부분군(Subgroup)

 

집합에는 부분집합이 있고 벡터공간도 부분공간이 있듯이, 군도 부분군이 있습니다.

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1. 부분군

1) 정의

 

정의($A.A$) 2-9) 부분군(Subgroups)
군 $G$ 의 부분집합 $H$ 가 $G$ 에서 주어진 연산에 대해 군인 경우, $H$ 를 $G$ 의 '부분군(subgroup)'이라 하고 $H\leqslant G$ 라 표기한다.
$H\neq G$ 인 부분군은 '진 부분군(proper group)'이라 하고, $\left\{ 1 \right\}$ 은 '자명 부분군(trivial subgroup)'이라 한다.

 

여기서 부등호 기호로 사용된 $\leqslant$ 는 $\leq$ 와 같은 뜻입니다. 저는 보통 집합 관계에서 이렇게 부분(sub)을 나타내는 경우에는 $\leqslant$ 로 쓰고, 숫자 간의 단순 대소 관계를 나타낼 때는 $\leq$ 를 쓰는 편입니다만 정해진 것은 아니고 그냥 취향 차이입니다.

 

 

 

2) 부분군 시험법

 

부분군이 되기 위한 조건을 찾아봅시다.

 

정리($A.A$) 2.13) 부분군 시험법(Subgroup test)
군 $G$ 에 대하여 $H\subseteq G$ 가 부분군이 되기 위한 필요충군은 다음 세 가지 조건을 모두 만족하는 것이다.
① 항등원의 존재와 상등 : $1_G=1_H\in H$
② 닫혀 있음^[각주:1] : 만일 $h_1\in H$ 이고 $h_2\in H$ 이면, $h_1h_2\in H$ 이다.
③ 역원의 존재와 상등 : 만일 $h\in H$ 이면 $h^{-1}\in H$ 이다.
이 경우, $H\leqslant G$ 이고 $G$ 의 항등원은 $H$ 의 그것과 같으며,^[각주:2] $g\in G,H$ 의 역원 $g^{-1}$ 역시 동일하다. 즉 모든 $h\in H$ 에 대하여 $h^{-1} \in H $ 이 존재한다.

증명) $\Leftarrow$ : $H$ 가 $G$ 의 부분군이면 군이므로, 주어진 연산에 의해 닫혀있고, 항등원이 존재하며, 임의의 원소에 대해 역원이 존재한다.

$\Rightarrow$ : $H$ 가 부분군이라고 하자. 우선 $G$ 의 부분군이니, 그 자체로 $H$ 에 포함된 임의의 두 원소에 대해 주어진 $G$ 의 연산에 대해서는 닫혀 있다. 다음으로 항등원을 $e$ 라 하자. 그러면 $e^2=e\cdot e=e=e\cdot 1_G$ 이고, 좌측 소거법을 사용하면 $1_G=e=1_H$ 이다. 또한 만일 $h\in H$ 일 때 $h$ 의 역원 중 $H$ 에 포함된 것을 $a$라 하고, $G$ 에 포함된 것을 $b$ 라 하자. 그러면 $bh=1_G=1_H=ah$ 가 된다. 따라서 $bh=ah$ 에서 우측 소거법을 사용하면 $b=a$ 로 $h^{-1}$ 은 유일하며 $G,H$ 에 모두 포함되는 원소이다. $_\blacksquare$

 

 

반면, $H$ 가 공집합이 아닌 유한집합인 경우에는 닫힘성만 확인해도 충분합니다.

 

정리($A.A$) 2.14) 유한 부분군 시험법(Finite Subgroup test)
군 $G$ 에 대하여 $H\subseteq G$ 가 공집합이 아닌 유한집합인 부분집합(finite nonempty subset)이면, $H$가 부분군이 되기 위한 필요충분조건은 $H$ 가 주어진 $G$ 의 연산에 대해 닫혀있는 것이다.

증명) $\Rightarrow$ : 자명하다. 부분군이니 닫혀있다.

