고, 집합에 관한 개념 대부분은 중고교 수학에서 등장하는 내용이니 큰 어려움이 없습니다. 그리고 나서 처음으로 부딪히는 진짜 대학교 수학 내용은 데카르트 곱에서 관계, 동치관계라 볼 수 있습니다. 동치관계와 동치류는 집합론에서 학습하면 끊임없이 이후 학부 과목에서 마주치게 되고 기이하고 신비한 수학적 성질을 탐구하는데 훌륭한 도구로 사용됩니다. 이 개념을 제대로 이해해 봅시다. 1. 두 집합의 데카르트 곱 데카르트곱은 관계를 정의하기 위해 필요한 개념이며, 더 이상 교집합, 합집합, 차집합처럼.. 2023. 10. 14.
정적분의 정의와 적분가능성(Integral, intergrablity) 리만합을 학습하면 이제 정적분을 정의하는 것이 가능합니다. 1. 적분가능성 정의($A.N$) 5-3) 리만 적분가능(Riemann intergrable) $a0$ 에 대해 $$U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon$$ 를 만족하는 $[a,b]$ 의 분할 $P$ 가 존재하는 것이다. 이 정의는 정의($A.N$) 5-2) 에서 설명한 것과 같이 $f$ 의 부호에 무관하게 성립하는 식입니다. 언제나 $L(f,P)\leq U(f,P)$ 이기 때문에, 위 정의에서 $L(f,P)\leq U(f,P)=\left| U(f,P)-L(f,P)\right|$ 으로 취급해도 상관이 없습니다. 다만 이 정의를 언제나 적분가능성의 확인 용도로 사용하기에는 불편한 점이 있겠지요. 그래서 다음 정리를 사용합니다. 정리($.. 2023. 5. 20.
리만합(Riemann sum) 적분의 세계는 미분보다 복잡하고 이해하기도, 계산하기도 어렵습니다. 적분의 종류는 크게 르베그 적분, 리만 적분 두개로 나누어 볼 수 있는데, 후자의 것이 우리가 고등학교때부터 배우던 개념입니다. 제가 생각했을 때 처음 적분을 배울 때는 두 가지 관점이 중요합니다. 첫번째는 부정적분과 정적분을 구분할 수 있어야 한다는 것입니다. 부정적분은 단순히 역도함수를 구하는 과정이라고 받아들이면 편합니다. 그런데 진정한 적분은 정적분이라고 할 수 있지요. 정적분의 개념을 받아들일 때는 또 두가지 개념이 중요합니다. 첫번째는 그것이 구분구적법에서 출발하여 정의된 것이라는 점이고, 나머지 하나는 비로소 미적분학의 기본정리를 통해 더이상 구분구적법 없이 넓이를 구할 수 있다는 관점입니다. 이 모든 것은 고등학교 수학에서.. 2023. 5. 20.
아르키메데스 성질(Archimedean principle) 아르키메데스 성질은 정수론, 대수학, 해석학에서 자주 사용되며 실수의 완비성 공리의 따름정리의 한 예입니다. 아르키메데스 성질은 아래의 박스에서 ①이 가장 일반화된 식에 해당하는데, ①을 조금 쉽게 다듬하면 더 직관적으로 받아들일 수 있는 ②와 ③이 나온다고 할 수 있습니다. 증명은 여러 방법이 있겠으나 보다 쉬운 방법으로 ②를 해서 일반화된 ①을 뽑고 그로부터 ③을 도출할 것입니다. 가장 일반적인 아르키메데스 성질을 말하면 보통 ①을 통해 표현합니다. 정리($A.N$) 1.5 [아르키메데스 성질(Archimedean principle)] ① 임의의 $\varepsilon>0$ 에 대하여 어떤 임의의 $M\in\mathbb{R}$ 이 주어졌다고 하자. 그러면 $N\varepsilon >M$ 을 만족하는 .. 2023. 4. 16.
이항연산과 마그마(Binary operations and Magma) 수학을 크게 해석학, 대수학, 기하학으로 나눈다고 하였을 때 대수학은 가장 역사가 깊은 분야입니다. 중학교와 고등학교에 입학하였을 때 1학년 1학기에 등장하는 내용도 모두 대수학에 관련된 내용으로 시작합니다. 보통 자연계는 학부 과정에서 선형대수학 정도를 다루지만, 대수에 대한 심도 있는 분석은 추상대수학(Abstract Algebra)에서 군,환,체를 다루는 것으로 시작합니다. 대수학은 다른 분야에 비해 복잡한 계산이나 산수가 비교적 적은 편입니다. 대부분 정의를 바탕으로 연역적 논리를 통해 정리를 만들어 내는 과정을 취하고 있습니다. 1. 이항연산과 마그마(Binary operation and Magma) 1) 정의 정의($A.A$) 2-1) 이항연산과 닫혀있음(Binary operation and .. 2023. 4. 15.
실수의 완비성 공리(Completeness axiom) 실수를 건설하는 세 가지 공리 중 마지막으로 소개할 것이 완비성 공리입니다. 완비성 공리를 사용하면 정확히 유리수와 실수의 구분이 가능해집니다. 그 까닭은 유리수는 완비적이지 않기 때문입니다. 개념을 소개하고, 왜 그러한지 설명해 보겠습니다. 공리($A.N$) 1.3 [실수의 완비성 공리(Completeness axiom)] 공집합이 아닌 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 위로 유계이면, $E$ 는 반드시 유한한 최소상계를 갖는다. 우리가 알고 있는 수들의 집합은 항상 공리를 통해 건설됩니다. 예를 들면 보통 자연수는 페이노 공리계를 사용하고, 실수의 경우는 여태까지 소개한 체 공리, 순서 공리, 완비성 공리를 만족하는 집합으로 정의됩니다. 그렇다면 이 세 공리를 만족하는 수 집합은 오.. 2023. 3. 11.
