동형사상, 자기동형사상, 내부자기동형사상(Isomorphism, Automorphism, Inner automorphism)

준동형사상 글에서 언급했듯이 준동형은 연산의 구조를 보존하는 사상입니다. 그 예시를 외계인과의 조우를 통해 아주 실감나게 설명했던 바 있습니다. 

 

그럴일은 없겠지만 만일 제가 살아생전에 외계인을 만난다면 수학과 물리로 대화를 할 수 밖에 없을 것입니다. 그럴 순간이 온다면, 그들의 세상과 언어, 소통의 구조가 우리 인류와 동형일지가 가장 머릿속에 떠오를 것 같습니다.

 

[그림 1] 주인장이 인생에서 가장 좋아하는 영화는 타이타닉이..었다. 이 영화를 2017년에 보기 전까진 말이다. 한국에서는 '컨택트(contact)'로 번역되었지만 실제 영문 영화 제목은 '도착(Arrival)'이다. 단순 도착보다는 재림, 강림에 좀 더 가까울지도 모르겠다. 이 영화를 좋아하는 까닭은 굉장히 인문학적 요소가 내포되어있기 때문이다. 수학에 관한 글을 쓰고 있기는 하지만, 언어의 아름다움과 소통의 중요성은 결코 외계인과의 조우에서도 과학에 뒤지지 않을 것이라는 이 영화의 철학에 강력하게 동의했다. 그래서 이 영화가 너무 좋다.

 

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1. 동형사상

 

1) 정의

 

정의($A.A$) 2-17) 군론에서 동형사상
군 $G,H$ 와 사상 $\sigma : G\longrightarrow H$ 생각하자. 만일 $\alpha$ 가 준동형이면서 전단사(일대일대응)인 경우, 이를 '동형사상(isomorphism)'이라고 한다. 그리고 $G$ 는 $H$ 와 '동형(isomorphic)'이라 표현하며 기호로는 $G\cong H$ 로 표기한다.

 

동형의 의의는 선형대수학에서 동형을 설명할 때 비트겐슈타인 등을 예시로 들어 자세하게 기술해둔 바 있습니다. '동형'이라는 용어가 주는 의미는 거기서나 여기서나 완전히 동일합니다. 연산 규칙이 보존되면서, 일대일로 대응된다는 조건이 붙어 두 영역(군)의 세계가 구조적으로 동일하고 개수마져 같다, 이런 의미로 해석할 수 있을 것입니다.

 

앞으로 우리가 사상을 하나 잡았을 때, 동형사상임을 보여야 할 일이 많습니다. 또는 어떤 과제를 해결하기 위해 적당한 동형사상을 잡아야 할 필요가 있습니다. 그러면 그때마다 우리는 적당한 사상을 잡고, 네 가지를 확인해야 합니다. 

 

▶ 함수(사상)가 잘 정의되는가(Well-defined)? : $x_1=x_2$ 이면 $f(x_1)=f(x_2)$ 인가?

▶ 단사(one-to-one, injective)인가? : $f(x_1)=f(x_2)$ 이면 $x_1=x_2$ 인가?

▶ 전사(onto, surjective)인가? : 임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f(x)=y$ 를 만족하는 $x\in X$ 를 항상 찾을 수 있는가?

▶ 준동형(homomorphism)인가? : 정의역의 임의의 원소 $x,y$ 에 대하여 $\alpha(xy)=\alpha(x)\alpha(y)$ 인가?

 

보통 잘 정의됨과 단사는 역방향 관계이기 때문에 때때로 같이 한 번에 보이는 경우가 많습니다. 아래 여러 정리들을 증명하면서 구체적으로 이 과정이 어떻게 적용되는지 살펴보도록 합시다.

 

 

2) 성질

 

정리($A.A$) 2.32) 정수집합은 자연수배수의 정수집합과 동형이다.
정수집합에 적당한 자연수 $n$ 을 곱한 집합 $n\mathbb{Z}= \{ nk\mid k\in\mathbb{Z} \}$ 를 생각하자. 그러면
$$\mathbb{Z}\cong n\mathbb{Z}$$

증명) 사상 $\sigma : \mathbb{Z}\longrightarrow n\mathbb{Z}$ 가 $k\longmapsto \sigma(k)=nk$ 로 정의된다고 하자. 보여야 할 것은 이 함수가 잘 정의되었는지이고, 동형임을 보이기 위해 추가로 단사, 전사, 준동형임을 보이면 된다.