$\Leftarrow$ : $H$ 가 닫혀 있으면, 어떤 $h\in H$ 에 대하여 $h^2, h^3, \cdots $ 역시 모두 $H$ 에 포함되어야 한다. 그런데 $H$ 는 유한집합이므로 이들은 모두 서로 다를 수는 없다. 따라서 $h^n=h^{n+m}$ 이 되는 $n\ge 1, m\ge 1$ 이 존재한다. 이는 곧 소거법을 사용하면 $h^m=1$ 임을 뜻한다.^[각주:3] 따라서 자연스럽게 $1_H=h^m \in H$ 이다. 또한 $1=h^m=hh^{m-1}=h^{m-1}h$ 으로부터,^[각주:4] 역원의 정의를 고려하면 $h^{-1}=h^{m-1}$ 임을 알 수 있다. 따라서 임의의 $h\in H$ 에 대하여 $H$ 가 공집합이 아닌 유한집합이면, 닫혀있기만 하더라도 역원, 항등원이 존재하므로 $H\leqslant G$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

이 증명으로부터 알 수 있는 것이 있는데, 사실 어떤 군 $G$ 가 유한집합인 경우에는 반드시 $g^n=1$ 이 되는 어떤 자연수 $n$ 이 존재해야 합니다. 증명 방식이 위 증명과 똑같습니다. 군은 닫혀 있어야 하므로 어떤 $g\in G$ 가 존재하면 자기 자신을 곱해서 $g^2$ 역시 $G$ 에 포함되어야 하고, 그럼 다시 이 $g^2$ 에 대해 $g$ 와의 곱인 $g^3$, 그리고 자기 자신과의 곱 $g^4$, 이렇게 계속해서 전부 다 $G$ 에 포함되어 있어야만 한다는 결과를 얻고 그런데 $G$ 가 유한집합이면 어디선가 멈춰 다시 $1$ 로 돌아와야 겠지요.

 

 

 

3) 몇가지 특별한 군의 소개

 

아래에서 다룰 몇가지 군은 추후 정규 부분군(normal subgroup)을 다룰 때 다시 등장하겠으나 몇가지를 먼저 보고 가겠습니다.

 

정의($A.A$) 2-10) 군의 중심(Center of group)
$G$가 군일 때, 군의 '중심(center)'이란
$$Z(G):=\left\{ z\in G\mid zg=gz \;, \; g\in G \right\}$$ 으로 정의되는 집합 $Z(G)$ 를 말힌디. $G$의 센터 $Z(G)$ 의 원소 $z$ 는 '중심부(central)'이라고 한다.

 

정리($A.A$) 2.15) 군의 중심(Center of group)
$G$가 군일 때, 중심 $Z(G)$ 은 $G$ '아벨 부분군(abelian subgroup)'이다.

증명) 부분군 시험법을 사용하자.
① $1g=g1$ 에서 $1\in Z(G)$
② 만약 $a,b\in Z(G)$ 이면, $\forall g\in G$ 에 대하여
$$ abg=a(bg)=a(gb)=(ag)b=(ga)b=g(ab)=gab \;\;\Rightarrow \;\; (ab)g=g(ab)$$ 이므로 이것은 $ab\in Z(G)$ 를 뜻한다. 따라서 닫혀 있다.
③ $z\in Z(G)$ 이면, (애초에 $z\in G$ 이므로 $z^{-1}$ 은 존재) 정의 및 소거법을 사용하여
$$zg=gz \;\; \Rightarrow \;\; z^{-1}zg=z^{-1}gz \;\;\Rightarrow\;\; g=z^{-1}gz \;\; \Rightarrow \;\; gz^{-1}=z^{-1}g$$ 을 얻는다. 고로 $z^{-1}\in Z(G)$ 이고, 역원이 존재하여 포함된다. 따라서 부분군 시험법에 의하여 $Z(G)$ 는 $G$ 의 부분군이고, (정의에 의해) 아벨군이다. $_\blacksquare$

 

 

정리($A.A$) 2.16) 군의 교집합(Center of group)
군 $G$ 에 대해 $H,K\leqslant G$ 이라 하자. 이들의 교집합
$$H\cap K=\left\{ g\in G \mid g\in H \;\;\text{and}\;\; g\in K \right\}$$ 은 $G$ 의 부분군이다.

