대칭군(The symmetric group)

 

1. 대칭군

 

1) 정의

 

정의($A.A$) 1-4) 대칭군(Symmetric groups)
$X=\left \{ 1,2,\cdots,n \right \}$ 의 모든 치환들로 이루어진 집합 $S_n$은 함수의 합성 $\circ$ 를 연산으로 갖는 군이다. 덧붙여 $S_n$은 치환의 합성에 대한 항등원과 치환의 합성에 대한 역원이 존재하고, 이러한 군 $\left ( S_n,\circ \right )$ 을 '차수가 $n$인 대칭군(Symmetric group of degree $n$)'이라 부른다.

 

 왜 '대칭'인지에 대해서는 아래 그림으로 설명할 것이고, 우선 군 자체의 조건을 만족시키는지 확인을 해 봅시다. 치환은 전단사함수이기 때문에 결국 함수의 일종입니다. 그러면 함수의 합성 $\circ$이란 일반적으로 결합법칙 $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ 가 성립하고, 또 일대일대응인 함수는 반드시 역함수가 존재하니 역원이 존재합니다. 항등함수는 자기 자신으로 가는 치환이 될 것이고요. 그러니 군 자체의 조건은 모두 만족시킵니다. 사실 저번 치환글에서 항등치환과 역치환을 설명할 때 언급한 바가 있습니다.

 

 

2) 대칭군의 활용

 

왜 이러한 치환들로 구성된 군에 '대칭(Symmetry)'이란 이름을 붙여주었는지 살펴봅시다. 대칭군은 예술, 건축, 수학 등에서 등장하는 실생활에서 볼 수 있는 기하적 도형의 대칭성 속에서 발견할 수 있기 때문에 '대칭'이라는 이름이 붙었습니다. 가장 대표적으로 언급되는 것이 바로 삼각형입니다.

 

[그림 1] 정삼각형의 대칭구조에 대응되는 대칭군의 원소.

 

그림과 같은 정삼각형을 회전시키거나 뒤집는 방법을 생각해봅시다. $C_3$는 삼각형이 지금 가지고 있는 모습을 유지하도록 돌리는 연산을 말하는 것으로, [그림 1]에서 $(0,1)$의 위치에 세 점 1,2,3이 교대로 올 수 있게 만드는 변환입니다. 쉽게 말하자면 (반시계 방향으로) $120^{\circ}\left ( \displaystyle\frac{2}{3}\pi \right )$ 회전하는 연산입니다. 반면 $C_2, C_2', C_2''$ 들은 그들이 그려져 있는 각각의 축($y$축 및 점선)을 기준으로 삼각형의 양쪽을 뒤집는 연산입니다.

 

이 때 삼각형의 외형적 모습을 유지하는 연산을 떠올려 봅시다. 그러면 6가지가 나옵니다. 삼각형을 그대로 두거나, $C_3$($120^{\circ}$ 회전), $C_3$을 두번 진행($240^{\circ}$을 돌림), 그리고 $C_2, C_2', C_2''$ 들을 축으로 선대칭을 시키는 것이죠.

 

이 때 삼각형의 각 꼭짓점에 $1,2,3$으로 넘버링을 한 뒤 이들을 원소로 하는 집합의 치환을 고려하면, 정확히 $S_3$의 원소들과 같고 예제 1)에서 구했던

 

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
1 &2  &3
\end{pmatrix}\;\;,\;\;\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
2 &1  &3
\end{pmatrix}\;\;,\;\;\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
3 &2  &1
\end{pmatrix}
\;\;,\;\;
\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
1 &3  &2
\end{pmatrix}\;\;,\;\;\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
2 &3  &1
\end{pmatrix}\;\;,\;\;\begin{pmatrix}
1 & 2 &3 \\ 
3 &1  &2
\end{pmatrix}$$

 

들입니다. 아래에 위 치환이 어떻게 도형의 연산에 적용되는지 나타내는 그림이 있습니다. 

 

[그림 2] 정삼각형의 대칭군

 

이제 위 연산되어 꼭지점의 넘버가 바뀐 도형과 치환을 나타내는 행렬을 짝짓기하려고 합니다. 우선, 6개의 삼각형 중 우측의 음영 처리된 삼각형 3개를 봅시다. 이들은 선대칭($C_2$)과 관련된 것으로 한 꼭지점을 지나는 선을 기준으로 양 쪽을 뒤짚는 연산을 수행한 것들입니다. 치환의 관점에서 고려하여 이들을 나타내는 치환행렬을 $S_3$에서 찾으면

 

$$\;\;\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
2 &1  &3 
\end{pmatrix}\;\;,\;\;\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
3 &2  &1 
\end{pmatrix} 
\;\;,\;\; 
\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
1 &3  &2 
\end{pmatrix}\;\;$$

 

와 같으며, 그 특징은 3개의 원소 중 하나는 냅두고 나머지 둘 끼리 교환한 치환에 해당됩니다.