i) 잘 정의됨과 단사 : 양방향 화살표로 다음과 같이 보인다. 임의의 $k,m\in\mathbb{Z}$ 에 대하여,

$$\sigma(k)=\sigma(m) \;\Longleftrightarrow \; nk=nm \;\Longleftrightarrow \; k=m$$
ii) 전사 : 임의의 $y\in n\mathbb{Z}$ 를 생각하자. 그러면 어떤 $k\in\mathbb{Z}$ 에 대해 $y=nk$ 가 성립한다. 이때 $\sigma(x)=y$ 가 되게 하는 $x$ 를 찾으면 끝나는데, $\sigma(x)=nx=y=nk$ 이므로 $x=k$ 로 택하면 된다.

iii) 준동형 : 우선 정의역 $\mathbb{Z}$ 에서의 연산과 공역 $n\mathbb{Z}$ 에서의 연산 모두 덧셈임을 기억하자. 그러면 임의의 $k,m\in\mathbb{Z}$ 를 생각했을 때 $\sigma(k+m)=n(k+m)=nk+nm=\sigma(k)+\sigma(m)$ 가 성립한다. 고로 $\sigma$ 는 준동형사상이다.

셋을 종합하면 $\sigma$ 는 동형사상이다. 따라서 $\mathbb{Z}\cong n\mathbb{Z}$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

이 정리에 따른 결과의 하나로서 $n=2$ 일 때를 생각해 보았을 때, $\mathbb{Z}\cong 2\mathbb{Z}$ 라는 것을 알 수 있습니다. 이것은 (음수를 포함시켜도 되지만 편의상 떼놓고 생각해서) 자연수집합과 짝수집합 사이에 전단사함수가 존재한다는 것을 뜻하기도 해서, 기수가 같다는 집합론의 개념과 연관되어 있기도 하다는 것을 슬쩍 엿볼 수 있습니다. 더욱이, 이 정리는 그 자체로 후에 몫 군을 다룰 때 또 강조될 것이기 때문에 결과를 잘 기억해 놓는 것이 중요합니다.

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예제 1) 집합 $G=\left\{ \begin{pmatrix}
1 &n  \\
0 & 1
\end{pmatrix} \middle| n\in\mathbb{Z} \right\}$ 을 생각하자. 이것이 행렬곱을 연산으로 갖는 군임을 보이고, $G\cong (\mathbb{Z}, +)$ 임을 보여라.

 

 

Sol) 함수를 $\sigma : \mathbb{Z} \longrightarrow GL_2(\mathbb{R})$ 와 같이 잡고 $k\longmapsto \sigma(n)=\begin{pmatrix}
1 &n  \\
0 & 1
\end{pmatrix}$ 로 정의한다. 하나의 정수가 행렬의 한 성분에 들어가는 것이니 전단사임은 쉽게 확인할 수 있다. 준동형인지를 확인하기 위해 다음과 같이 연산해본다.

 

$$\begin{align}
\sigma(n+m)&=\begin{pmatrix}
1 &n+m  \\
0 & 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 &n  \\
0 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 &m  \\
0 & 1
\end{pmatrix}\\\\&= \sigma(n)\cdot \sigma (m)
\end{align}$$

 

이상에서 $\sigma$ 는 동형사상이고, 따라서 $\mathbb{Z}\cong GL_2(\mathbb{R})$ 임을 알 수 있다. 이때 정리($A.A$) 2.29) 에 의하면, 치역은 공역의 부분군이되고 $GL_2(\mathbb{R})$ 은 일반선형군 즉 군이니, $\sigma(\mathbb{Z})=G\leqslant GL_2(\mathbb{R})$ 이 성립한다. 즉 $G$ 는 군이다. $_\blacksquare$

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정리($A.A$) 2.33)
$G_1\cong G_2$ 이고 $H_1\cong H_2$ 라 하자. 그러면 $G_1\times H_1 \cong G_2\times H_2$ 이다.

