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대수학(Abstract Algebra)/순열, 치환

대칭군(The symmetric group)

by Gosamy 2020. 12. 6.
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1. 대칭군

 

1) 정의

 

정의(A.A) 1-4) 대칭군(Symmetric groups)
X={1,2,,n} 의 모든 치환들로 이루어진 집합 Sn은 함수의 합성 를 연산으로 갖는 군이다. 덧붙여 Sn은 치환의 합성에 대한 항등원과 치환의 합성에 대한 역원이 존재하고, 이러한 군 (Sn,)  '차수가 n인 대칭군(Symmetric group of degree n)'이라 부른다.

 

 왜 '대칭'인지에 대해서는 아래 그림으로 설명할 것이고, 우선 군 자체의 조건을 만족시키는지 확인을 해 봅시다. 치환전단사함수이기 때문에 결국 함수의 일종입니다. 그러면 함수의 합성 이란 일반적으로 결합법칙 f(gh)=(fg)h 가 성립하고, 또 일대일대응인 함수는 반드시 역함수가 존재하니 역원이 존재합니다. 항등함수는 자기 자신으로 가는 치환이 될 것이고요. 그러니 군 자체의 조건은 모두 만족시킵니다. 사실 저번 치환글에서 항등치환과 역치환을 설명할 때 언급한 바가 있습니다.

 

 

2) 대칭군의 활용

 

왜 이러한 치환들로 구성된 군에 '대칭(Symmetry)'이란 이름을 붙여주었는지 살펴봅시다. 대칭군은 예술, 건축, 수학 등에서 등장하는 실생활에서 볼 수 있는 기하적 도형의 대칭성 속에서 발견할 수 있기 때문에 '대칭'이라는 이름이 붙었습니다. 가장 대표적으로 언급되는 것이 바로 삼각형입니다.

 

[그림 1] 정삼각형의 대칭구조에 대응되는 대칭군의 원소.

 

그림과 같은 정삼각형을 회전시키거나 뒤집는 방법을 생각해봅시다. C3는 삼각형이 지금 가지고 있는 모습을 유지하도록 돌리는 연산을 말하는 것으로, [그림 1]에서 (0,1)의 위치에 세 점 1,2,3이 교대로 올 수 있게 만드는 변환입니다. 쉽게 말하자면 (반시계 방향으로) 120(23π) 회전하는 연산입니다. 반면 C2,C2,C2 들은 그들이 그려져 있는 각각의 축(y축 및 점선)을 기준으로 삼각형의 양쪽을 뒤집는 연산입니다.

 

이 때 삼각형의 외형적 모습을 유지하는 연산을 떠올려 봅시다. 그러면 6가지가 나옵니다. 삼각형을 그대로 두거나, C3(120 회전), C3을 두번 진행(240을 돌림), 그리고 C2,C2,C2 들을 축으로 선대칭을 시키는 것이죠.

 

이 때 삼각형의 각 꼭짓점에 1,2,3으로 넘버링을 한 뒤 이들을 원소로 하는 집합의 치환을 고려하면, 정확히 S3의 원소들과 같고 예제 1)에서 구했던

 

(123123),(123213),(123321),(123132),(123231),(123312)

 

들입니다. 아래에 위 치환이 어떻게 도형의 연산에 적용되는지 나타내는 그림이 있습니다. 

 

[그림 2] 정삼각형의 대칭군

 

이제 위 연산되어 꼭지점의 넘버가 바뀐 도형과 치환을 나타내는 행렬을 짝짓기하려고 합니다. 우선, 6개의 삼각형 중 우측의 음영 처리된 삼각형 3개를 봅시다. 이들은 선대칭(C2)과 관련된 것으로 한 꼭지점을 지나는 선을 기준으로 양 쪽을 뒤짚는 연산을 수행한 것들입니다. 치환의 관점에서 고려하여 이들을 나타내는 치환행렬을 S3에서 찾으면

 

(123213),(123321),(123132)

 

와 같으며, 그 특징은 3개의 원소 중 하나는 냅두고 나머지 둘 끼리 교환한 치환에 해당됩니다.

