행렬식의 엄밀한 정의를 배우기 위해선 부호함수를 알아야 하고, 부호함수를 알려면 호환, 호환을 위해선 여태까지 했던 치환의 개념을 보유하고 있어야 합니다. 저번 포스팅에서, 모든 치환은 서로소인 순환들의 곱으로 나타낼 수 있다고 했습니다. 그런데 순환들은 더 작은 크기의 순환으로 반드시 쪼갤수 있기 때문에, 결국 모든 치환은 '호환'이라 불리는 순환으로 쪼갤 수 있다는 결론이 나옵니다. 오늘의 핵심은 호환의 개념과, 짝치환 및 홀치환을 이해하는 것입니다.
1. 호환(Transposition)
1) 정의
정의($A.A$) 1-7) 호환(Transposition)
$S_n$ 에서 길이가 $2$인 $(i,j)$ 형태의 순환을 '호환(Transpostion)'이라 한다. 호환에 대하여 다음 성질이 성립한다.
① 호환의 역원은 자기 자신이다.
② $S_k$ 에서 $k$-순환 $\sigma =\begin{pmatrix}
a_1 &a_2 &\cdots &a_k
\end{pmatrix}$ 는 아래와 같이 $k-1$ 개의 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다.
$$\begin{pmatrix}
a_1 &a_2 &\cdots &a_k
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a_1 & a_k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_1 & a_{k-1}
\end{pmatrix}\;\cdots \;\begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}$$ 이때 분해하는 방법은 유일하지 않다. 하지만 $k$-순환을 호환들의 곱으로 분해하면 반드시 $k-1$ 개의 호환들의 곱으로 쪼개진다.
호환(Transposition)은 길이가 2인 순환을 말하는 것으로 정의 자체는 이해하기 쉽습니다. 영어 단어를 보면 영단어 자체도 전문용어에 가깝지만 직역했을 때 '전이(轉移)'로 번역되어, 전이라고 적혀 있는 교재들도 있습니다. 호환은 서로 교환한다는 뜻인 것 같은데, 여기서 교환한다는 것의 의미는 두 치환의 교환법칙을 말하는 것이 아니라, 길이가 2인 순환이니 두 원소 $i,j$ 가 각각 서로에게로 움직인다는 뜻을 말합니다. 그래서 호환의 특징으로는 역원이 자기 자신이라는 것입니다. 왜냐하면 호환 $(i,j)$는 항등치환 $$\begin{pmatrix}
1 &\cdots &i & \cdots & j & \cdots &n \\
1&\cdots & i &\cdots &j &\cdots & n
\end{pmatrix}$$
에서 2행의 $i,j$ 의 위치만 서로 바꾼 것으로
$$(i,j)=\begin{pmatrix}
1 &\cdots &i & \cdots & j & \cdots &n \\
1&\cdots &j&\cdots &i &\cdots & n
\end{pmatrix}$$
이기 때문입니다. 그러면 이를 두번 합성하면 $(i,j)(i,j)=1$ 이 되어 $(i,j)^{-1}=(i,j)$ 임을 쉽게 알 수 있습니다.
사실 ①보다는 ②가 더 중요합니다. 하나의 순환을 여러개의 호환으로 쪼갤 수 있다는 말이며, 위의 공식을 확인하기 바랍니다. 물론 여기서 ②의 가능성은 엄밀히 말해 증명해 보아야 하고, 아래의 '2)순환 분해 정리'를 증명함으로서 얻을 수 있습니다. 하지만 그 전에 일단 참이라 믿고 생각을 해봅시다. 보통 한 순환을 여러개의 호환으로 바꾸는 분해(decomposition) 방법이 유일하지는 않습니다. 그러나 우리는 앞으로 대수학을 공부하며 이러한 분해 작업을 자주 맞닥뜨리기에 빨리 빨리 진행해야 해서, 치환이 간단한 형태일 때 호환들로 분해하는 가장 강력하고 용이한 방법을 하나 소개할 것입니다. 매우 귀중하기 때문에 반드시 방법을 기억해야 합니다.
