군의 준동형 사상(group homomorphism)

 

이제 군론에서 굉장히 중요한 개념인 준동형사상을 다룰 예정입니다. 준동형사상의 개념과 정의는 매우 쉽지만, 그것이 함의하고 있는 뜻을 정확히 분석하는 일이 중요합니다.

 

[그림 1] 준동형사상은 왜 그렇게 정의하는 것일까? 말하자면 준동형의 의의는 연산구조가 서로 다른 군(영역)에서 보존된다는 것을 뜻한다. 비유하자면, 인간이 외계인을 만났다고 해보자. 외계인도 어느 정도 과학 문명이 발달했을테니 3+5=8 을 알고 있을 것이다. 그러나 물론 외계인의 세상에서 '3'의 의미는 우리가 '3'이라고 적는 문자와는 다를 수 있지만, 본질적인 '세 개' 라는 개념 자체는 같다. 연산 기호 '+' 또한, 외계인은 덧셈을 알고 있겠지만 그걸 우리가 쓰는 문자 '+'와 똑같이 적지 않을 수도 있다. 하지만 그 의미에 대응되는 똑같은 덧셈 연산을 찾을 수 있을 것이다. 이런 규칙이 두 영역에서 보존되는 함수가 바로 준동형사상이다.

 

참고로 보통 준동형은 사상이라고 말합니다. 함수와 사상의 차이는 설명했던 적이 있기는 한데, 아무래도 사상이라는 표현은 딱 정의역과 공역이 우리가 자주 다루는 수의 집합을 넘어서 추상적인 집합이 등장하면 자주 사용하는 편이기 때문에, 대수학에서는 사상이라는 표현을 좀 더 즐겨 쓴다는 정도로 받아들이면 충분할 것 같습니다. 따라서 제가 본문에서 사상이라고 적든, 함수라고 적든 이는 맥락에서 크게 중요한 사실은 아니기 때문에 걱정하지 않으셔도 됩니다.

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1. 준동형사상

 

1) 정의

 

 

정의($A.A$) 2-16) 군의 준동형사상
$G$ 와 $H$ 를 군이라 하자. 함수 $\alpha : G\longrightarrow H$ 가 임의의 $a,b\in G$ 에 대하여, $$\alpha (ab)=\alpha (a)\alpha (b)$$ 를 만족하는 경우, $\alpha$ 를 '준동형(homomorphism)'이라고 한다.

 

정의는 받아들이고 외워야 하는 것이지만 왜 그렇게 정의하는지에 대해서 고려해보는 일은 수학에서 사실 무척 중요합니다. 게다가 여기서 준동형이라는 용어를 보면, 자동적으로 동형은 무엇일지에 관한 의문도 떠올라야 합니다. 선형대수학을 공부했다면 동형(isomorphism)에 대해 알고 있을 것입니다. 두 벡터공간 사이에 선형변환이 전단사인 경우에 해당합니다. 나중에 다루겠지만, 추상대수학에서도 동형이라는 관계의 정의에는 전단사 조건이 들어가 있습니다. 하지만 준동형이라는 조건도 만족해야 합니다. 왜 그러할까요? 그리고, 준동형이 시사하는 바는 무엇일까요?

 

$G,H$ 가 군이고 $\alpha : G\longrightarrow H$ 가 임의의 $a,b\in G$ 에 대해 $\alpha (ab)=\alpha(a)\alpha(b)$ 의 관계가 성립한다는 것이 무엇을 함의하는지 조금만 고민을 해봅시다. 이러한 조건은, 마치 분배법칙처럼 보여서, $\alpha$ 를 두 원소에 각각 찢어 분배할 수 있다는 사실을 의미하는 것처럼 보입니다. 하지만 좀 더 유식하게 우리가 배운 내용을 통해 말하면 어떻게 표현할 수 있을까요? 이는, 두 군 $G,H$ 사이의 이항 대수적 구조가 같음을 시사하는 일련의 조건이 됩니다. 왜냐하면, 분석해보면 $\alpha (ab)$ 라는 것은 $G$ 에서 연산을 한 뒤 함수를 씌워 $H$ 로 보냄을 뜻합니다. 반면, $\alpha(a)\alpha(b)$ 라는 것은 $G$ 의 두 원소에 각각 따로 $\alpha$ 라는 함수를 씌우고 나서, $H$ 에 도달한 뒤에, 곱이라는 연산을 행하는 행위입니다. $ab\in G$ 이지만 $\alpha(a)\alpha(b)\in H$ 라는 점에 대해 고찰해 보시기 바랍니다.

