리만합(Riemann sum)

적분의 세계는 미분보다 복잡하고 이해하기도, 계산하기도 어렵습니다. 적분의 종류는 크게 르베그 적분, 리만 적분 두개로 나누어 볼 수 있는데, 후자의 것이 우리가 고등학교때부터 배우던 개념입니다. 

 

제가 생각했을 때 처음 적분을 배울 때는 두 가지 관점이 중요합니다. 첫번째는 부정적분과 정적분을 구분할 수 있어야 한다는 것입니다. 부정적분은 단순히 역도함수를 구하는 과정이라고 받아들이면 편합니다. 

 

그런데 진정한 적분은 정적분이라고 할 수 있지요. 정적분의 개념을 받아들일 때는 또 두가지 개념이 중요합니다. 첫번째는 그것이 구분구적법에서 출발하여 정의된 것이라는 점이고, 나머지 하나는 비로소 미적분학의 기본정리를 통해 더이상 구분구적법 없이 넓이를 구할 수 있다는 관점입니다. 이 모든 것은 고등학교 수학에서도 등장하지만 그 진정한 의미를 알고 사용하는 학생은 많지 않습니다. 이번 챕터의 목적은 차근차근 미적분학의 기본정리의 증명까지 나아가는 것입니다.

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1. 리만 정적분 : 구분구적법에서 시작

 

1) 리만합, 구분구적법

 

정의($A.N$) 5-1) 구간의 분할(Partition)
$a,b\in\mathbb{R}$ 이고 $a<b$ 라 하자.

① 닫힌구간 $[a,b]$ 의 '분할(partition)'이라는 것은 $P=\left\{ x_0,x_1,\cdots ,x_n \right\}$ 과 같은 점들의 집합을 말하며, 여기서 $a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ 이다.

② 분할 $P=\left\{ x_0,x_1,\cdots ,x_n \right\}$ 의 '크기(norm)'란 다음 숫자를 뜻한다.
$$\left\| P \right\|=\displaystyle\max_{1\leq j\leq n}\left| x_j-x_{j-1} \right|$$
③ 분할 $\left\| P \right\|=\displaystyle\max_{1\leq j\leq n}\left| x_j-x_{j-1} \right|$ 에 대한 '세분(細分, refinement)'이란 같은 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 $P\subseteq Q$ 인 분할 $Q$ 를 말한다.
동일한 닫힌구간에 대한 두 분할 $Q$ 와 $P$ 에 대하여, $\left| P \right|<\left| Q \right|$ 인 경우 $Q$ 는 $P$ 보다 '가늘다(finer)'고 한다.

 

구간 $Q$ 가 $P$ 보다 가늘다(finer)는 것은 예를 들어 똑같은 닫힌구간 $[a,b]$ 에 대해 10번 쪼깨 만든 것이 $P$ 라면, $Q$ 는 10번 이상을 쪼개서 만들었다는 것입니다. 쉽죠?

 

그런데 세분(refinement)이라는 개념은 조금 다른데, $P$ 의 점들을 $Q$ 가 모두 포함하고 있다는, 부분집합의 개념에 해당합니다. 세분과 가늘다의 두 개념은 구분할 필요가 있습니다. 예를 들어 동일한 닫힌구간에 대해 쪼갠 횟수인 즉 $x$ 값들의 개수를 통해서는 무엇이 더 가는지를 바로 판단할 수 있습니다. 만일 $Q$ 가 $P$ 보다 가늘다면, $\left| P \right|<\left| Q \right|$ 일 것이고, 그런데 $P$ 에 포함되는 모든 $x$ 값들이 $Q$ 에 반드시 포함된다고 단정할 수는 없겠지요? 만일 모두 포함된다면, $Q$ 는 $P$ 의 세분입니다. 하지만 그렇지 않는다면 세분은 아닌 것입니다. 예컨대 $Q$ 는 두칸씩 건너가면서(1,3,5,7,9) 다섯으로 분할하였고 $P$ 는 3칸씩 건너가면서(1,4,7,10) 넷으로 분할하였다면, $Q$ 는 $P$ 보다 가늘지만 $P$ 의 모든 $x$ 값을 포함하고 있지는 않으므로 부분집합 관계가 아니라서, 세분이 아닙니다.