보조정리($A.A$) 1.1)
$\sigma = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 &\cdots & a_{k-1} & a_k
\end{pmatrix} \in S_k$ 을 생각하자. 이 치환을 호환들의 곱으로 분해하는 방법은 유일하지 않지만,1 가장 보편적이고 깔끔한 두 가지 방식은 다음과 같다.
① 가장 많이 쓰는 분해 방법(정의에서 소개함) : $\sigma = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 &\cdots & a_{k-1} & a_k
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a_1 & a_{k}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_1 & a_{k-1}
\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}
a_{1} & a_2
\end{pmatrix}$
② 직관적으로 쉬운 방법 : $\sigma = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 &\cdots & a_{k-1} & a_k
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a_2 & a_3
\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}
a_{k-1} & a_k
\end{pmatrix}$
주의해야 할 것이 있습니다. 이러한 분해 방법은 주어진 $\sigma\in S_n$ 이 정확히 $n$-순환에 해당할 때를 말합니다. $S_n$ 의 모든 원소들이 꼭 $\sigma = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 &\cdots & a_{n-1} & a_n
\end{pmatrix}$ 방식으로 $n$-순환이 아닐 수도 있기 때문이죠. 즉 이 정리는 $\sigma\in S_n$ 이 $n$-순환인 형태일 때 적용할 수 있는 것입니다.
그리고 두 방식 모두 적절하지만, 보통 ①의 방식을 훨씬 많이 씁니다. 정의에도 박아 두었지요. 순환의 첫번째 원소를 모든 호환들의 첫번째 자리에 박아 버리고, 순환의 뒤쪽 원소들부터 앞쪽 호환의 두번째 자리에 박아 넣는 것입니다.
예제 1) $\sigma = \begin{pmatrix}
5 & 1 &3 & 4 & 2
\end{pmatrix}$ 를 호환들의 곱으로 분해하여라.
Sol) 다음과 같이 ①의 방식을 사용한다.
$$\sigma = \begin{pmatrix}
5 & 1 &3 & 4 & 2
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
5 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
5 &1
\end{pmatrix}\;\;\;\;\;_\blacksquare$$
2) 순환 분해 정리(Cycle decomposition Theorem)
이제 정말 순환을 호환들의 곱으로 잘 쪼갤 수 있는지 엄밀하게 따져 보는 작업을 할 것입니다.
정리($A.A$) 1.5) 모든 치환들은 호환들의 곱으로 표현 가능하다.
$S_n$ 에서 모든 치환 $\sigma$ 는 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다.
증명) 정리($A.A$) 1.3)에 의하면 모든 치환 $\sigma$ 는 순환들의 곱으로 나타낼 수 있다. 그런데 호환은 길이가 2인 순환으로, 결국 순환도 호환들의 곱으로 반드시 바꿀 수 있다. 따라서 모든 치환은 호환들로 곱으로 표현할 수 있다.
그리고 다음의 정리는 치환의 짝홀성(parity)와 순환, 호환들에 관한 정리를 증명하는데 바탕이 됩니다.
정리($A.A$) 1.6) 순환 분해 정리(Cycle decompostion Theorem)
임의의 $\varepsilon\neq \sigma\in S_n$ 을 생각하자. 그러면 $\sigma$ 는 하나 또는 둘 이상의 길이가 최소 2인 서로소인 순환들의 곱으로 표현할 수 있다. 여기서 서로소인 순환들의 곱의 순서를 무시하면, 이러한 분해 방법은 유일하다.
증명) 존재성(가능성)과 유일성을 차례로 보인다.