 

반면, 왼쪽의 삼각형 셋을 볼까요? 이들은 회전연산(C3)과 관련된 것으로,맨 왼쪽 I는 항등치환으로 그대로 삼각형을 건들지 않은 상황입니다. 두번째는 120 회전시킨 것이죠? 세번째는 240 회전입니다. 이들을 S3에서 찾으면 어떤 행렬일까요? 

 

(123123),(123231),(123312)

 

입니다. 이들은 자리바꿈을 2회 한 치환입니다. 예컨대 항등행렬은 1과 2를 자리바꾼 다음 다시 2와 1을 자리바꾼 것이고, 두번째 행렬은 1과 2를 자리바꾼 다음 다시 2와 3을 자리바꾼 행렬이죠. 반면에, 음영 처리된 우측 셋 삼각형을 나타내는 치환은 자리바꿈을 딱 한 번 한 치환입니다.

 

이처럼, 대칭성을 가진 도형은 치환이라 불리는 연산만을 진행하면 그 외형적 특징이 여전히 대칭성을 가지고, 정확하게 말하자면 연산을 진행하기 전과 후의 그 모양이 바뀌지 않으므로, 치환으로 이루어진 군을 대칭군이라 부르는 것입니다. 

 

 

이 예제의 도형을 포함하여, 정n각형에서 회전과 반전(reflection)의 연산을 진행해도 그 모습이 흐트러지지 않기 때문에 이러한 군은 다음과 같이 특수한 경우에 해당합니다.

 

 

정의(A.A) 1-5) 이면군의 간단한 정의(Dihedral groups)[각주:1]
n각형에 대하여 회전과 반전을 포함하는 치환들로 구성된 대칭군은 '이면군(二面群, Dihedral group)'이라 하고, 이를 군 표기법으로 쓰면
Dn=(r,frn=f2=1) 여기서 r2πn 만큼 회전하는 연산이고 f는 꼭짓점을 지나는 선에 대한 도형의 반전(대칭시키는 행위)을 말한다.

 

예를 들어 괄호 안의 rn=f2를 보면, n=3일 때 반시계 방향으로 120(23π) 회전한 것은 뒤집기를 두 번 해서 만들 수 있다는 겁니다. [그림 2]에 나와 있는 두번째 삼각형이 120 돌린 상태이고, 이것은 항등치환에 해당하는 원래 삼각형에서 1,3을 바꾼 다음 3,2를 바꿔 반전을 총 2번 하게 되면 똑같이 C3를 만들 수 있다는 것입니다.


3. 교환법칙

 

대칭군과 이면군에서 교환법칙과 관련된 두 가지 정리가 있습니다. 

 

Sn에 대하여 S2는 교환법칙이 성립하여 아벨군이지만, n3이면 Sn은 아벨군이 아니다.

일반적으로 이면군에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, 이면군은 아벨군이 아니다.
이면군은 대칭군의 부분군(Subgroup)이다. 부분군은 원소가 군인 (부분)집합을 말한다.

 

이 두 정리는 직접 엄밀한 증명을 하는 것보다 반례를 들어 틀렸음을 확인해보는 것이 적절합니다. 그리고 이면군에 대해 뒤에서 자세히 설명할 때 구체적으로 증명할 예정이라 번호를 붙이지 않았습니다.

 

 

 

[참고문헌]

선형대수학, 청문각, 강경태 및 송석준 지음

Mathematical methods for physicst, 7e, George B Arfken, Hans J Weber, and Frank E Harris

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405029&cid=47324&categoryId=47324

https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group

 

 

 

 

 

 

  1. 이 정의에 '간단한'이라는 수식을 붙인 것은 이 정의가 엄밀하지 않다거나 부족한 점이 있다는 뜻이 전혀 아닙니다. 단지, 대부분의 교재에서는 이면군을 군론의 도입부에서 설명하지 않고 군론의 몇가지 고급 정보를 학습한 뒤 설명하기에 뒤쪽에서 제가 다시 이면군을 설명할 것이기 때문입니다. 즉 뒤쪽에서는 이면군에 대한 분석을 낱낱이 할 예정입니다. 그런데, 이 이면군이라는 것이 '대칭'이라는 측면에서 볼 때 대칭군과 아주 밀접한 관련이 있으므로, 지금 간략히 같이 소개하는 것이라, 간단한 정의라 언급한 것으로 생각해 주시기 바랍니다. [본문으로]

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