 

말하자면 준동형의 의미는 연산을 하고 함수를 씌우나, 함수를 씌우고 연산을 하나 결과가 같음을 뜻합니다. 그리고 이 두 연산 행위는 같은 연산이 아니며, 서로 다른 군 $G,H$ 에서 수행되는 것입니다. 전자는 $G$ 에서 연산을 하는 것이고 후자는 $H$ 에서 연산을 하는 것이죠.

 

그래서 만일 어떤 함수 $\alpha : G\longrightarrow H$ 가 대수적 구조를 보존한다는 표현은, 연산을 하고 함숫값을 취하나 함숫값을 취해서 연산을 하나 대응 관계가 유지되어야 하고, 대응 또한 일대일대응이 된다는 것을 뜻합니다. 이 두 가지 조건이 모두 만족되면 $\alpha$ 동형사상(isomorphism)이라고 합니다. 동형사상에 대해서는 구체적으로 다음 글에서 다루고, 이번 글에서는 준동형의 성질을 분석해 보겠습니다.

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예제 1) 군 $G,H$ 에 대하여 $\alpha : G\longrightarrow H$ 가 모든 $g\in G$ 에 대해 $\alpha(g)=1$ 로 정의되는 경우 $\alpha$ 를 '자명 준동형사상(trivial homomorphism)'이라고 한다. 실제로 이것이 준동형이 맞는지 보여라.

 

 

Sol) $H$ 가 군이기 때문에 $1_H\in H$ 임을 생각해보자. 그러면 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여 $\alpha(gh)=1_H=1_H\cdot 1_H=\alpha(g)\alpha(h)$ 이 성립한다. 따라서 $\alpha$ 는 준동형이 맞다. $_\blacksquare$

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예제 2) $\alpha : G\longrightarrow H$ 와 $\beta : H\longrightarrow K$ 가 모두 준동형이라고 하자. 그러면 이들의 합성 $\beta\alpha =\gamma : G\longrightarrow K$ 또한 준동형임을 보여라.

 

 

Sol) 임의의 $a,b\in G$ 에 대하여, 

 

$$\begin{align*}
\beta\alpha (ab)&=\beta\left\{ \alpha(ab) \right\}=\beta\left\{ \alpha(a)
\alpha(b) \right\}
\\\\&=\beta\left\{ \alpha(a) \right\}\cdot\beta\left\{ \alpha(b) \right\}
\\\\&=\beta\alpha(a)\cdot \beta\alpha (b)\;\;_\blacksquare
\end{align*}$$

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2) 준동형사상의 성질

 

 

정리($A.A$) 2.27)
군 $G,H$ 에 대하여 $\alpha : G\longrightarrow H$ 가 준동형이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
① $\alpha$ 는 항등원을 보존한다 : $\alpha(1_G)=1_H$
② $\alpha$ 는 역원을 보존한다 : 모든 $g\in G$ 에 대하여 $\alpha(g^{-1})=\{ \alpha (g)\}^{-1}$
③ $\alpha$ 는 거듭제곱을 보존한다 : 모든 $g\in G$ 와 임의의 $k\in \mathbb{Z}$ 에 대하여 $\alpha(g^k)=\{\alpha(g)\}^k$

증명) ① $\alpha (1_G)\cdot \alpha (1_G) = \alpha(1_G^2)=\alpha(1_G)$ 이므로, $\alpha(1_G)=1_H$ 여야 한다.

② $\alpha(g^{-1}g)=\alpha(g^{-1})\alpha(g)=\alpha(1_G)=1_H$ 이므로, 이로부터 $\alpha(g^{-1})=\alpha(g)^{-1}$ 이다.