① 존재성은 $n\geq 2$ 에 대해 수학적 귀납법을 사용하여 증명한다.
i) Base step : $n=2$ 이면, $S_n$ 의 원소는 $\sigma = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix}$ 로 유일해서 자명히 참이다.
ii) Inductive hypothesis : 임의의 $\sigma\in S_{n-1}$ 가 (하나 또는 둘 이상의) 길이가 최소 2인 서로소인 순환들의 곱으로 표현될 수 있다고 가정한다.
iii) Inductive step : Inductive hypothesis 가 참이라 하고 $\sigma\in S_n$ 이라 하자. 만일 $\sigma (n)=n$ 이라면 $\sigma \in S_{n-1}$ 이 되므로 이 정리는 참이다. (이런 특수한 상황 말고) $\sigma (n)\neq n$ 을 생각하고 $m\neq n$ 이며 $\sigma (m)=n$ 이라 하자.
$\gamma = \begin{pmatrix}
m & n
\end{pmatrix}$ 라 쓰고 $\tau = \sigma\gamma$ 를 생각하자. $\gamma ^2=\varepsilon$ 이므로, $\tau\gamma = \sigma\gamma^2 =\sigma$ 가 되고, $\tau (n) = \sigma (\gamma (n) ) = \sigma (m) = n$ 이 되므로 $\tau\in S_{n-1}$ 이다. Inductive hypothesis 에 의하여 $\tau$ 는 서로소인 순환들의 곱으로 표현 가능하다. 그러면 다음의 두 가지 가능성이 남는다.
1) $\tau (m) = m$ : 이 경우 $\tau $ 와 $\gamma$ 는 서로소이다. 위에서 $\tau (n)=n$ 였기 때문이다. 그러면 $\sigma = \tau\gamma \in S_n$ 으로, $\sigma$ 를 두 서로소인 순환의 곱으로 표현했으니 증명이 끝난다.
2) $\tau (m)\neq m$ : 이 경우 $\tau(m)$ 은 $m$ 이 아닌 다른 원소로 $\tau$ 를 타고 이동하게 된다. 그러면
$$\tau = \mu\begin{pmatrix}
m & k_1 &k_2 & \cdots & k_r
\end{pmatrix}$$ 이라 적어보자. $\tau\in S_{n-1}$ 이니, 당연히 $\mu$ $\tau$ 와 서로소인 $m,k_1,\cdots ,k_r$ 로 구성된 서로소인 순환들의 곱이다. 그러면
$$\begin{align*}
\sigma = \tau\gamma &= \mu\begin{pmatrix}
m & k_1 &k_2 & \cdots & k_r
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
m &n
\end{pmatrix}
\\\\& = \mu\begin{pmatrix}
m & n &k_1 & \cdots & k_r
\end{pmatrix}
\end{align*}$$ 가 되므로, 결국 $\sigma \in S_n$ 은 서로소인 순환들의 곱으로 표현 가능하다.
② 유일성 : $\sigma =\gamma_a\cdots \gamma_2\gamma_1=\delta_b\cdots \delta_2\delta_1$ 이라 가정하자. 두 가지 분해 방법이 있다고 생각해 보는 것이다.(그러니 $a\neq b$ 일 가능성을 함의한다.) 그리고 $\max (a,b)$ 값에 대해 수학적 귀납법을 사용하자.
i) Base step : $\max (a,b)=1$ 이면 $\sigma = \gamma_1=\delta_1$ 인 가능성만 존재한다. 유일한 호환으로의 전개이니, 참이다.
ii) Inductive hypothesis : $\max (a,b)=n >1$ 인 상황을 고려하자. 우선 $\sigma (m) \neq m$ 인 원소 $m$ 을 생각한다. 즉 순환을 구성하는 적당한 원소 $m$ 이 존재하여, $\sigma$ 가 $m$ 을 $m$ 이 아닌 다른 값으로 대응시킨다는 것이다.
귀납적 가정에 의해 $\sigma$ 는 서로소인 순환들의 곱으로 분해될 것이니 $m$ 은 각각의 $\gamma_i$ 와 $\delta_j$ 중 정확히 딱 하나에만 등장한다. 편의상 $m$ 이 $\gamma_1$ 과 $\delta_1$ 에 등장한다고 해보자. 그러면
$$\gamma_1=\begin{pmatrix}
m=g_1 & g_2 & \cdots & g_r
\end{pmatrix} \;\;\; \delta_1= \begin{pmatrix}
m=d_1 & d_2 & d_3 & d_s
\end{pmatrix}$$
라 적을 수 있다. 이제 일반성을 잃지 않고 $r\leq s$ 라 하고($r > s $ 인 경우까지 따질 필요가 없음) $r < s$ 인 경우에서 모순이 발생해 $r=s$ 일 수 밖에 없음을 보이려고 한다.
$g_1=m=d_1$ 이므로, $g_2=\sigma (g_1)=\sigma (d_1) = d_2$ 이다. 비슷하게 $g_3=\sigma (g_2) = \sigma (d_2) = d_3$ 이다. 계속 반복하게 되면, $g_r=\sigma (g_{r-1}) = \sigma (d_{r-1}) = d_r$ 이 된다. 그런데 만일 $r < s $ 라고 한다면, $m=d_1=g_1=\sigma (g_r) = \sigma (d_r) = d_{r+1}$ 이고 이는 $\delta_1$ 의 구성 원소가 $r$ 개 뿐이라는 뜻이니 $r < s$ 라는 가정에 모순이다. 따라서 $r=s$ 이고 $\gamma_1=\delta_1$ 이다.
편의상 $\lambda = \delta_1= \gamma_1$ 이라고 하자. 그러면 $\sigma = \gamma_a\cdots \gamma_2 \lambda = \delta_b\cdots \delta_2\lambda$ 가 성립한다. 고로 $\sigma \lambda^{-1} = \gamma_a\cdots \gamma_2 = \delta_b\cdots \delta _ 2$ 가 되고, 이들은 각각 $a-1, b-1$ 개의 서로소인 순환들로 구성되어 있다.
iii) Inductive step : ii)가 참이므로, $\gamma_2$ 와 $\delta_2$ 에 대해서도 같은 과정을 반복해서 $\gamma_2=\delta _2 $ 를 얻는다. 이를 반복하면 $i=2,3,\cdots a$ 에 대해서 $\gamma_i=\delta_i$ 가 성립한다. 따라서 $a=b=\max (a,b)$ 이다.
증명의 핵심은 $\max(a,b)$ 의 값이 $a$ 든, $b$ 든, $a\neq b$ 인 상황을 우선 생각하는 것입니다. 그 말은 $\sigma$ 가 각각 $a,b$ 개로 이루어진 순환으로 전개될 수 있음을 뜻합니다. 여기서 우리가 보이고 싶은 것은 $a=b$ 인데, $a\neq b$ 곧 $a<b$(또는 $b<a$) 인 상황을 가정하면 모순이 발생한다는 것을 사용하는 셈입니다. 즉 $\gamma$ 로 $a$ 개 전개하면 $\delta$ 도 $a$ 개가 필요하고, 그보다 더 많이 필요한 상황을 가정하면 모순이 생긴다는 것이죠.
3) 짝치환과 홀치환
2)에서 다루었던 내용은 치환을 순환들의 곱으로 바꾸는 것입니다. 이제 치환을 호환들의 곱으로 나타낼 때 반짝이는 특징들에 대해 검토해 보겠습니다. 호환의 개수는 반드시 짝수 아니면 홀수에 해당한다는 것입니다.
정의($A.A$) 1-8) 짝치환과 홀치환
임의의 $\sigma\in S_n$ 을 호환들의 곱으로 표현하였을 때, 호환들의 수는 반드시 짝수이거나 홀수이다. 호환들의 수가 짝수인 치환을 '짝치환(even permutation)'이라 하고 그 수가 홀수인 치환은 '홀치환(odd permutation)'이라 한다.