증명) 부분군 시험법을 사용한다.
① $H,K \leqslant G$ 로부터 $1_H=1_K=1_G$ 로 항등원이 존재한다.
② 닫힘성을 보이자. 만일 $a,b \in H\cap K$ 이면 $ab\in H\cap K$ 를 보여야 한다. $a,b\in H\cap K$ 이면 i) $a\in H, b\in H$ 이고 $H$ 는 군이므로, $ab\in H$ 이다. 비슷하게 ii) $a\in K, b\in K$ 이고 $K$ 가 군이므로 $ab\in K$ 이다. 따라서 i), ii) 로부터 $ab\in H\cap K$ 이다.
③ $a\in H\cap K$ 라고 하자. 즉 $a\in H$ 이면서 $a\in K$ 인 것이므로 이는 곧 $a^{-1}\in H$ 이고 $a^{-1}\in K$ 이므로 $a^{-1}\in H\cap K$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

정리($A.A$) 2.17) 켤레군(Conjugates)
$G$가 군일 때, $H\leqslant G$ 라 하자. 만일 $g\in G$ 이면,
$$gHg^{-1}=\left\{ ghg^{-1}\mid h\in H \right\}$$ 는 $G$ 의 부분군이다. 이러한 부분군들은 $G$ 에서 $H$ 의 '켤레군(conjugates)'이라 부른다.

증명) 부분군 시험법을 사용한다.
① $1=g1g^{-1}=gg^{-1}=1$ 이므로 $1\in gHg^{-1}$ 이다.
② $h_1,h_2\in H$ 라 하면 $g(h_1)hg^{-1}\in gHg^{-1}$ 이고 $g(h_2)g^{-1}\in gHg^{-1}$ 이다. 결합법칙의 일반성을 고려하면 $$\left( gh_1g^{-1} \right)\left( gh_2g^{-1} \right)=gh_1(g^{-1}g)h_2g^{-1}=g(h_1h_2)g^{-1}\in gHg^{-1}$$ 이고  $H$ 가 닫혀 있으므로, $gHg^{-1}$ 역시 닫혀있다.
③ 만일 $h\in H$ 에 대해 $ghg^{-1}$ 가 주어지면, $$\left( ghg^{-1} \right)^{-1}=gh^{-1}g^{-1}\in gHg^{-1}$$ 이므로 역원이 존재한다. 따라서 $gHg^{-1}\leqslant G$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

'켤레'라는 것은 국어사전에 '두 개의 점, 선, 수가 서로 특수한 관계에 있어 바꾸어 놓아도 그 성질에 변화가 없을 경우에, 그 둘의 '관계'를 이르는 말'이라고 정의되어 있습니다. 즉 이 '관계'를 '켤레'라고 부르는 것입니다. 가령 켤레 복소수를 생각해보면 그 둘의 관계 $a\pm bi$ 는 크기(modulus)가 같다는 관계에 놓여 있어서 '켤레'라고 부른다 말할 수 있습니다. 여기서 켤레군이라는 것은 $ghg^{-1}=b$ 라는 원소 $b \in gHg^{-1}$ 이 존재한다는 것이고, 이때 $b$ 와 $h$ 의 관계를 고려하면 $gh=bg$ 의 관계가 있습니다. 그러면 $h=g^{-1}bg$ 와 같이 정리할 수도 있습니다. 두 원소 $ghg^{-1}$ 와 $g^{-1}bg$ 의 관계가 각별하여, 여기에 켤레라는 말을 붙여준 것입니다. 이들의 구체적인 특징은 조금 더 공부를 하다 뒤쪽에서 자세히 분석하게 됩니다.

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson

 

 

 

1. 여기서는 연산을 곱셈처럼 쓰기는 하지만, 사실 주어진 군에 대한 연산이면 곱셈이 아니더라도 그 연산을 따르면 됩니다. 하지만 일반적인 연산 표현을 할 때는 대표적으로 곱셈 형식을 사용하는 편입니다. [본문으로]
2. $1_G=1_H$ 여야 합니다. 항등원은 유일하고 $H$ 가 $G$ 의 부분집합이기 때문이죠. [본문으로]
3. 그래서 사실 순환군(cyclic group) 입니다. 순환군은 더 뒤에서 등장할 것입니다. [본문으로]
4. 여기서 교환법칙을 막 써도 되나? 라고 생각할 수 있으나, 원래 자기 자신의 거듭제곱에 대해서는 당연히 교환법칙이 성공합니다. 사실상 일반화된 결합법칙의 일종입니다. [본문으로]