증명) $\sigma : G_1\longrightarrow G_2$ 라 하고, $\tau : H_1\longrightarrow H_2$ 라 하자. 가정에 의해 둘은 동형사상이다. 그리고 함수 $\mu G_1\times H_1 \longrightarrow G_2\times H_2$ 를 잡아 $(g_1,h_1)\longmapsto \mu (g_1,h_1)=(g_2,h_2)=(\sigma(g_1) , \tau(g_2))$ 라 정의한다.

i) 준동형사상인가? : 임의의 $(g_1,h_1)\in G_1\times H_1$ 과 $(g_1',h_1')\in G_1\times H_1$ 에 대하여,

$$\begin{align}
\mu\left( (g_1,h_1)(g'_1,h'_1) \right)&=\mu\left( g_1g'_1,h_1h'_1 \right)=\left( \sigma(g_1g_1')
,\tau(h_1h_1') \right)
\\\\&=\left( 
\sigma(g_1)\sigma(g_1'),\tau(h_1)\tau(h_1') \right)
\\\\&=\left( \sigma(g_1),\tau(h_1) \right)\left( \sigma(g_1'),\tau(h_1') \right)
\\\\&=\mu\left( g_1,h_1 \right)\mu\left( g_1',h_1' \right)
\end{align}$$

ii) 잘 정의되고 단사인가? : 임의의 $(g_1,h_1), (g_1',h_1')\in G_1\times H_1$ 에 대하여,

$$\begin{align}
\mu\left( (g_1,h_1)(g'_1,h'_1) \right)&=\mu\left( g_1g'_1,h_1h'_1 \right)=\left( \sigma(g_1g_1')
,\tau(h_1h_1') \right)
\\\\&=\left( 
\sigma(g_1)\sigma(g_1'),\tau(h_1)\tau(h_1') \right)
\\\\&=\left( \sigma(g_1),\tau(h_1) \right)\left( \sigma(g_1'),\tau(h_1') \right)
\\\\&=\mu\left( g_1,h_1 \right)\mu\left( g_1',h_1' \right)
\end{align}$$

iii) 전사인가? :  dladmldml $y=(g_2,h_2)\in Y=G_2\times H_2$ 를 생각하자. $\sigma$ 와 $\tau$ 가 전사함수이므로, $g_2=\sigma(g_1)$ 이고 $h_2=\tau(g_2)$ 를 만족하는 $g_1\in G_1$ 과 $h_1\in H_1$ 이 존재한다. 따라서 임의의 $(g_2,h_2)\in G_2\times H_2$ 에 대하여,

$$\mu(g_1,h_1) = (\sigma(g_1), \tau(h_1)) = (g_2,h_2)$$
를 만족하는 $g_1\in G_1$ 과 $h_1\in H_1$ 이 존재하므로 $\mu$ 는 전사이다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($A.A$) 2.34)
군 $G,H,K$ 를 생각하자.
① 항등사상 $1_G : G\longrightarrow G$ 는 임의의 군 $G$ 에 대하여 언제나 동형사상이다.
② $\sigma: G\longrightarrow H$ 가 동형사상이면, 역사상 $\sigma^{-1} : H\longrightarrow G$ 또한 동형사상이다.
③ $\sigma: G\longrightarrow H$ 와 $\tau : H\longrightarrow K$ 가 동형사상이면, 그것의 합성 $\tau\sigma : G\longrightarrow K$ 역시 동형사상이다.

따름정리($A.A$) 2.34.1)
동형 $\cong$ 는 동치관계이다.
① 반사성(reflexive) : $G\cong G$
② 대칭성(symmetric) : $G\cong H$ 이면 $H\cong G$ 이다.
③ 추이성(transitive) : $G\cong H$ 이고 $H\cong K$ 이면 $G\cong K$ 이다.

증명) ① 항등사상은 전단사이고 준동형이므로 자명하다.
② $\sigma$ 가 전단사이면 역사상 $\sigma^{-1}$ 이 존재하고 이 또한 전단사이다. 그러면 $\sigma^{-1}$ 가 준동형이라는 것만 보이면 충분하다. $g_1,g_2\in G$ 이고 $h_1,h_2\in H$  이며 $\sigma(g_1)=h_1\;,\;\sigma (g_2)=h_2$ 라 하자. 그러면 $\sigma$ 가 준동형사상이므로, 

$$\sigma(g_1)\sigma(g_2) = \sigma(g_1g_2) = h_1h_2$$
여기서 양변에 $\sigma^{-1}$ 를 취하면

$$\sigma^{-1}( h_1h_2) = \sigma^{-1} \sigma(g_1g_2) = g_1g_2= \sigma^{-1}(h_1)\sigma^{-1}(h_2)$$
이다. 고로 $\sigma^{-1}$ 는 준동형이다.