우리가 눈여겨 볼 것은 아래의 홀짝성 정리로, 호환의 개수는 반드시 짝수 아니면 홀수에 해당한다는 것입니다. 이를 증명할 것인데, 증명을 위해 보조정리 2개가 필요합니다. 홀짝성 정리를 증명하지 않을 것이면 보조정리 2개는 패스하고 아래로 바로 내려가도 좋습니다. 그렇지만 두 보조정리 증명은 굉장히 쉽기 때문에 한 번 공부해 보시기 바랍니다.
보조정리($A.A$) 1.2)
$\gamma_1\neq \gamma_2$ 가 호환이라고 하자. 만일 $\gamma_1(k)\neq k$ 이고 $\delta_1(k)=k,\; \lambda_2(k)\neq k$ 이면 $\gamma_2\gamma_1 = \lambda_2\delta_1$ 이 되게 하는 $\delta_1,\; \lambda_2$ 가 존재한다.
증명) $\gamma_1=\begin{pmatrix}
k & a
\end{pmatrix}$ 라 하자. $\gamma_2\neq \gamma_1$ 이라 가정하였으니 $\gamma_2$ 는 서로 다른 실수 $a,b,k$ 에 대하여 $\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
k & a
\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}
k & b
\end{pmatrix}$ 형태 중 하나에 해당한다. 각각의 세 경우를 모두 따져보면,
$$\begin{align}
\gamma_2\gamma_1&= \begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
k & a
\end{pmatrix}
\\\\\gamma_2\gamma_1&=\begin{pmatrix}
k & a
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
k & a
\end{pmatrix}
\\\\\gamma_2\gamma_1&=\begin{pmatrix}
k & b
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
k & a
\end{pmatrix}
\end{align}$$
가 되고 모든 경우에서 위 정리가 말하는 $\lambda_2, \;\delta_1$ 을 찾을 수 있다. $_\blacksquare$
보조정리($A.A$) 1.3)
항등치환 $\varepsilon$ 을 $n\geq 3$ 이상의 개수의 호환들의 곱으로 표현할 수 있다면, $n-2$ 개의 호환들의 곱으로도 표현할 수 있다.
증명) 각각의 자연수 $1\leq i\leq n$ 에 대해 $\gamma_i$ 들을 호환이라 하고, $n\geq 3$ 일 때 $\varepsilon=\gamma_n\cdots \gamma_4\gamma_3\gamma_2\gamma_1$ 라 하고$\gamma_1(k)\neq k$ 라 하자. 수학적 귀납법을 사용하여 증명한다.
i) Base step : $n=3$ 인 경우에는 3개의 호환 중 최소한 하나는 다른 하나와 상쇄되어야 한다. 만일 $\gamma_1=\gamma_2$ 으로 같다고 하면, $\varepsilon=\gamma_3$ 이므로 $n-2=3-2=1$개의 호환으로 표현 가능하다.
ii) Inductive hypothesis : $n=k-1$ 에 대해 주어진 보조정리가 참이라 가정하자. 즉 $k-1$ 개의 호환의 곱으로 표현된 항등치환은 $k-3$ 개의 호환의 곱으로도 표현될 수 있다고 가정한다.
iii) Inductive step : $n=k$ 를 살펴본다. 치환에 대입하는 원소로의 '$k$'가 사용되고 있으므로, 수학적 귀납법에서의 $n=k$ 에서의 그 $k$ 의미와 중복되는 것을 방지하기 위해 편의상 $n$ 을 사용할 것이다.
우선 $\gamma_1(k)\neq k$ 라 하자. 만일 $\gamma_1=\gamma_2$ 가 된다면 $\varepsilon=\gamma_2\gamma_1$ 이므로, $\varepsilon=\gamma_n\cdots \gamma_4\gamma_3$ 이 되어 귀납 가정에 의해 증명이 끝난다. 다시 말해 이 경우 $n$ 개의 호환을 $n-2$ 개로 줄이는데 성공하였다는 뜻이다.