유계와 상한, 하한(Bounded, supremum, infimum) 대학교 1학년의 미적분학에서 수열의 극한을 다룰때 즈음 유계에 관한 설명이 등장하는 경우가 있습니다. 교과서마다 설명 여부가 다를 수 있지만 배운다고 할지라도 아주 자세하게 다루지는 않습니다. 집합에 대해 유계의 개념과, 상한 및 하한은 이후 고급 수학 분야에서 아주 흔하게 등장하는 개념이며 어렵지 않기 때문에 정확히 잘 정리하고 넘어가는 것이 중요합니다. 뜻 자체도 번역이 잘 되어 있는 편이기 때문에 직관적으로 받아들이는 것도 쉽습니다. 1. 유계, 상한과 하한 1) 정의 정의($A.N$) 1-1 집합 $E\subseteq \mathbb{R}$ 이 공집합이 아니라고 가정하자. ① 집합 $E$ 가 '위로 유계(bounded above)'라는 것은 모든 $a\in E$ 에 대하여 $a\leq M$ 을 만족.. 2023. 3. 11.
실수의 체 공리, 순서 공리(Field axiom, order axiom in Real number system) 해석학(Analysis)은 잘게 쪼갠 것(쪼갤 석,析)을 푼다(풀 해,解)는 뜻입니다. 잘게, 작게 쪼갠다는 표현을 수학에서 사용하면 보통 무엇이 먼저 떠오르시나요? 고등학교 수학 정도를 공부해보신 분이라면 미분이 먼저 떠오르지 않을까 싶습니다. '미분'은 한자를 보면 '작게 나눈다'라는 뜻이고 '적분'은 '나누어 쌓는다(더한다)'라는 뜻입니다. 실제로 해석학은 미적분학의 심화 버전이라고 할 수 있습니다. 물리학으로 따져보자면 일반물리학에서 현대물리 파트를 양자역학 과목에서 심화하여 배우는 것이나 뉴턴역학 파트를 고전역학 과목에서 심화하여 배우는 것, 그리고 전자기 파트도 역시 전자기학 과목에 가서 심화하여 배우는 것과 비슷합니다. 심화하여 배운다는 것은 학부 과정의 언어로 표현하면 '엄밀하게' 공부한다.. 2023. 3. 10.
나눗셈 정리(Division theorem) 중고교 수학에서 젯수와 피젯수를 몫과 나머지에 관한 식으로 정리한 적이 있습니다. 이제 그 정리가 왜 성립하고, 유일하게 존재하는지를 증명하여 확실히 옳음을 확인해 보겠습니다. 1. 나눗셈 정리 정리($N.T$) 1.4 [나눗셈 정리(Division Theorem)] 임의의 두 정수 $a,b\;(b\ge 1)$ 이 주어졌을 때, 다음의 등식을 만족하는 유일한 정수 $q$ 와 $r$ 이 존재한다. 이들을 각각 '몫(quotient)'과 '나머지(remainder)'이라 부른다. $$a=bq+r\;\;\;\;\; (0\leq r < b)$$ 이 관계를 나눗셈 과정으로 생각하면, $a$ 는 나누어지는 수이니 '피젯수'이고, $b$ 는 나누는 수이니 '젯수'라 한다. 증명) 존재성과 유일성을 각각 순서대로 증명.. 2023. 2. 17.
교환자과 교환관계(Commutator) 교환자는 연산자 또는 행렬에 대해 사용할 수 있는 개념입니다. 두 행렬 또는 연산자 $A,B$ 에 대하여 '교환자(commutator)'는 $$\left[ A,B \right]=AB-BA$$ 로 정의한다. 만일 $\left[ A,B \right]=0$, 즉 $AB=BA$ 이면 두 행렬 또는 연산자는 '교환한다(commute)'고 한다. 교환자는 어떤 상황에서 사용할까요? 우선 그 자체로 간단하게는 교환법칙의 성립 여부를 확인할 수 있습니다. 행렬이나 연산자는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않습니다. 연산자(operator)는 선형함수의 특수한 경우인데, 간단히 말하자면 정의역과 공역이 같은 함수라고 생각하시면 됩니다. 함수의 합성 과정에서도 $f\dot g$ 와 $g\dot f$ 가 일반적으로 같지는 않.. 2023. 2. 9.
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식(Time-independent Schrodinger equation) 파속의 개념, 슈뢰딩거 방정식의 유도를 마쳤으니 이제 슈뢰딩거 방정식을 풀어봅시다. 1. 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 1차원 슈뢰딩거 방정식을 보면 시간에 관한 편미분이 존재하므로 기본적으로 슈뢰딩거 방정식은 시간에 무관하지 않습니다. 즉 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식입니다. $$i\hbar\,\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial ^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V(x)\Psi(x,t) \;\;\;\;\;\cdots \;\;\;\mathrm{(1-dim\;Scr\ddot{o}dinger \; eqaution)}$$ 문제가 되는 것은 퍼텐셜입니다. 슈뢰딩거 방정식은 퍼텐셜의 종류에 따라 정확한 해.. 2023. 2. 5.

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