③ 전단사사상 둘을 합성한 것 또한 전단사이고, 이 글 예제 2) 에서 준동형사상들의 합성은 준동형임을 보였다. $_\blacksquare$

 

 

 

정리($A.A$) 2.35) 동형사상은 정의역의 원소의 위수를 보존한다.
동형사상 $\sigma : G_1\longrightarrow G_2$ 를 생각하자. 그러면 모든 $g\in G$ 에 대하여 $\left|  \sigma(g) \right|=\left|  g \right|$ 이다.

증명) $g$ 의 위수가 $n$ 이므로, 유한위수 $n\in\mathbb{N}$ 을 갖는다고 일단 가정하자. 그러면 $g^n=1$ 이다. 그리고 $\sigma$ 가 준동형사상이므로 정리($A.A$) 2.27)-③ 에서 거듭제곱이 보존되기 때문에

$$\sigma(g^n) = \sigma(1) = 1 = \{ \sigma(g)\}^n$$
이 성립하여 $\sigma(g)^n=1$ 을 얻는다. 그러면 $\left|  \sigma(g) \right|=m$ 라 하였을 때 $m\leq n$ 이 성립한다. 만일 $m\neq n$, 즉 $m<n$ 이라고 가정해보자. 그러면 $\sigma(g)^m=1=\sigma(g^m)$ 이 되고 두번째 등호에서 $\sigma(g^m)=\sigma(1)$ 이 성립해야 하므로 $g^m=1$ 을 만족하는 $m<n$ 이 존재한다는 뜻이며, 이는 우리의 가정 $\left|  g \right|=n$ 에 모순이다. 따라서 $m=n$ 이다.

만일 $g$ 가 무한위수를 갖는다고 가정하자. 그러면 $g^k=1$ 을 만족하는 $k$ 는 반드시 $0$ 이어야 한다. 위와 비슷하게 $\sigma(g^k)=\sigma(1)=\{\sigma(g)\}^k=1$ 에서 $\left|  \sigma(g) \right|=m$ 이라 해보자. 만일 $m$ 이 자연수로 존재하여 $\sigma(g)$ 의 위수가 유한하다고 가정하면, $\sigma(g)^m=\sigma(g^m)=1$ 이라는 뜻이고 이는 곧 $g^m=1$ 에 해당하여 $g$ 가 무한위수를 갖는다는 가정에 모순이다. 따라서 $\left|  g \right|=\infty$ 라면 $\left|  \sigma(g) \right|=\infty$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

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2. 자기동형사상

 

1) 자기동형사상

 

정의($A.A$) 2-18) 자기동형사상
정의역과 공역이 같은 동형사상 $\sigma : G\longrightarrow G$ 를 $G$ 의 '자기동형사상(automorphism)'이라고 한다. 또한 모든 $G$ 의 가능한 자기동형사상을 모은 집합은 $G$ 의 '자기동형군(automorphism group)'^[각주:1]이라 부르며, 연산을 사상의 합성 '$\circ$' 으로 갖는 군이다.
$$\text{Aut}(G):=\left\{ \sigma \mid \sigma: G\longrightarrow G \;,\; G\cong G\right\}$$

 

자기동형사상은 단순히 정의역과 공역이 똑같은 군으로 되어 있는 동형사상의 특별한 예에 해당합니다. 그리고 그러한 사상들의 집합이 자기동형군입니다. 물론, 실제로 그런 사상들을 모은 것이 또 군이 되는지는 검증이 필요하겠죠. 바로 아래에서 합니다.

 

 

정리($A.A$) 2.36) 자기동형군은 진짜 군이다
$G$ 가 군일 때, $\text{Aut}(G):=\left\{ \sigma \mid \sigma: G\longrightarrow G \;,\;G\cong G\right\}$ 는 함수의 합성 '$\circ$' 을 연산으로 하는 군이다.

증명) $G$ 에서 $G$ 로 가는 모든 전단사함수들로 이루어진 군을 $S_G$ 라 하자. 즉, $S_G$ 는 모든 $G$ 에서의 치환들로 이루어진 집합이라 할 수 있다. 그러면 $\text{Aut}(G) \subseteq S_G$ 가 성립하는데, 왜냐하면 $\text{Aut}(G)$ 는 단순히 전단사인 $\sigma$ 들로 구성된 $S_G$ 의 $\sigma$ 중 준동형이기까지 한 $\sigma$ 들의 모임이라 그렇다. 그렇다면, 정리($A.A$) 2.13) 의 부분군 시험법만 적용하면 $\text{Aut}(G)$ 가 군임을 알 수 있다.