그렇지 않은 경우, 보조정리($A.A$) 1.2) 로부터 $\delta_1(k)=k$ 이고 $\lambda_2(k)\neq k$ 인 두 호환 $\delta_1,\;\lambda_2$ 이 존재하여 $\gamma_2\gamma_1 = \lambda_2\delta_1$ 가 성립한다. 따라서 $\varepsilon=\gamma_n\cdots \gamma_4\gamma_3\lambda_2\delta_1$ 로 쓸 수 있다.
다시 한번, $\lambda_2=\gamma_3$ 가 된다면 증명이 끝난다. 그렇지 않으면 다시 보조정리($A.A$) 1.2) 를 적용하여 $\gamma_3\neq \lambda_2$ 일 때 $\gamma_3\lambda_2=\lambda_3\delta_2$ 가 되게 하는 $\delta_2(k)=k$ 이고 $\lambda_3(k)\neq k$ 인 $\delta_2,\; \lambda_3$ 를 만들 수 있다. 그러면 $\varepsilon=\gamma_n\cdots \gamma_5\gamma_4\lambda_3\delta_2\delta_1$ 를 얻는다.
이 과정을 반복하면, 어떤 단계에서 증명이 끝나거나 최종적으로
$$\varepsilon=\gamma_{n-1}\delta_{n-1}\cdots \delta_2\delta_1$$
를 얻게 된다. 위에서와 마찬가지로 각각의 $\delta_i$ 는 $k$ 를 고정하고 $\lambda_i$ 는 $k$ 를 바꾼다. 그러나 이것은 양변에 $k$ 를 걸어보면 $\lambda(k)\neq k$ 라는 가정에 모순이다. 왜냐하면
$$k=\varepsilon (k)=\lambda_n\delta_{n-1}\cdots \delta_2\delta_1 (k) = \lambda_n(k)\neq k$$
이기 때문이다. 이 말은 $\lambda_i(k)\neq k$ 가 되게 하는 $\lambda_i$ 가 실제로 남아 있으면 안되고 이 단계 이전에 $n-2$ 개의 호환들의 곱으로 표현할 수 있어 증명이 종료되었어야 함을 뜻한다. $_\blacksquare$
정리($A.A$) 1.7) 홀짝성 정리(Parity Theorem)
치환 $\sigma$ 가 각각의 호환 $\gamma_i$ 와 $\tau_i$ 들의 곱으로 분해되었다고 하자.
$$\sigma = \gamma_n\cdots \gamma_2\gamma_1 = \tau_m\cdots \tau_2\tau_1$$ 이때 $m$ 과 $n$ 은 같은 홀짝성(parity)를 갖는다. 즉 $m$ 과 $n$ 은 항상 동시에 모두 짝수이거나 모두 홀수라는 뜻이다.
따름정리($A.A$) 1.7.1) 짝치환이자 홀치환인 것은 존재하지 않는다.
모든 치환 $\sigma$ 는 반드시 짝치환 또는 홀치환 둘 중 하나이다.
증명) $\sigma = \gamma_n\cdots \gamma_2\gamma_1 = \tau_m\cdots \tau_2\tau_1$ 쓰여졌다고 가정하자. 각각의 $\gamma_i,\; \tau_i$ 는 물론 호환이다. 우리가 보이고 싶은 것은 $m,n$ 이 모두 짝수이거나 홀수라는 것이다.