 

반면, 왼쪽의 삼각형 셋을 볼까요? 이들은 회전연산($C_3$)과 관련된 것으로,맨 왼쪽 $I$는 항등치환으로 그대로 삼각형을 건들지 않은 상황입니다. 두번째는 $120^{\circ}$ 회전시킨 것이죠? 세번째는 $240^{\circ}$ 회전입니다. 이들을 $S_3$에서 찾으면 어떤 행렬일까요? 

 

$$\begin{pmatrix}   
1 & 2 &3 \\    
1 &2  &3   
\end{pmatrix}\;\;,\;\;\begin{pmatrix}   
1 & 2 &3 \\    
2 &3  &1   
\end{pmatrix}\;\;,\;\;\begin{pmatrix}   
1 & 2 &3 \\    
3 &1  &2   
\end{pmatrix}$$

 

입니다. 이들은 자리바꿈을 2회 한 치환입니다. 예컨대 항등행렬은 1과 2를 자리바꾼 다음 다시 2와 1을 자리바꾼 것이고, 두번째 행렬은 1과 2를 자리바꾼 다음 다시 2와 3을 자리바꾼 행렬이죠. 반면에, 음영 처리된 우측 셋 삼각형을 나타내는 치환은 자리바꿈을 딱 한 번 한 치환입니다.

 

이처럼, 대칭성을 가진 도형은 치환이라 불리는 연산만을 진행하면 그 외형적 특징이 여전히 대칭성을 가지고, 정확하게 말하자면 연산을 진행하기 전과 후의 그 모양이 바뀌지 않으므로, 치환으로 이루어진 군을 대칭군이라 부르는 것입니다. 

 

 

이 예제의 도형을 포함하여, 정$n$각형에서 회전과 반전(reflection)의 연산을 진행해도 그 모습이 흐트러지지 않기 때문에 이러한 군은 다음과 같이 특수한 경우에 해당합니다.

 

 

정의($A.A$) 1-5) 이면군의 간단한 정의(Dihedral groups)^[각주:1]
정$n$각형에 대하여 회전과 반전을 포함하는 치환들로 구성된 대칭군은 '이면군(二面群, Dihedral group)'이라 하고, 이를 군 표기법으로 쓰면
$$D_{n}=\left ( r,f\mid r^n=f^2=1 \right )$$ 여기서 $r$은 $\displaystyle\frac{2\pi}{n}$ 만큼 회전하는 연산이고 $f$는 꼭짓점을 지나는 선에 대한 도형의 반전(대칭시키는 행위)을 말한다.

 

예를 들어 괄호 안의 $r^n=f^2$를 보면, n=3일 때 반시계 방향으로 $120^{\circ}\left ( \displaystyle\frac{2}{3}\pi \right )$ 회전한 것은 뒤집기를 두 번 해서 만들 수 있다는 겁니다. [그림 2]에 나와 있는 두번째 삼각형이 $120^{\circ}$ 돌린 상태이고, 이것은 항등치환에 해당하는 원래 삼각형에서 1,3을 바꾼 다음 3,2를 바꿔 반전을 총 2번 하게 되면 똑같이 $C_3$를 만들 수 있다는 것입니다.

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3. 교환법칙

 

대칭군과 이면군에서 교환법칙과 관련된 두 가지 정리가 있습니다. 

 

$S_n$에 대하여 $S_2$는 교환법칙이 성립하여 아벨군이지만, $n\geq 3$이면 $S_n$은 아벨군이 아니다.

일반적으로 이면군에서는 교환법칙이 성립하지 않는다. 즉, 이면군은 아벨군이 아니다.
이면군은 대칭군의 부분군(Subgroup)이다. 부분군은 원소가 군인 (부분)집합을 말한다.

 

이 두 정리는 직접 엄밀한 증명을 하는 것보다 반례를 들어 틀렸음을 확인해보는 것이 적절합니다. 그리고 이면군에 대해 뒤에서 자세히 설명할 때 구체적으로 증명할 예정이라 번호를 붙이지 않았습니다.

 

 

 

[참고문헌]

선형대수학, 청문각, 강경태 및 송석준 지음

Mathematical methods for physicst, 7e, George B Arfken, Hans J Weber, and Frank E Harris

https://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3405029&cid=47324&categoryId=47324

https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group

 

 

 

 

 

 

1. 이 정의에 '간단한'이라는 수식을 붙인 것은 이 정의가 엄밀하지 않다거나 부족한 점이 있다는 뜻이 전혀 아닙니다. 단지, 대부분의 교재에서는 이면군을 군론의 도입부에서 설명하지 않고 군론의 몇가지 고급 정보를 학습한 뒤 설명하기에 뒤쪽에서 제가 다시 이면군을 설명할 것이기 때문입니다. 즉 뒤쪽에서는 이면군에 대한 분석을 낱낱이 할 예정입니다. 그런데, 이 이면군이라는 것이 '대칭'이라는 측면에서 볼 때 대칭군과 아주 밀접한 관련이 있으므로, 지금 간략히 같이 소개하는 것이라, 간단한 정의라 언급한 것으로 생각해 주시기 바랍니다. [본문으로]