③ 강한 수학적 귀납법을 사용하자. 일단 $k\geq 0$ 에 대해 생각한다.
i) (Base step) $k=0$ : $\alpha(g^0)=\alpha(1)=1=\{ \alpha(g)\}^0$ 이다.
ii) (Inductive hypothesis) $n=k$ 일 때 참, 즉 $\alpha(g)^k=\alpha(g)^k$ 가 성립한다고 가정한다.
iii) (Inductive step) $n=k+1$ : 다음과 같이 증명할 수 있다.

$$\begin{align*}
\alpha (g^{k+1})&=\alpha(g\cdot g^k)=\alpha (g)\alpha(g^k)\underset{\text{by induction}}{=} \alpha(g)\cdot \left\{ \alpha(g) \right\}^k
\\\\&=\alpha(g)^{k+1}
\end{align*}$$
이제 $k<0$ 인 경우를 생각해보면, $k=-m$ 이라 하여 $m>0$ 을 생각한다. 그러면 ② 를 같이 적용하여
$$\begin{align*}
\alpha (g^{k})&=\left\{ \alpha(g^m) \right\}^{-1}=\left\{ \alpha(g)^m \right\}^{-1}
\\\\&=\left\{ \alpha(g) \right\}^{-m}=\alpha(g)^k\;\;\;\;\;_\blacksquare
\end{align*}$$

 

 

 

정리($A.A$) 2.28) 준동형사상의 치역의 유한 위수는 정의역의 유한 위수를 나눈다
군 $G,H$ 에 대하여 $\alpha: G\longrightarrow H$ 가 준동형이라고 하자. 만일 $g\in G$ 가 유한 위수를 가져 $\left|  g \right|=n$ 이라고 하면, $\alpha(g)$ 역시 유한 위수를 가지고 그것은 $g$ 의 위수를 나눈다. 즉, $\left| \alpha(g) \right|\mid \left| g \right|$ 이 성립한다.

증명) $\left|  g \right|=n$ 이면 $g^n=1$ 을 뜻한다. 정리($A.A$) 2.27) 에서 다룬 바와 같이 준동형사상은 항등원과 거듭제곱을 보존하므로 $\alpha(g^n)=\alpha(g)^n=\alpha(1)=1$ 이 된다. 여기서 다음 두 가지 경우의 수를 생각한다. 

i) $\left|  \alpha(g) \right|=m<\infty$ : 이 경우 정리($A.A$) 2.20)-① 에 의하여 $\left|  \alpha(g) \right| = m\mid n$ 이 성립하여 증명이 끝난다.

ii) $\left|  \alpha(g) \right|=\infty$ 이라고 가정해보자. 이말은 즉은 $\left|  \alpha(g) \right|^k=1$ 을 만족하는 $k$ 의 값은 오직 $k=0$ 뿐이라는 뜻이다. 하지만 이는 $g$ 가 유한위수를 갖는다는 우리의 가정에 모순이다. $\alpha(g)^n=1$ 을 만족하는 $n\neq 0$ 이 존재했기 때문이다. 따라서 $\alpha(g)$ 의 위수는 i) 에서와 같이 유한해야 한다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($A.A$) 2.29) 준동형사상의 치역은 공역의 부분군이다
군 $G,H$ 에 대해 $\alpha : G\longrightarrow H$ 가 준동형이면, 치역을 $\alpha(G):=\{ \alpha(g)\mid g\in G \}$ 와 같이 적는다. 그러면 $\alpha(G)\leqslant H$ 가 성립한다.

증명) 부분군 시험법을 사용하자. 우선 $\alpha(G)\subseteq H$ 인 것은 자명하다.

i) 항등원의 존재 : $1_H=1_{\alpha(G)}=1\in \alpha(G)$ 

ii) 연산의 닫힘성 : $h_1,h_2\in\alpha(G)$ 라 하자. 그러면 $h_1=\alpha(g_1)$ 이고 $h_2=\alpha(g_2)$ 가 되는 $g_1,g_2\in G$ 가 존재한다. $G$ 가 군이므로, $g_1g_2\in G$ 으로부터 $\alpha(g_1g_2)\in \alpha(G)$ 가 성립한다. 그런데 $\alpha$  는 준동형이므로

$$\alpha(g_1g_2)=\alpha(g_1)\alpha(g_2)=h_1h_2\in\alpha(G)$$
가 성립한다. 고로 $\alpha(G)$ 는 연산에 대해 닫혀있다.

iii) 역원의 존재 : $g\in G$ 라 하자. 그러면 $\alpha(g)\in\alpha(G)$ 이다. 그런데 $g^{-1}\in G$ 또한 성립하므로 이 역시 $\alpha$ 에 의해 사상된다. 고로 $\alpha(g^{-1})\in\alpha(G)$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($A.A$) 2.30)
군 $G,H$ 에 대하여 $\alpha:G\longrightarrow H$ 가 준동형이고 전사, 곧 $\alpha(G)=H$ 라 하자.
① $G$ 가 아벨군이면 $H$ 또한 아벨군이다.
② $G=\left\langle a \right\rangle$ 로 순환군이면, $H$ 또한 순환군이고 $H=\left\langle \alpha(a) \right\rangle$ 이다.

증명) $\alpha$ 가 전사이므로 $g_1, g_2\in G$ 에 대하여 $h_1=\alpha(g_1)$, $h_2=\alpha(g_2)$ 라 하자.

① $G$ 가 아벨군이라면, $g_1g_2=g_2g_1$ 이므로

$$\begin{align*}
h_1h_2=\alpha(g_1g_2)=\alpha(g_2g_1)=\alpha(g_2)\alpha(g_1)=h_2h_1
\end{align*}$$
가 성립한다. 그러므로 $H$ 또한 아벨군이다.

② $h\in H$ 에 대하여 $h=\alpha(g)$ 라 하자. 그리고 $a$ 가 $G$ 의 생성원이기 때문에, 어떤 $k\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 $g=a^k$ 라 하자. 그러면 임의의 $h\in H$ 는

$$h=\alpha(g)=\alpha(a^k)=\alpha(a)^k\in \left\langle \alpha(a) \right\rangle$$
로 나타내어진다. 따라서 $h\in \left\langle \alpha(a) \right\rangle$ 가 성립하기 떄문에 $H$ 또한 순환군이며 $H=\left\langle \alpha(a) \right\rangle$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($A.A$) 2.31) 생성된 군이 포함된 사상의 상등을 보이는 방법
군 $G,H$ 에 대하여 $\alpha:G\longrightarrow H$ 와 $\beta:G\longrightarrow H$ 가 준동형이고, $G=\left\langle X \right\rangle$ 는 생성원들의 집합 $X\subseteq G$ 에 의해 생성된 군이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.
$$\alpha = \beta \;\; \Longleftrightarrow \;\; \alpha(x)=\beta(x)\;\;\;\text{for all}\;\; x\in X$$

증명) $\Longrightarrow$ : 함수가 같으면 같은 원소 $x\in X$ 에 같은 함수를 씌우면 함숫값이 같다. 자명하다.

$\Longleftarrow$ : $g\in G=\left\langle X \right\rangle$ 라 하자. 그러면 어떤 정수들 $k_i$ 와 $x_i\in X$ 들에 대하여, $g=x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}$ 으로 나타내어진다. 그러면 정리($A.A$) 2.27)-③ 에 의하여

$$\begin{align}
\alpha(g)&= \alpha (x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n})=\left\{ \alpha(x_1) \right\}^{k_1}
\left\{ \alpha(x_2) \right\}^{k_2}\cdots \left\{ \alpha(x_n) \right\}^{k_n}
\\\\&\underset{\text{by Hypothesis}}{=}
\left\{ \beta(x_1) \right\}^{k_1}
\left\{ \beta((x_2) \right\}^{k_2}\cdots \left\{ \beta((x_n) \right\}^{k_n}
\\\\&=\beta(g)
\end{align}$$
이다. $g\in G$ 를 임의로 잡았기 때문에, 임의의 $g\in G$ 에 대해 이것이 성립한다는 것은 $\alpha = \beta$ 를 뜻한다.