 

정리하면, $P\cup Q=Q$ 이면 $P\subseteq Q$ 라는 것이고, 이 경우 $Q$ 는 $P$ 의 세분이며 $P$ 보다 가늡니다. 하지만 부분집합이 아닌 경우에는 $Q$ 가 $P$ 보다 가늘긴 하지만, 세분은 아니라는 것입니다.

 

 

이제 정적분을 정의할 준비를 하려고 합니다. 정적분을 정의하는 순서는 다음과 같이 요약됩니다.

 

1) 분할을 만든다 ==> 2) 리만합을 세운다 ==> 3) 리만합의 하한(inf) 또는 상한(sup) 값을 택한다 ==> 4) (정적분의 값이 존재하는 한 = 적분가능한 한) 그 값은 정적분과 같다. 이는 곧, 리만합의 극한이다.

 

이 과정에는 어디에도 도함수의 역도함수를 구하는 과정인 부정적분이 들어가지 않습니다. 다시 한번 말하지만 정적분의 계산은 무작정 $F(a)-F(b)$ 로 하는 것이 아니라 구분구적법에서 시작하는 것입니다.

 

[그림 1] 고등학교 과정에서는 이 상태를 '왼쪽 높이 잡기'라고 한다. 왼쪽 높이 잡기를 하면 정적분 값에 비해 사각형 면적의 합의 값이 더 작고, 오른쪽 높이 잡기를 하면 거꾸로 사각형 면적의 값이 정적분 값보다 크다. 대학교 수학에서는 왼쪽 또는 오른쪽 높이를 잡기 보다는 주어진 분할에 대해서 최대 높이 잡기를 하거나 최소 높이 잡기를 한다. 이 두가지가 각각 아래 정의에서 상합과 하합에 해당한다.

 

정의($A.N$) 5-2) 리만합(Riemann sum)
$a,b\in\mathbb{R}$ 이고 $a<b$ 라 하자. 닫힌구간 $[a,b]$ 에 대하여 $a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b$ 일 때, 대한 분할 $P=\left\{ x_0,x_1,\cdots ,x_n \right\}$ 을 고려하자. 여기서 $\Delta x_j:=x_j-x_{j-1}\;\;(j=1,2,\cdots , n)$ 이다. 마지막으로 함수 $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ 이 유계라고 하자.^[각주:1]

① 분할 $P$ 위에서 함수 $f$ 의 '상합(upper Riemann sum)'이란 값
$$U(f,P):=\sum_{j=1}^{n}M_j(f)\Delta x_j$$  을 말하고, 여기서
$$M_j(f):=\sup f(\left[ x_{j-1},x_j \right])=\sup _{t\in \left[ x_{j-1},x_j \right] }f(t)$$  이다.

② 분할 $P$ 위에서 함수 $f$ '하합(lower Riemann sum)'이란 값
$$L(f,P):=\sum_{j=1}^{n}m_j(f)\Delta x_j$$  을 말하고, 여기서
$$m_j(f):=\inf f(\left[ x_{j-1},x_j \right])=\inf _{t\in \left[ x_{j-1},x_j \right] }f(t)$$  이다.

 

주어진 분할에 대해서, 각각의 한 칸 즉 $\Delta x_j$ 들이 존재할 것입니다. 이 $\Delta x_j$ 에서, 함숫값이 가장 높은 값을 하나 택하여 그것을 높이로 잡는 것이 상합의 개념이고, 함숫값이 가장 낮은 값을 택하여 그것을 사각형의 높이로 잡는 것이 하합의 개념입니다. 따라서 저는 상합을 '최대 높이 잡기', 하합은 '최소 높이 잡기'라고 부를 예정입니다. 주의할 점은 상합과 하합이 곧바로 사각형의 면적이 되는 것이 아니며, 상합과 하합이 면적과 같은 의미를 가지려면 주어진 함수 $f$ 가 $f>0$ 인 경우에 한합니다.

 

실제로 위 정의를 할 때 $f$ 가 $f>0$ 일 때 $f$ 는 증가함수여도 될 뿐만 아니라 감소함수여도 됩니다. $f$ 가 둘 중 무엇이든, 정의에 의해 상합의 값이 항상 하합의 값보다 크게 됩니다.^[각주:2] $f>0$ 이면 이 둘은 본질적으로 사각형들의 넓이 합이기 때문입니다.

