부호함수와 치환(Signum function with Permutation)

부호함수란 말그대로 부호를 판별하는 함수입니다. 물론 부호는 어떤 함수로 표현하기에는 너무 간단하고 수가 가진 기본적 성질이기에 판별한다는 표현이 적절한 것인지 의문이 들 수도 있습니다. 그런 의미에서, 부호를 결정하는 역할을 하는 함수로 보는 관점도 존재합니다. 그래도 그래프를 그릴 수 있고, 그 모양으로부터 발생하는 몇가지 성질이 있으며 복소함수론과 연결하면 modulus 및 편각에 관한 정보를 주기도 합니다. 물론 지금의 목적은 부호함수를 치환에 의한 함수로 보고 행렬식을 엄밀하게 정의하기 위함에 있습니다.

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1. 부호함수

 

1) 정의

 

정의($A.A$) 1-9) 부호함수
$S_n$에서 '부호함수(Sign(um) function)' 는 $f:S_n\rightarrow \left \{ -1,1 \right \}$ 으로 정의되는
$$\mathrm{sgn}(\sigma)=\left\{\begin{matrix}
1\;\;\;\left ( \sigma :\mathrm{even\;permutation} \right )\\ 
-1\;\;\;\left ( \sigma :\mathrm{odd\;permutation} \right )
\end{matrix}\right.$$ 란 함수이다. 여기서 $\mathrm{sgn}(\sigma)$를 $\sigma$의 '부호(sign)'이라 한다.

 

부호함수는 그 치환이 짝인지 홀인지에 따라 내놓는 부호가 다른 함수이고 크기는 1이기 때문에 사실상 값에 부호만 결정해주는 역할을 한다고 보면 됩니다. 부호는 영어로 sign이지만 삼각함수의 sine과 헷갈려 signum 이라 부르기도 하는데, 혼동의 여지가 없다면 저도 그냥 사인이라고 읽습니다.

 

 

좀 더 일반적인 내용을 다루자면 부호함수는 원래 실수함수에 대하여 각각 다음과 같이 정의합니다.

 

$$\mathrm{sgn}(x)=2H(x)-1=\left\{\begin{matrix}
1\;\;\;x>0\\ 
0\;\;\;x=0\\ 
-1\;\;\;x<0
\end{matrix}\right.\;\;\;\;\;\left ( x\in \mathbb{R} \right )$$

 

$H(x)$는 '헤비사이드 계단함수(Heaviside step function)'이고 다른 말로는 '단위 계단함수(Unit step function)'

이라 부른다고 예전에 글을 올렸던 적이 있습니다.

 

$$H(x)=\left\{\begin{matrix}
1 \;\;\;(x> 0)\\
0\;\;\;(x<0)
\end{matrix}\right.$$

 

원래 계단함수의 중앙값 즉 부호가 바뀌는 불연속점은 꼭 $x=0$일 필요는 없으나, 부호함수에서는 $x=0$이어야 합니다. 그게 양과 음의 기준이기 때문이죠. 

 

또한, 단위계단함수의 도함수가 디랙델타함수이므로 위의 정의 식 양변을 미분하면 델타함수의 2배를 얻습니다.

 

$$\frac{d }{d x}\left ( \mathrm{sgn(x)} \right )=2\delta (x)$$

 

부호함수는 특수함수의 일종으로 볼 수 있긴 하나 수학에서 그렇게 거대한 중요성을 가진 함수는 아닙니다. 여기서는 짝치환의 부호가 양수이고, 홀치환의 부호가 음수라는 정의를 기억해 행렬식의 표현을 어떻게 만들어내는지에 초점을 맞추어 기억하면 됩니다.