여러가지 군(Various named group)

이번 글에서는 군과 부분군의 개념을 숙지하면 이해가 가능한 여러가지 주요 군을 소개하겠습니다.

 

 

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1. 여러가지 군

 

1) 일반선형군

 

정의($A.A$) 2-10) 일반선형군(General linear group)
집합 $M_n(F)$ 을^[각주:1] 체 $F$ 위에서 행렬 곱을 연산으로 하는 $n\times n$ 행렬들로 구성된 모노이드라 하자. 이것이 역원을 가지는 경우, 즉 $M_n(F)^*$ 인 경우 그러한 행렬들의 원소로 구성된 집합을 '일반선형군(General linear group)'이라 부르며, 차수 $n$ 인 체 $F$ 위에서의 가역행렬들로 구성된 군을 말하고 $GL_n(F)$ 로 표기한다. 이때 $F=\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 일 때, 일반선형군을 조건제시법으로 나타내면$$GL_n(F):=\left\{ A\in M_n(F)\mid \det A\neq 0 \right\}$$ 이다.

 

일반선형군은 쉽게 말해 행렬들로 이루어진 집합인데, 그 행렬들이 전부 가역행렬인 경우를 말합니다. 그런데 여기서는 체가 실수체, 복소수체, 유리수체인 경우만을 다뤘습니다. $F$ 대신 정수집합 $\mathbb{Z}$ 을 넣는 경우 조건제시법의 방식이 $\det A=\pm 1$ 로 바뀝니다. 이러한 이유는 정수집합은 체가 되지 못하고 환(ring)에서 그치지만, 실수와 복소수, 유리수는 체에 해당하기 때문입니다. 이에 관한 자세한 까닭까지는 환론과 체론에서 다룰 것이며 지금 당장 중요한 것은 아니기 때문에 구체적으로 설명하지 않겠습니다.

 

 

2) 군의 중심

 

군의 중심, 또는 때로 중심군이라 표현할 특수한 군은 군론에서 굉장히 자주 등장하므로 반드시 알아야 합니다. 참고로 여기서 $Z(G)$ 라 표기할 때 'Z' 를 쓰는 이유는 독일어에서 중심을 뜻하는 'Zentrum' 에서 따온 것입니다.

 

정의($A.A$) 2-10) 군의 중심(Center of group)
$G$가 군일 때, 군의 '중심(center)'이란
$$Z(G):=\left\{ z\in G\mid zg=gz \;, \; \forall g\in G \right\}$$ 으로 정의되는 집합 $Z(G)$ 를 말한다. $G$의 센터 $Z(G)$ 의 원소 $z$ 는 '중심부(central)'이라고 한다.

정리($A.A$) 2.15) 군의 중심(Center of group)
$G$가 군일 때, 중심 $Z(G)$ 은 $G$ '아벨 부분군(abelian subgroup)'이다.

증명) 부분군 시험법을 사용하자.
① $1g=g1$ 에서 $1\in Z(G)$
② 만약 $a,b\in Z(G)$ 이면, $\forall g\in G$ 에 대하여
$$ abg=a(bg)=a(gb)=(ag)b=(ga)b=g(ab)=gab \;\;\Rightarrow \;\; (ab)g=g(ab)$$ 이므로 이것은 $ab\in Z(G)$ 를 뜻한다. 따라서 닫혀 있다.
③ $z\in Z(G)$ 이면, (애초에 $z\in G$ 이므로 $z^{-1}$ 은 존재) 정의 및 소거법을 사용하여
$$zg=gz \;\; \Rightarrow \;\; z^{-1}zg=z^{-1}gz \;\;\Rightarrow\;\; g=z^{-1}gz \;\; \Rightarrow \;\; gz^{-1}=z^{-1}g$$ 을 얻는다. 고로 $z^{-1}\in Z(G)$ 이고, 역원이 존재하여 포함된다. 따라서 부분군 시험법에 의하여 $Z(G)$ 는 $G$ 의 부분군이고, (정의에 의해) 아벨군이다. $_\blacksquare$

 

 

 

3) 군의 교집합

 

정리($A.A$) 2.16) 군의 교집합(Center of group)
군 $G$ 에 대해 $H,K\leqslant G$ 이라 하자. 이들의 교집합
$$H\cap K=\left\{ g\in G \mid g\in H \;\;\text{and}\;\; g\in K \right\}$$ 은 $G$ 의 부분군이다.