 

하지만 $f<0$ 이 되면 어떻게 될까요? 리만합의 정의를 보면, $M_j(f)$ 나 $m_j(f)$ 는 모두 함숫값이기 때문에 이들도 모두 음수가 됩니다. 함숫값이 음수가 되면, 예를 들어 어떤 구간에서 $-3\leq f(k) \leq -1$ 인 경우 $M_j(f)=-1$ 인 것이고 $m_j(f)=-3$ 이 되는 것이기 때문에 사각형 넓이 절댓값에 음수가 붙게 됩니다. 즉 $f<0$ 인 경우에도 여전히 상합의 값이 하합의 값보다 큰데, 그 이유는 사각형의 면적만 놓고 보면 하합의 방식이 상합의 방식보다 크지만 $f<0$ 이라 상합과 하합은 음수가 되므로, 상합>하합이 되는 것입니다.^[각주:3]

 

[그림 2] 2007학년도 9월 수리 (가) 12번

 

고등학교 때는 교과서나 평가원 기출문제들을 잘 살펴보면 왼쪽 높이 잡기 또는 오른쪽 높이 잡기 중 하나를 선택합니다. 어차피 극한을 때릴 것이라 이 사각형들을 무수히 많이 쪼개면 정적분의 값에 사각형 넓이 합이 수렴한다는 논리를 적용합니다. 그 경우에는 주어진 함수가 증가함수인 경우 왼쪽 높이 잡기 < 정적분 < 오른쪽 높이 잡기가 되고, 감소함소인 경우는 오른쪽 높이 잡기 < 정적분 < 왼쪽 높이 잡기가 됩니다.

 

 

정리($A.N$) 5.1)
① 구간 $[a,b]$ 에서 $f(x)=\alpha$ 로 상수함수이면, $U(f,P)=L(f,P)=\alpha (b-a)$ 이다.

② 임의의 유계함수 $f$ 에 대한 임의의 분할 $P$ 에 대하여, $L(f,P)\leq U(f,P)$ 이다.

③ 구간 $[a,b]$ 에서 임의의 분할 $P,Q$ 에 대해, $Q$ 가 $P$ 의 세분(refinement)이면,
$$L(f,P)\leq L(f,Q)\leq U(f,Q)\leq U(f,P)$$ 이다.

④ 구간 $[a,b]$ 에 대한 임의의 두 분할 $P,Q$ 에 대하여, $L(f,P)\leq U(f,Q)$ 이다.

증명) ① : 상수함수인 경우 상합과 하합의 값은 정의로부터 자연스럽게 같고, 이는 높이가 $\alpha$ 이고 밑변이 $b-a$ 인 사각형의 합과 같다.
② 정의로부터 자명하다.
③,④ :  구간을 더 잘게 쪼개면, 즉 세분이면, 하합의 값은 더 커지고, 상합의 값은 더 작아진다. 하지만 같은 구간에 대해 아무리 세분으로 구간을 분할해도 하합의 값은 상합의 값보다는 작다. ④ 에서는 $P,Q$ 가 임의의 분할이므로 무엇이 더 세분인지와 무관하게 성립한다.^[각주:4] $_\blacksquare$

 

 

리만합에 대한 기본적 개념을 익혔으니, 다음 시간부터 정적분과 연결하는 작업을 시행해보도록 하겠습니다.

 

 

 

[참고문헌]

William R. Wade - Introduction to Analysis, 4E

 

 

 

1.  여기서 $f$ 가 유계라는 것은 구간의 양 끝에서 발산하지 않고 $x=a, x=b, y=0, y=f(x)$ 로 딱 막혀 영역의 크기가 유한하다는 것입니다. 그러면 후술할 $M_j(f), m_j(f)$ 의 값도 유한해집니다. [본문으로]
2. 아래 정리($A.N$) 5.1)-② 를 참조하세요. [본문으로]
3. 예컨대 상합은 -3이 되고 하합은 -5가 되어 사각형의 면적만 놓고 보면 5>3이지만 상합=-3>-5=하합이라는 뜻. [본문으로]
4. 이렇게 증명하는 것은 사실 엄밀하지는 않습니다만, 직관적인 이해를 돕기 위해 이 정도의 감각으로 받아들이는 것이 좋을 듯 하여 축약해 적었습니다. [본문으로]