① 항등원 : $1_G : G\longrightarrow G$ 이고 $1_G\in \text{Aut}(G)$ 이다.
② 역원 : $\sigma : G\longrightarrow G$ 가 동형이면, 전단사이므로 역사상 $\sigma^{-1} : G\longrightarrow G$ 또한 존재하고 이것도 동형이다. 그러므로 $\sigma^{-1}\in \text{Aut}(G)$ 이다.
③ 닫혀있음 : $\sigma: G\longrightarrow G$ 와 $\tau : G\longrightarrow G$ 가 모두 동형이고 서로 다른 사상일 때, 그들의 합성 $\tau\sigma$ 역시 동형이다. 그러므로 $\tau\sigma \in \text{Aut}(G)$ 가 된다. 또한 일반적으로 $\tau\sigma \neq \sigma\tau$ 이긴 하지만,^[각주:2] $\sigma\tau$ 역시 합성으로 동형이므로 $\sigma\tau\in \text{Aut}(G)$ 이다. $_\blacksquare$

 

 

 

2) 내부자기동형사상

 

정의($A.A$) 2-19) 내부자기동형사상
군 $G$ 의 어떤 원소 $a\in G$ 를 생각하자. 자기동형사상 $\sigma_a: G\longrightarrow G$ 가 $g\longmapsto \sigma_a(g)=aga^{-1}\;,\; \forall g\in G$ 로 정의될 때, 이 사상을 $a$ 에 의해 결정되어지는 $G$ 의 '내부자기동형사상(inner automorphism)' 이라고 한다.
이때 각 $a\in G$ 에 대하여 $\Theta: G\longrightarrow \text{Aut}(G)$ 를 $a\longmapsto \Theta(a)=\sigma_a$로 정의하게 되면, $\Theta(G)$ 는 $G$ 의 모든 내부자기동형사상들로 이루어진 군이 되고, 이를 $G$ 의 '내부자기동형군(inner automorphsim group)' 이라 하며
$$\text{Inn}(G) = \Theta(G) := \{ \sigma_a \mid \sigma_a: G\longrightarrow G\;,\; G\cong G\;,\; a\in G\}$$ 로 표기할 수 있다.

 

내부자기동형사상 $\sigma_a$ 는 자기동형사상 중 특별한 타입으로 볼 수 있으며, 정의하는 방식이 $g\longmapsto \sigma_a(g)=aga^{-1}\;,\; \forall g\in G$ 인 것을 말합니다. 이때 $a\in G$ 는 단순히 $G$ 에서 특정 원소 하나를 골라온 것이고, $g\in G$ 는 임의의 모든 $G$ 의 원소를 말하는 것입니다. 

 

조심할 것은 은근히 문자와 함수가 헷갈린다는 것입니다. 여기서 내부자기동형사상은 $\sigma_a$ 이지만 내부자기동형군은 그러한 내부자기동형사상들을 모은 집합인데, 정의역은 군 $G$ 이지만 공역이 자기동형군이므로, 정의역의 원소는 그냥 군의 원소이지만 공역의 원소는 사상이라는 점입니다.^[각주:3]

 

이렇게 사상을 정의하게 되면 이것이 정말 동형사상이 되는지도 검토해야하고, 동형사상이면 물론 자기동형사상이 되겠으나, 그렇다고 해도 그러한 $\sigma_a$ 을 모은 집합 $\Theta(G)$ 가 군이 되는지도 점검해야 합니다. 이를 아래의 정리에서 모두 다루고 있습니다.

 

 

정리($A.A$) 2.37) 자기동형사상의 성질
$G$ 가 군이고 어떤 원소 $a\in G$ 를 생각하자.
① 각각의 $a\in G$ 에 대하여, $\sigma_a(g)=aga^{-1}\;,\;\forall g\in G$ 로 정의되는 사상 $\sigma_a$ 는 $G$ 의 자기동형사상이다.
② 각각의 $a,b\in G$ 에 대해 사상 $\Theta:G\longrightarrow \text{Aut}(G)$ 은 준동형이다. 즉, 각각의 $a,b\in G$ 와 모든 $g\in G$ 에 대하여 $\sigma_{ab}(g)=\sigma_a(g)\sigma_b(g)$ 가 성립한다.
③ 사상 $\Theta$ 의 치역은 공역의 부분군이다 : $\Theta(G)=\text{Inn}(G)\leqslant \text{Aut}(G)$