증명) 부분군 시험법을 사용한다.
① $H,K \leqslant G$ 로부터 $1_H=1_K=1_G$ 로 항등원이 존재한다.
② 닫힘성을 보이자. 만일 $a,b \in H\cap K$ 이면 $ab\in H\cap K$ 를 보여야 한다. $a,b\in H\cap K$ 이면 i) $a\in H, b\in H$ 이고 $H$ 는 군이므로, $ab\in H$ 이다. 비슷하게 ii) $a\in K, b\in K$ 이고 $K$ 가 군이므로 $ab\in K$ 이다. 따라서 i), ii) 로부터 $ab\in H\cap K$ 이다.
③ $a\in H\cap K$ 라고 하자. 즉 $a\in H$ 이면서 $a\in K$ 인 것이므로 이는 곧 $a^{-1}\in H$ 이고 $a^{-1}\in K$ 이므로 $a^{-1}\in H\cap K$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

4) 켤레군

 

정리($A.A$) 2.17) 켤레군(Conjugates)
$G$가 군일 때, $H\leqslant G$ 라 하자. 만일 $g\in G$ 이면,
$$gHg^{-1}=\left\{ ghg^{-1}\mid h\in H \right\}$$ 는 $G$ 의 부분군이다. 이러한 부분군들은 $G$ 에서 $H$ 의 '켤레군(conjugates)'이라 부른다.

증명) 부분군 시험법을 사용한다.
① $H\leqslant G$ 이므로 $1_H=1_G=1$ 이다. 그러면
$1_{gHg^{-1}}=g1_Hg^{-1}=g1g^{-1}=1$ 이므로 $1_{gHg^{-1}}=1\in gHg^{-1}$ 이다.
② $h_1,h_2\in H$ 라 하면 $g(h_1)hg^{-1}\in gHg^{-1}$ 이고 $g(h_2)g^{-1}\in gHg^{-1}$ 이다. 결합법칙의 일반성을 고려하면 $$\left( gh_1g^{-1} \right)\left( gh_2g^{-1} \right)=gh_1(g^{-1}g)h_2g^{-1}=g(h_1h_2)g^{-1}\in gHg^{-1}$$ 이고  $H$ 가 닫혀 있으므로, $gHg^{-1}$ 역시 닫혀있다.
③ 만일 $h\in H$ 에 대해 $ghg^{-1}$ 가 주어지면, $$\left( ghg^{-1} \right)^{-1}=gh^{-1}g^{-1}\in gHg^{-1}$$ 이므로 역원이 존재한다. 따라서 $gHg^{-1}\leqslant G$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

'켤레'라는 것은 국어사전에 '두 개의 점, 선, 수가 서로 특수한 관계에 있어 바꾸어 놓아도 그 성질에 변화가 없을 경우에, 그 둘의 '관계'를 이르는 말'이라고 정의되어 있습니다. 즉 이 '관계'를 '켤레'라고 부르는 것입니다. 가령 켤레 복소수를 생각해보면 그 둘의 관계 $a\pm bi$ 는 크기(modulus)가 같다는 관계에 놓여 있어서 '켤레'라고 부른다 말할 수 있습니다. 여기서 켤레군이라는 것은 $ghg^{-1}=b$ 라는 원소 $b \in gHg^{-1}$ 이 존재한다는 것이고, 이때 $b$ 와 $h$ 의 관계를 고려하면 $gh=bg$ 의 관계가 있습니다. 그러면 $h=g^{-1}bg$ 와 같이 정리할 수도 있습니다. 두 원소 $ghg^{-1}$ 와 $g^{-1}bg$ 의 관계가 각별하여, 여기에 켤레라는 말을 붙여준 것입니다. 이들의 구체적인 특징은 조금 더 공부를 하다 뒤쪽에서 자세히 분석하게 됩니다.

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예제 1) $n\geq 3$ 일 때, 대칭군의 중심이 $Z(S_n)=\{ \varepsilon\}$ 임을 보여라. $\varepsilon$ 은 항등치환이다.

 

 

Sol) $n\geq 3$ 이고, $\sigma\neq \varepsilon$ 인 치환 $\sigma\in S_n$ 을 생각하자. 우리가 보여야 할 것은 임의의 $\tau\in S_n$ 에 대해서도 $\sigma\tau \neq \tau\sigma$ 가 성립한다는 점이다. 가정에 의해 $\sigma\neq \varepsilon$ 이라고 하였으니, $k,m\in X_n=\{ 1,2,\cdots ,n\}$ 에 대하여 $\sigma {k}=m\neq k$ 라고 두자. 항등치환이 아니기 때문에 $m\neq k$ 라 둔 것이다. $n\geq 3$ 이므로 또다른 $l\in X_n$ 을 고려한다. 그리고 $\tau = (k,l)\neq \sigma$ 인 호환으로 두자. 그러면 $\tau\left( \sigma(k) \right)=\tau(m)=m$ 이고 $\sigma\left( \tau(k) \right)=\sigma(l)$ 이 된다. 남은 것은 $\sigma(l)\neq m$ 임을 보이는 것이다. 귀류법을 사용하기 위해 만일 $\sigma(l)=m$ 이라고 하자. 그러면 $\sigma(l)=\sigma(k)=m$ 으로 같으니 $l=k$ 가 되어 이는 치환이 전단사라는 사실에 모순이다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson

 

 

 

 

1. 이러한 표기법은 선형대수학에서 자주 사용했음을 알고 있어야 한다. [본문으로]