 

 

이 정리가 함의하는 바가 무엇일지 생각해봅시다. 일반적으로 어떤 함수 $\alpha, \beta$ 가 있을 때 이들의 정의역, 공역이 동일한 상황에서 이 두 사상이 서로 같다는 것을 보이려면 모든 정의역의 $g\in G$ 에 대하여 $\alpha(g)=\beta(g)$ 를 보여야만 합니다. 즉 위 정리에서 필요조건의 방향이지요. 하지만 위 정리가 말하고자 하는 바는 만일 $\alpha, \beta$ 가 준동형사상이라면, 간단히 정의역 $G= \left\langle X \right\rangle$ 에서 $x\in X$ 들, 즉 생성원들만 콕 뽑은 다음 $\alpha(x_i)=\beta(x_i)$ 를 보이기만 하면 된다는 뜻입니다. 일반적으로 군 $G$ 의 원소 개수보다 생성원의 원소 $x_i\in X$ 의 수가 적기 때문에, 작업이 간편해지는 것이라고 할 수 있습니다. 예제를 하나 봅시다.

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예제 3) 준동형사상 $\alpha : S_3\longrightarrow C_6$ 을 생각하자. 최대 몇 개의 서로 다른 $\alpha$ 가 존재할 수 있는가?

 

 

Sol) $S_3= \left\{ \varepsilon, \sigma, \sigma^2, \tau, \tau^2\sigma, \tau\sigma \right\}$ 와 $C_6=\{ 1,c,c^2, c^3, c^4, c^5\}$ 를 생각한다. 생성원을 소개할 때 $S_3=\left\langle X \right\rangle=\left\langle \sigma, \tau \right\rangle$ 임을 설명하였고, $\left|  \sigma \right|=3$, $\left|  \tau \right|=2$ 인 것을 알고 있다. 위 정리($A.A$) 2.31) 을 사용하기 위해서 생성원의 두 원소 $\sigma, \tau$ 가 어떤 공역의 원소로 대응되지는지만 살피면 된다.

 

먼저 $\sigma$ 에 대해, 위수가 3이므로 $\left\{ \alpha(\sigma) \right\}^3=\alpha(\sigma^3)=\alpha(1)=1$ 이 되기에, 정리($A.A$) 2.28) 에 의하여 $\alpha$ 가 준동형사상일 때 $\left|  \alpha(\sigma)\right| \mid \left|  \sigma\right|$ 이므로 $\left|  \alpha(\sigma)\right|=1\;\text{or}\; 3$ 이다. 그러면 $C_6$ 의 원소 중 위수가 1 또는 3인 것을 찾으면 되기에, $\alpha(\sigma)=1\; \text{or} \;c^2 \; \text{or}\; c^4$ 인 것으로 볼 수 있다.

 

비슷하게, $\tau$ 에 대해서 적용해보면 위수가 2이므로 $\left\{ \alpha(\tau) \right\}^2=\alpha(\tau^2)=\alpha(1)=1$ 가 되어 $\left|  \alpha(\tau)\right|=1\;\text{or}\; 2$ 에 해당한다. 그러면 $C_6$ 에서 위수가 1 또는 2인 것을 찾으면 되니 $\alpha(\tau)=1\;\text{or}\; c^3$ 인 것으로 볼 수 있다.

 

그러면 서로 다른 이 준동형사상 $\alpha$ 들을 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots$ 라 하자. 위 정리($A.A$) 2.31) 에 의하면, 생성원의 모든 원소 $x\in X$ 에 대하여 $\alpha_i\neq \alpha_j \; \Longleftrightarrow \; \alpha_i(x)\neq \alpha_j(x)$ 인 경우 이들은 서로 다른 준동형사상이라고 할 수 있다. 따라서 우리가 구한 생성원의 원소는 $\sigma, \tau$ 이고, $\alpha(\sigma)$ 와 $\alpha(\tau)$ 의 한 쌍마다 하나의 고유한 준동형사상이 생기는 셈이다. 따라서 가능한 경우의 수는 $3\cdot 2 =6$ 으로, 서로 다른 준동형사상 $\alpha$ 는 최대 6개까지 존재할 수 있다. $_\blacksquare$