증명) ① i) 단사인가? : 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여 $\sigma_a(g)\neq \sigma_a(h)$ 일 때 $g\neq h$ 임을 보이면 된다. 귀류법을 사용하기 위하여 $\sigma_a(g)\neq \sigma_a(h)$ 일 때 $g=h$ 라 가정해보자. 그러면 조건문의 전제에 의하여 $aga^{-1}=aha^{-1}$ 이고 여기서 $a\in G$ 는 군의 원소이므로 소거법칙을 쓰면 $g\neq h$ 이다. 이는 $g=h$ 라는 우리의 가정에 모순이다. 따라서 $\sigma_a(g)\neq \sigma_a(h)$ 이면 $g\neq h$ 이다.

ii) 전사인가? : $\sigma_a$ 가 전사인지 확인하기 위해서는 임의의 $aga^{-1}\in Y=G$ 에 대하여 $\sigma_a(x)=y$ 를 만족하는 $x\in G$ 가 존재해야 한다. 정의역에서 $x=a^{-1}ya\in G$ 로 선택해주면,^[각주:4]

$$\sigma_a(x)=\sigma_a(a^{-1}ya)=a(a^{-1}ya)a^{-1}=y$$
가 성립한다. 따라서 모든 $y\in G$ 에 대하여, $\sigma_a(x)=y$ 를 만족하는 $x\in G$ 가 존재한다.

iii) 준동형인가? : $g,h\in G$ 를 생각하자. 그러면

$$\sigma_a(g)\sigma_a(h)=\left( aga^{-1} \right)\left( aha^{-1} \right)
= a\left( gh \right)a^{-1}=\sigma_a(gh)$$
이다. 그러니 $\sigma_a$ 는 준동형사상이 맞다. 이상에서 $\sigma_a$ 는 동형사상이다.

② $\Theta$ 가 준동형사상임을 보인다는 것은, 임의의 $g,h\in G$ 에 대하여 $\Theta(g)\Theta(h)=\Theta(gh)$ 를 보인다는 뜻이다. 여기서 $\Theta(g)=\sigma_a$ 이고 $\Theta(h)=\sigma_b$ 라고 잡아주면, $\sigma_a\sigma_b=\sigma_{ab}$ 를 보이면 충분하다. 그러면 임의의 $x\in G$ 에 대하여,

$$\begin{align}
\left( \sigma_a\sigma_b \right)(x)&=\sigma_a\sigma_b(x)=\sigma_a
(bxb^{-1})
\\\\&=a(bxb^{-1})a^{-1}=ab(x)b^{-1}a^{-1}
\\\\&=\sigma_{ab}(x)
\end{align}$$
가 성립한다. 따라서 $\Theta$ 는 준동형이다.

③ ② 에서 $\Theta$ 가 동형임을 보였고, 따라서 준동형이다. 그러면 정리($A.A$) 2.29) 에 의하여 $\Theta(G)=\text{Inn}(G)\leqslant \text{Aut}(G)$ 가 성립한다. $_\blacksquare$

 

 

 

 

 

이들의 관계를 총정리하면 위의 그림과 같습니다.

 

 

 

 

 

 

 

[참고문헌]

Introduction to Abstract Algebra, 4e, W.Keith Nicholson

 

 

 

 

 

 

1. 번역을 하면 '자기동형사상 군'이라 말해야 조금 더 자연스럽겠지만, 용어가 너무 길어지니 그냥 편의상 '자기동형군'이라 부를 예정입니다. [본문으로]
2.  이것까지 된다면 아벨군이 될 것이다.  [본문으로]
3. 물론 공역도 군이니, 공역의 원소도 군이지만, 공역의 원소는 '사상'이라는 점을 강조하는 것입니다. [본문으로]
4. 이렇게 $x$ 를 선택할 수 있는 이유가 무엇일까? $a, y\in G$ 이고 $G$ 는 군이므로 $a^{-1}\in G$ 인 것도 자명하며, 따라서 군은 닫혀있으므로 $a^{-1}ya$ 라는 원소 또한 반드시 $G$ 에 속해 있을 수밖에 없다. 그러니 이 원소를 $x\in G$ 로 택하겠다는 뜻이다. [본문으로]