호환에 대해서는 $\begin{pmatrix}
i & j
\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}
i & j
\end{pmatrix}$ 가 성립하기 때문에, 양변에 역원을 곱해서
$$\varepsilon = \tau_1 \tau_2\cdots\tau_m\gamma_n\cdots \gamma_2\gamma_1$$
의 형태로 만들어보자. 그러면 $m,n$ 이 동시에 짝수이든, 홀수이든, 지금 우변에 적힌 모든 호환들의 개수는 짝수개여야 하므로, 이 호환들의 총 개수가 홀수개가 아니라는 것만 보이면 증명이 끝난다. 그런데 만일 우변의 호환들의 총 개수가 홀수 $p$ 개라고 하고 $p\geq 3$ 인 경우를 생각하면, 보조정리($A.A$) 1.3) 에 의하여 $p-2$ 개의 호환들의 곱으로 바꿀 수 있다. 다시 보조정리를 또 적용하면 $p-4$ 개의 호환들의 곱으로 바꿀 수 있다. 이 과정을 계속 반복하면, $p$ 가 홀수이니 $p$ 에서 짝수를 뺀 개수 즉 $1$ 개의 호환으로 $\varepsilon$ 을 표현할 수 있다. 하지만 임의의 호환은 항등치환이 될 수 없으므로 모순이 발생한다. 그러므로 $p$ 는 홀수가 아닌 짝수가 되어야만 한다. $_\blacksquare$
우선 정리($A.A$) 1.7) 의 '홀짝성(parity)'라는 단어를 보겠습니다. 이 단어는 수학 전반에서, 그리고 물리학 중 특히 양자역학에서 등장하는 것으로 배타적으로 두 원소만 존재하는 어떤 집합에 대해 두 가지 특성을 의미하는 것입니다. 자연수는 반드시 짝수이거나 홀수이니, 배타적으로(교집합이 없이) 짝수와 홀수 두 조각으로 분할할 수 있습니다. 물리학에서도 양자의 스핀은 업스핀이거나 다운스핀 둘 중 하나로 구분합니다. 이 또한 실제로 위나 아래로 스핀이 향하고 있음을 관찰해서 그런 것이 아니라 특성이 두가지 밖에 없어서 그렇습니다. 우함수와 기함수를 다루는 맥락에서도 이 홀짝성을 따질 수 있습니다. 즉 수학에서 어떤 대상들의 parity 가 같다는 말은, 모두 홀수이거나 모두 짝수이거나 하다는 뜻입니다.
홀짝성 정리를 보면 한 치환에 대해 이것을 호환들의 곱으로 나타낼 때 호환의 개수는 반드시 홀수이거나 짝수여야 한다는 것입니다. 그런데 오해하지 말아야 할 것은 이 정리가 홀짝성이 같다는 것을 말할 뿐 임의의 치환은 반드시 유일한 개수의 호환들의 곱으로 분해된다는 것을 뜻하지 않습니다. 위의 순환 분해 정리에서 다루었 듯 임의의 치환은 유일한 개수의 순환으로는 분해됩니다. 하지만 그 순환들을 다시 호환들의 곱으로 쪼개면, 홀짝성만 유지되지 호환들의 개수가 유일하지는 않다는 것으로, 헷갈리지 않도록 주의해서 기억합시다.
예컨대 만약 어떤 치환 $\sigma$를 3개의 호환들의 곱으로 나타냈다면, 2,4,6,8개 등의 호환들의 곱으로 나타낼 수 없다는 것이고, 3 이외의 다른 홀수인 7,9개 등의 호환들의 곱으로 나타내는 것은 가능합니다.
3) 항등치환과 홀치환
정리($A.A$) 1.8)
모든 항등치환은 짝치환이고, 모든 호환은 홀치환이다.
증명할 것도 없이 그냥 만들어 보면 됩니다. 호환은 그 자체로 1개의 호환이므로 항상 홀치환입니다. 반면에 항등치환은 임의의 두 원소를 뽑아 호환을 만들고 그 호환을 나란히 두 번 곱해서 만들 수 있습니다. 편의상 괄호 안에 '1'만을 넣어 나타내기도 합니다.
$$\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
4 &5
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
4 & 5
\end{pmatrix}=\;\;\cdots$$
[참고문헌]
선형대수학, 강경태 및 송석준 지음, 청문각
Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson
- 방법이 유일하지 않다는 것이지, 호환들의 개수는 똑같습니다. 당장 지금 설명하는 방법 자체가 2가지로 유일하지 않죠. 반면 호환들은 반드시 모두 $k-1$ 개가 됩니다. [본문으로]
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