교대군(Alternating group)

순열과 치환은 대수학을 시작하기 위한 몸풀기 운동 수준인데, 군의 정의 이전에 순열과 치환만으로 개념을 잡을 수 있는 군의 종류가 바로 대칭군과 교대군 두가지입니다. 대칭군과 교대군은 군론을 하다 중간 부분쯤에 갑자기 또 나와서 집착적으로 과도하게 우리를 괴롭힐 때가 있기 때문에 처음에 한 번 제대로 발라 두겠디는 느낌으로 정리해 보는 것이 큰 의미가 있습니다.

 

[그림 1] 교대군은 짝치환의 집합이다. 짝치환과 홀치환의 개수는 언제나 같다. 근데 AI가 그린 그림인데 왜 6을 홀수, 5를 짝수에 넣었는지는 모르겠다.

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1. 교대군

 

1) 정의

 

정의($A.A$) 1-9) 교대군(alternating group)
대칭군 $S_n$ 의 모든 짝치환들의 집합을 '차수가 $n$ 인 교대군(alternating group of degree $n$)'이라 하고 $A_n$ 으로 표기한다. 조건제시법으로 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$A_n=\left\{ \sigma\in S_n \mid \sigma \text{  is a even permutation}  \right\}$$

 

대칭군의 원소 중 단순히 짝치환만 모아둔 집합을 교대군이라 하는 것이니 그리 새로운 개념은 아니지요. 다음 성질이 더 중요합니다.

 

 

정리($A.A$) 1.9) 교대군의 성질
$n\geq 2$ 일 떄 교대군 $A_n$ 은 다음 성질을 만족한다.
① $\varepsilon\in A_n$
② $\sigma,\tau\in A_n$ 이라고 하자. 그러면 $\sigma^{-1}\in A_n$ 이고 $\sigma\tau\in A_n$ 이다. 
③ $\left| A_n \right|=\displaystyle \frac{n!}{2}$ 이다. 이는 곧 $S_n$ 의 모든 원소는 짝치환이거나 홀치환이라는 점과 결합하면 짝치환의 개수와 홀치환의 개수가 동일하다는 뜻이다.

증명) ① 정리($A.A$) 1.8) 의 내용이긴 하지만 거기서 증명을 안했으니 여기서 증명을 해보자. 항등치환은 하나의 호환으로 나타낼 수 없다. 이 사실을 홀짝성 정리와 그 따름정리와 결합하면 임의의 홀수개의 호환의 곱으로 나타낼 수도 없음을 알 수 있다. 따라사 항등치환은 짝치환이다. 아니면 가장 쉽게 $\varepsilon = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
a_2 & a_1
\end{pmatrix}$ 와 같이 쓸 수 있다는 것을 고려하고 홀짝성 정리를 고려해서 짝치환이라고 생각해도 무방하다. 

② $\sigma, \tau\in A_n$ 즉 둘 모두 짝치환이라고 하자. 그러면 $\sigma = \gamma_1\cdots \gamma_n
$, $\tau=\delta_1\cdots \delta_m$ 이라 했을 때 $m+n$ 또한 짝수이므로 $\sigma\tau = \gamma_1\gamma_2\cdots \gamma_n\delta_1\delta_2\cdots \delta_m\in A_n$ 이 자명하다.

한편 $\mu = \gamma_n\cdots \gamma_1$ 이라 하자. 임의의 호환 $\gamma_i$ 에 대해 $\gamma_i^2 = \varepsilon$ 이므로 $\sigma \mu=\varepsilon$ 이다. 따라서 $\sigma ^{-1}=\sigma^{-1}\varepsilon = \sigma^{-1}\sigma\mu =\varepsilon\mu =\mu$ 이다. 그런데 $\mu$ 는 짝치환이므로 $\sigma^{-1}\in A_n$ 이 된다.

③ $S_n$ 의 모든 홀치환의 집합을 $O_n$ 이라 해보자. 그러면 홀짝성 정리의 따름정리로부터 $A_n\cap O_n=\emptyset$ 이므로 $S_n=A_n\cup O_n$ 이다. $\left| S_n \right|=n!$ 이므로, $\left| O_n \right|=\left| A_n \right|$ 을 보이면 충분하다. 이를 위해서 호환 $\gamma = \begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix} $ 에 대해 $\sigma\longmapsto f(\sigma)=\gamma\sigma$ 로 대응되는 함수 $f:A_n\longrightarrow O_n$ 을 생각하고, 이것이 전단사임을 보이자.

i) $f$ 는 잘 정의되고  단사이다 : $f(\sigma_1)=f(\sigma_2)\;\;\Longleftrightarrow \;\;\gamma\sigma_1=\gamma\sigma_2 \;\;\Longleftrightarrow \;\; \sigma_1= \gamma^2\sigma = \sigma_2$

ii) $f$ 는 전사이다 : 임의의 $\tau\in O_n$ 에 대해, $f(\sigma)=\gamma\sigma =\gamma\tau=\tau$ 와 같이 함수 $f$ 를 적용하면 언제나 $\sigma=\gamma\tau \in A_n$ 이 존재한다.

이로부터 함수 $f$ 는 전단사이다. 고로 $\left| A_n \right|=\left| O_n \right|=\displaystyle \frac{n!}{2}$ 가 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

홀짝성 정리만 익혀 두었다면 위 증명도 특별히 어려울 것이 없습니다. 개인적으로 군론에서는 잊어버릴 법하면 대칭군과 교대군이 잠깐식 견제구를 날리기 때문에 교대군의 위 정리 정도는 증명을 해보고 결과를 꼭 기억하는 것을 추천드립니다. 증명을 했으니, 예시를 한 번 다시 보도록 하겠습니다.

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예제 1) $S_3$ 의 모든 치환을 짝치환과 홀치환으로 구분해보면 다음과 같다.

 

sol) $$\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
1 &2  &3 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 1& 2
\end{pmatrix}$$

 

$$\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
3 &1  &2 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
 1& 3
\end{pmatrix}$$

 

$$\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
2 &3  &1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 3
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}$$

 

$$\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
1 &3  &2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 3
\end{pmatrix}$$

 

$$\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
3 &2  &1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 3
\end{pmatrix}$$

 

$$\begin{pmatrix} 
1 & 2 &3 \\  
2 &1  &3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 & 2
\end{pmatrix}$$

 

정확히 홀치환 3개, 짝치환 3개가 등장합니다. $_\blacksquare$

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson